Simulacion del número pi usando el método montecarlo

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    15-Apr-2017

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IO - II Salirrosas Vlchez Carolina Gayoso Rojas Yns Simulacin PI Mayo,2016 SIMULACIN DEL NMERO PI POR EL MTODO DE MONTECARLO Autores: Gayoso Rojas Yns Salirrosas Vlchez Carolina Mayo, 2016 IO - II Salirrosas Vlchez Carolina Gayoso Rojas Yns Simulacin PI Mayo,2016 RESUMEN Para poder hallar el nmero PI en la actualidad disponemos de muchas herramientas, unas de ellas la tecnolgica en este caso se utilizar el software MICROSOFT EXCEL haciendo uso del famoso mtodo de simulacin MONTECARLO donde el objetivo es mantener constantes las cifras del nmero pi de manera que se pueda acercar lo ms posible. IO - II Salirrosas Vlchez Carolina Gayoso Rojas Yns Simulacin PI Mayo,2016 INTRODUCCIN La simulacin es un comportamiento que se suele suceder en nuestra vida diaria, hasta nosotros mismos cuando hemos fingido sorpresa. Para poder lograrlo hace uso de los conocidos nmeros aleatorios, que se han convertido en la base de la simulacin, lo cual nos permite producir muchos valores sin dificultad alguna. En este caso la necesidad de simular surge para poder obtener una cantidad matemtica que es el numero PI, constante que relaciona el permetro de una circunferencia con la amplitud de su dimetro = L/D. En la historia se ha obtenido varias aproximaciones, siendo una de las constantes matemtica ms utilizada en la actualidad. Por ello, tal vez sea la constante que ms desean hallar los matemticos. IO - II Salirrosas Vlchez Carolina Gayoso Rojas Yns Simulacin PI Mayo,2016 ANTECEDENTES DE SIMULACIN DEL NMERO PI La aguja de Buffon Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon fue un clebre naturalista francs autor de una monumental Historia Natural en 44 tomos que recopilaba el conocimiento cientfico con un fin eminentemente divulgativo. Hoy en da su nombre aparece muchas veces asociado a un problema denominado "La aguja de Buffon" que relaciona el nmero pi con el lanzamiento de una aguja sobre una superficie rayada. Buffon demostr que, si lanzamos, al azar, una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas lneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una lnea es: Vamos a utilizar este resultado para medir Material Necesario Una superficie con lneas paralelas (Puede servir una hoja de papel sobre la que previamente hayas dibujado varias lneas equidistantes o un suelo embaldosado) Una aguja, palillo u objeto similar, de longitud menor o igual a la distancia entre lneas (Para simplificar es conveniente que la distancia entre dos rayas coincida con la longitud de la aguja) Mtodo Deja caer, de la forma ms aleatoria posible, la aguja sobre la superficie. Anota el nmero de tiradas y el nmero de veces que la aguja corta a una lnea. El cociente entre el nmero total de tiradas y el nmero de veces que la aguja corta a una lnea tiende a pi/2 (se parecer tanto ms cuanto mayor sea el nmero de tiradas) http://www.ciencianet.com/pi.htmlIO - II Salirrosas Vlchez Carolina Gayoso Rojas Yns Simulacin PI Mayo,2016 Si la aguja tiene una longitud (L) menor que la distancia entre dos lneas (D): (Livio, 2009, pgs. 8-12) Algoritmos de Simulacin Algoritmo de Gauss-Legendre El algoritmo de Gauss-Legendre es un algoritmo para computar los dgitos de . El mtodo se basa en los trabajos individuales de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y Adrien-Marie Legendre (1752-1833) combinados con algoritmos modernos para la multiplicacin y la raz cuadrada. Sustituye repetidamente dos nmeros por sus medias aritmtica y geomtrica, para obtener una aproximacin a su media aritmtica geomtrica. La versin que se presenta aqu se conoce tambin como el algoritmo de Brent-Salamin (o Salamin-Brent); que fue descubierto en 1975 y de forma independiente por Richard Brent y Eugene Salamin. Se us entre el 18 y el 20 de septiembre de 1999 para calcular los primeros 206.158.430.000 dgitos decimales de , y el resultado se comprob usando el algoritmo de Borwein. 1- Establecimiento del valor inicial: ao = 1 bo = 1 to = 1 po = 1 2- Repetir las siguientes instrucciones hasta que la diferencia entre An y Bn se encuentre dentro de la precisin deseada: Xn+1 = an + bn yn+1 = an bn tn+1 = tn pn (an xn+1) an+1 = xn+1 3- se aproxima usando An, Bn y Tn como: (an + bn) 2 2 2 4 2 4tn IO - II Salirrosas Vlchez Carolina Gayoso Rojas Yns Simulacin PI Mayo,2016 Las primeras tres iteraciones dan: Simulacin: 3.140 3.14159264 3.114159265358919 (Vergara, 2013, pgs. 6,7) Metodologa usada La manera de calcular PI consiste en que dentro de un plano cartesiano con coordenadas X y Y tengamos un circulo. Por azar debemos atinarle a cualquier punto. Hay puntos que estarn fuera o dentro del crculo. Debemos sumar cuantos puntos cayeron dentro y cuantos fuera. Para ellos vamos a tener que hacer uso de dos mtodos el mtodo de Montecarlo y el de Pitgoras. Mtodo de Montecarlo Es una tcnica cuantitativa que hace uso de la estadstica y los ordenadores para imitar, mediante modelos matemticos, el comportamiento aleatorio de sistemas reales. Mtodo de Pitgoras Para simular el clculo del nmero PI, utilizamos el teorema de Pitgoras, ayudado de su teora lo adaptamos a las coordenadas X y Y. Para saber si un punto est dentro del crculo o no Lo sabremos si calculamos la distancia entