W mora vectores_rectas_planos

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    24-Jul-2015

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<ul><li><p>Walter Mora F.</p><p>Notas sobre</p><p>Vectores, Rectas y Planos-PDF interactivo. Primera edicin</p><p>-Puede ver y manipular las figuras en 3D haciendo clic sobre ellas (necesita una conexin a Internet)</p><p>Revista digital</p><p>Matemtica, Educacin e Internet. (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/).</p></li><li><p>Derechos reservados 2013</p><p>Revista digital</p><p>Matemtica, Educacin e Internet.http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/.</p><p>Photos by: Viviana Loaiza. Parque Nacional Chirrip, Costa Rica.</p><p>Licencia Creative Commons Reconocimiento - No Comercial 3.0 Unported Licence (la Licencia). Usted puedeutilizar este archivo de conformidad con la Licencia. Usted puede obtener una copia de la Licencia en http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0. A menos que lo requiera la ley aplicable o se acuerde por escrito, elsoftware distribuido bajo la Licencia se distribuye tal y como est, sin garantas ni condiciones de ningn tipo, ya seaexpresa o implcita.</p></li><li><p>ndice general</p><p>Prlogo 6</p><p>1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1 Operaciones Bsicas 10</p><p>1.2 Propiedades de los vectores 14</p><p>1.3 Producto punto y norma. 15</p><p>1.4 ngulo entre vectores en R3. 18</p><p>1.5 Paralelismo, perpendicularidad. 21</p><p>1.6 Proyeccin ortogonal 21</p><p>1.7 Producto Cruz en R3 25</p><p>2 Rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1 Rectas en R3. 33</p><p>2.2 Distancia de un punto a una recta 37</p><p>2.3 Rectas en R2 38</p><p>2.4 Ecuacin vectorial del plano 39</p><p>2.5 Ecuacin normal y cartesiana del plano 39</p><p>2.6 Paralelismo, perpendicularidad y ngulo 42</p><p>2.7 Interseccin entre recta y plano. 46</p><p>2.8 Distancia mnima de un punto a un plano. 47</p></li><li><p>2.9 El punto de un plano ms cercano a un punto dado. 47</p><p>2.10 Proyeccin ortogonal sobre un plano. 49</p><p>3 Rotacin de un punto alrededor de una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Bibliografa 56</p></li><li><p>Prlogo</p><p>Uno de los objetivos de este libro es la visualizacin en 3D. La mayora de figuras en 3D tienen una liga a unapplet Java (debe tener una conexin a Internet y el plugin de Java instalado), en este applet el lector puedemanipular las figuras con el ratn.</p><p>Cartago, Agosto 2014. W. MORA F. (wmora2@itcr.ac.cr)</p></li><li><p>1 Vectores</p><p>A partir de la representacin de R, como una recta numrica, los elementos (a,b) R2 se asocian con puntos de unplano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangularesdonde la interseccn representa al origen de coordenadas (0,0) y cada par ordenado (a,b) se asocia con un punto decoordenada a en la recta horizontal (eje X ) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y ).</p><p>Analgamente, los puntos (a,b,c) R3 se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectasmutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X , Y y Z ).</p><p>Figura 1.1: Punto (a,b)</p><p>. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)</p><p>Figura 1.2: Punto (a,b,c)</p><p>Si vemos a R2 y R3 como espacios vectoriales (con la suma y el producto escalar usual), sus elementos son vectoresque se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en el plano X Y o en el espacio tridimen-sional. La direccin de la flecha indica la direccin del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.</p><p>Notacin. Los vectores se denotarn con letras minsculas con una flecha arriba tales como #v#v#v , #y#y#y , #z#z#z . Los puntos sedenotarn con letras maysculas tales como A , B , C . En el contexto de los vectores, los nmeros reales sern llamados</p></li><li><p>10 Vectores</p><p>(a) Vector #v#v#v = (a,b) (b) Vector #v#v#v = (a,b,c)</p><p>escalares y se denotarn con letras minsculas cursivas tales como , , k.</p><p>El vector nulo en R3 se denota con#0#0#0 = (0,0,0). El punto</p><p>(0,0,0) se denota con O.Los vectores estn anclados en el origen. Sin embargo, fre-cuentemente visualizamos un vector como su traslacin:El vector</p><p># AB# AB# AB est anclado en el origen pero lo visualiza-</p><p>mos como el vector que va A hasta B. Formalmente# AB# AB# AB = # OB# OB# OB # O A# O A# O A.A veces hablamos del espacio Rn . Un vector en el Rn</p><p>es un ntuple (x1, x2, , xn) con cada xi R. A xi se lellama componente isima del vector. X</p><p>Y</p><p>Z</p><p>1.1 Operaciones Bsicas</p><p>Igualdad. Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, los mismos componentes.</p><p>Definicin 1.1 (Igualdad).</p><p>Si #v#v#v = (v1, v2, v3) R3 y #w#w#w = (w1, w2, w3) R3, entonces #v#v#v = #w#w#w si y slo si v1 =w1, v2 =w2, v3 =w3.</p><p>Vectores, Rectas y Planos. Walter Mora F.Derechos Reservados 2014 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)</p></li><li><p>1.1 Operaciones Bsicas 11</p><p>Ejemplo 1.1</p><p>Sea #v#v#v = (1,3,4) y #w#w#w = (3,1,4) , entonces #v#v#v 6= #w#w#w .</p><p>. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)</p><p>X</p><p>Y</p><p>Z</p><p>12</p><p>34</p><p>1 2 3</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4 vw</p><p>Suma y resta. La suma y resta de vectores en Rn se hace componente a componente.</p><p>Definicin 1.2 (Suma y resta).</p><p>Si #v#v#v = (v1, v2, v3) R3 y #w#w#w = (w1, w2, w3) R3;#v#v#v + #w#w#w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3) y #v#v#v #w#w#w = (v1w1, v2w2, v3w3)</p><p>Ejemplo 1.2</p><p>Sea #v#v#v = (1,3,4) y #w#w#w = (3,1,4) , entonces #v#v#v + #w#w#w = (4,4,8)</p><p>. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)</p><p>X</p><p>Y</p><p>Z</p><p>vw</p><p>v w</p></li><li><p>12 Vectores</p><p>Ejemplo 1.3</p><p>Sea P = (0,3,1), Q = (1,2,4) y R = (10,1,6). Entonces# OR# OR# OR = # OP# OP# OP + # PQ# PQ# PQ+ # QR# QR# QR.</p><p>XY</p><p>Z</p><p>Ejemplo 1.4</p><p>Sea #v#v#v = (1,3,4) y #w#w#w = (3,1,4) , entonces#v#v#v #w#w#w = (2,2,0) y #w#w#w #v#v#v = (2,2,0).</p><p>. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)</p><p>X</p><p>Y</p><p>Z</p><p>vw</p><p>v ww v</p><p>v (traslacin)w</p><p>Ejemplo 1.5</p><p>Considere los puntos A = (0,0,1),B = (3,5,0) y C = (2,0,0). Nos interesa calcular D R3 tal que A, B , C y Dsean los vrtices de un paralelogramo.</p><p>Hay tres soluciones. Supongamos que el paralelogramo tiene lados AB y AC , entonces BA =D1C de dondeD1 =C +B A , en este caso, D1 es el vrtice opuesto al vrtice A . Las otras dos soluciones son D2 =C + AB yD3 = A+B C . As, tenemos los paralelogramos AC BD3, AC D1B y AD2C B.</p></li><li><p>1.1 Operaciones Bsicas 13</p><p>X</p><p>Y</p><p>Z</p><p>A</p><p>BC</p><p>D3</p><p>X</p><p>Y</p><p>Z</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>D1</p><p>D2</p><p>D3</p><p>Multiplicacin por un escalar. Un escalamiento de un vector, por un factor k R, se logra multiplicando cada com-ponente por el mismo nmero real k</p><p>Definicin 1.3 (Multiplicacin por un escalar).</p><p>Consideremos el vector #v#v#v = (v1, v2, v3) R3 y el escalar k R, entonces</p><p>k #v#v#v = (k v1,k v2,k v3)</p><p>Ejemplo 1.6</p><p>Sea #v#v#v = (1,3,4) entonces</p><p>2#v#v#v = (2,6,8)</p><p>12</p><p>#v#v#v = (12 , 32 , 42 )</p><p>. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)</p><p>X Y</p></li><li><p>14 Vectores</p><p>Ejemplo 1.7 (Vectores unitarios , , y k)</p><p>Hay tres vectores unitarios muy usados:</p><p>a.) = (1,0,0)</p><p>b.) = (0,1,0)</p><p>c.) k = (0,0,1)</p><p>Cualquier vectorer de R3 se puede escribir como una combina-cin lineal de estos tres vectores:</p><p>(a,b,c)= a +b + c k</p><p>X</p><p>Y</p><p>Z</p><p>a b</p><p>c</p><p>Ejemplo 1.8 (Combinacin lineal de dos o ms vectores)</p><p>Sea #u#u#u = (4,1,1), #v#v#v = (0,0.5,3) y #w#w#w = (0,3,0.5).</p><p>a.) #u#u#u +0.5 #v#v#v + #w#w#w = (4,1,1)+ [0.5(0,0.5,3)+ (0,3,0.5]= (4,1,1)+ (0,3.25,2)= (4,2.25,3)</p><p>b.) #u#u#u + t #v#v#v + s #w#w#w = (4,1,1)+ [t (0,0.5,3)+ s (0,3,0.5]= (4,1,1)+ (0, 3s+0.5t , 0.5s+3t )= (4, 1+3s+0.5t , 1+0.5s+3t )</p><p>X</p><p>Y</p><p>Z</p><p>v</p><p>w</p><p>0.5v w</p><p>u</p><p>+0.5v w+u +</p><p>1.2 Propiedades de los vectores</p><p>Las propiedades ms tiles de los vectores, segn lo que ha demostrado la experiencia, se enuncian en el siguienteteorema,</p><p>Vectores, Rectas y Planos. Walter Mora F.Derechos Reservados 2014 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)</p></li><li><p>1.3 Producto punto y norma. 15</p><p>Teorema 1.1 (Propiedades de los vectores).</p><p>Si #v#v#v , #w#w#w , #u#u#u R3 y , R entonces,</p><p>1.) Conmutatividad: #v#v#v + #w#w#w = #w#w#w + #v#v#v</p><p>2.) Asociatividad: #u#u#u + (#v#v#v + #w#w#w)= (#u#u#u + #v#v#v )+ #w#w#w</p><p>3.) Elemento neutro: #v#v#v + #0#0#0 = #v#v#v</p><p>4.) Inversos: #v#v#v + #v#v#v = #0#0#0</p><p>5.) 1 #v#v#v = #v#v#v</p><p>6.) #v#v#v = (#v#v#v )</p><p>7.) (</p><p>#v#v#v + #w#w#w)=#v#v#v +#w#w#w8.)(+) #v#v#v =#v#v#v +#v#v#v</p><p>1.3 Producto punto y norma.</p><p>El producto punto (o escalar) es una operacin entre vectores que devuelve un escalar. Esta operacin es introducidapara expresar algebraicamente la idea geomtrica de magnitud y ngulo entre vectores.</p><p>Definicin 1.4 (Producto punto o interior).</p><p>Consideremos los vectores #v#v#v = (v1, v2, v3) R3 y #w#w#w = (w1, w2, w3) R3. El producto punto (o escalar) #v#v#v #w#w#w sedefine de la siguiente manera,</p><p>#v#v#v #w#w#w = v1 w1 + v2 w2+ v3 w3 R</p><p>Ejemplo 1.9</p><p>a.) Sean #v#v#v = (1,3,4) y #w#w#w = (1,0,p2) entonces#v#v#v #w#w#w = 1 1+3 0+4 p2 = 4p21</p><p>b.) Sea #u#u#u = (a,b,c) entonces#u#u#u #u#u#u = a2+b2+ c2</p><p>De aqu se deduce que #u#u#u #u#u#u 0 y que #u#u#u #u#u#u = 0 solamente si #u#u#u = 0.</p><p>Propiedades del producto punto. En los clculos que usan el producto punto es frecuente invocar las propiedadesque se enuncian en le teorema que sigue. Tambin, el producto punto se generaliza como el producto interno (encontraposicin con el producto exterior). Las propiedades que permanecen en esta generalizacin son,</p><p>Vectores, Rectas y Planos. Walter Mora F.Derechos Reservados 2014 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)</p></li><li><p>16 Vectores</p><p>Teorema 1.2 (Propiedades del producto punto).</p><p>Consideremos los vectores #v#v#v , #w#w#w , #u#u#u R3 y R, entonces</p><p>1.) #v#v#v #v#v#v &gt; 0 si #v#v#v 6= #0#0#0 (el producto punto es definido positivo)</p><p>2.) #v#v#v #w#w#w = #w#w#w #v#v#v</p><p>3.) #u#u#u (#v#v#v + #w#w#w)= #u#u#u #v#v#v + #u#u#u #w#w#w4.)(#v#v#v) #w#w#w =(#v#v#v #w#w#w)</p><p>Nota: No hay propiedad asociativa pues #v#v#v (#w#w#w #u#u#u ) no tiene sentido dado que #w#w#w #u#u#u es un nmero real.</p><p>Norma (Euclidiana). La norma define la longitud de un vector desde el punto de vista de la geometra euclideana</p><p>Definicin 1.5 (Norma).</p><p>Consideremos el vector #v#v#v = (v1, v2, v3) R3. La norma de #v#v#v se denota ||#v#v#v || y se define de la siguiente manera,</p><p>||#v#v#v || =p</p><p>#v#v#v #v#v#v</p><p>=</p><p>v21 + v22 + v23La distancia de A a B se define como d(A,B)= ||B A||.</p><p>Observemos que v v = ||#v#v#v ||2</p><p>Ejemplo 1.10</p><p>a.) Sea #w#w#w = (1,0,p2) entonces ||#w#w#w || =</p><p>12+02+ (p2)2 =p3b.) La distancia de A = (x, y, z) a B = (1,3,2) es ||B A|| =</p><p>(x1)2+ (y +3)2+ (z2)2</p></li><li><p>1.3 Producto punto y norma. 17</p><p>Teorema 1.3 (Propiedades de la norma).</p><p>Consideremos los vectores #v#v#v , #w#w#w R3 y R, entonces,</p><p>1.) ||#v#v#v || 0 y ||#v#v#v || = 0 si y slo si #v#v#v = 0</p><p>2.) ||#v#v#v || = || ||#v#v#v ||</p><p>3.) ||#v#v#v + #w#w#w || ||#v#v#v ||+ ||#w#w#w || (desigualdad triangular)</p><p>4.) |#v#v#v #w#w#w | ||#v#v#v || ||#w#w#w || (desigualdad de Cauchy-Schwarz)</p><p>Ejemplo 1.11</p><p>a.) (Vectores unitarios) Sea #w#w#w = (1,0,2), entonces #w#w#w||#w#w#w ||= 1||#w#w#w || #w#w#w</p><p>= 1||#w#w#w || ||#w#w#w || =</p><p>p5p5= 1</p><p>b.) Sea #w#w#w = (1,0,2) entonces ||2#w#w#w || = 2 ||#w#w#w || = 2p5</p><p>Definicin 1.6 (Vector unitario).Un vector v se dice unitario si su norma es 1. Es comn escribir v para indicar que este vector es unitario.</p><p>Observe que si #w#w#w 6= #0#0#0 entonces w||#w#w#w || es unitario.</p><p>El vector #w#w#w = (cos, sin) es unitario para todo R, pues ||(cos, sin)|| =p</p><p>cos2+ sen2 = 1.</p><p>Vectores, Rectas y Planos. Walter Mora F.Derechos Reservados 2014 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)</p></li><li><p>18 Vectores</p><p>1.4 ngulo entre vectores en R3.A partir de la Ley de los cosenos podemos establecer una relacinentre el producto punto, normas y ngulos, como se muestra acontinuacin.</p><p>Ley de los cosenos. Si a,b y c son las longitudes de los lados deun tringulo arbitrario, se tiene la relacin</p><p>c2 = a2+b2 2ab cosdonde es el ngulo entre los lados de longitud a y b.</p><p>Para visualizar esta ley usando vectores, consideremos el trin-gulo determinado por los vectors #v#v#v , #w#w#w R3, como se muestraen la figura.</p><p>XY</p><p>Z</p><p>v w</p><p>Entonces</p><p>||#v#v#v #w#w#w ||2 = ||#v#v#v ||2+||#w#w#w ||22||#v#v#v || ||#w#w#w ||cos ()ahora, puesto que</p><p>||#v#v#v #w#w#w ||2 = (#v#v#v #w#w#w) (#v#v#v #w#w#w)= ||#v#v#v ||2+||#w#w#w ||22#v#v#v #w#w#wentonces, despejando en (*) obtenemos</p><p>#v#v#v #w#w#w = ||#v#v#v || ||#w#w#w || cos</p><p>ngulo entre vectores en Rn . En el caso del Rn , si #v#v#v , #w#w#w Rn son vectores no nulos, entonces usando la desigualdad dCauchy-Schwarz: |#v#v#v #w#w#w | ||#v#v#v || ||#w#w#w || y la propiedad del valor absoluto |x| k k x k para un nmero k 0,obtene-mos ||#v#v#v || ||#w#w#w || #v#v#v #w#w#w ||#v#v#v || ||#w#w#w || y entonces 1</p><p>#v#v#v #w#w#w||#v#v#v || ||#w#w#w || 1.</p><p>Se puede garantizar que para #v#v#v , #w#w#w Rn vectores no nulos, es posible encontrar un nico [0,pi] tal que #v#v#v #w#w#w =||#v#v#v || ||#w#w#w || cos. Formalmente,</p><p>Definicin 1.7Si #v#v#v , #w#w#w Rn son vectores no nulos, el ngulo entre #v#v#v y #w#w#w es el nico [0,pi] tal que</p><p>#v#v#v #w#w#w = ||#v#v#v || ||#w#w#w || cos, i.e. = arccos( #v#v#v #w#w#w||#v#v#v || ||#w#w#w ||</p><p>),</p></li><li><p>1.4 ngulo entre vectores en R3. 19</p><p>Notacin:#v#v#v , #w#w#w denota el ngulo entre #v#v#v y #w#w#w</p><p>Como una consecuencia, tenemos una caracterizacin para vectores ortogonales. Recordemos que dos vectores sonortogonales si al menos uno de ellos es nulo o si el ngulo entre ellos es pi/2. Entonces</p><p>Teorema 1.4 (Vectores ortogonales).</p><p>Los vectores #v#v#v , #w#w#w Rn son ortogonales si y slo si #v#v#v #w#w#w = 0</p><p>Nota: El nico vector ortogonal consigo mismo es el vector#0#0#0</p><p>Ejemplo 1.12</p><p>Sean #w#w#w = (1,0,p2) y #v#v#v = (2,1,p2) entonces #w#w#w y #v#v#v sonortogonales pues #w#w#w #v#v#v =2+2= 0</p><p>XY</p><p>Z</p><p>vw</p></li><li><p>20 Vectores</p><p>Ejemplo 1.13</p><p>Sean #w#w#w = (2,0,2) y #v#v#v = (0,2,2) entonces el ngulo entre #w#w#w y#v#v#v es</p><p> = arccos(</p><p>1</p><p>2</p><p>)=pi/3;</p><p>pues,</p><p>cos =#v#v#v #w#w#w</p><p>||#v#v#v || ||#w#w#w || = = arccos( #v#v#v #w#w#w||#v#v#v || ||#w#w#w ||</p><p>)= arccos</p><p>(1</p><p>2</p><p>)X</p><p>Y</p><p>Z</p><p>vw</p><p>Ejemplo 1.14</p><p>Sean #v#v#v = (1,1,0) y #w#w#w = (1,1,0). Consideremos el problema de encontrar un vector #u#u#u R3 que cumpla las trescondiciones siguientes</p><p>#u#u#u #v#v#v ; ||#u#u#u || = 4; y #u#u#u , #w#w#w = pi3</p><p>Para resolver el problema, supongamos que #u#u#u = (x, y, z),entonces tenemos que</p><p>#u#u#u #v#v#v = 0</p><p>||#u#u#u || = 4</p><p>#u#u#u #w#w#w = ||#u#u#u || ||#w#w#w ||cos pi3</p><p>=</p><p>x y = 0</p><p>x2+ y2+ z2 = 16</p><p>x+ y = 4p2 12</p><p>=</p><p>x = y</p><p>2x2+ z2 = 16</p><p>x = p2,de donde finalmente obtenemos, #u#u#u = (p2, p2, 2p2)</p><p>. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)</p><p>XY</p><p>Z</p><p>vw</p><p>u</p><p>u</p></li><li><p>1.5 Paralelismo, perpendicularidad. 21</p><p>1.5 Paralelismo, perpendicularidad.</p><p>Definicin 1.8</p><p>Dos vectores #u#u#u , #v#v#v R3 distintos de cero,</p><p>a.) son paralelos si ]#u#u#u , #v#v#v = 0 o pi, i.e. #u#u#u = #v#v#v para algn R.</p><p>X</p><p>Y</p><p>Z</p><p>b.) son perpendiculares si]#u#u#u , #v#v#v =pi/2. En este caso #u#u#u #v#v#v = 0.</p><p>Los cosenos directores de un vector son las componentes de un vector untario.</p><p>Sea #w#w#w =OP = (w1, w2, w3), sus cosenos directores son,</p><p>cos= w1||w || , cos=w2||w || , cos=</p><p>w3||w ||</p><p>donde , , son los ngulos directores de #w#w#w</p><p>: ngulo entreOP y la parte positiva del eje X</p><p>: ngulo entreOP y la parte positiva del...</p></li></ul>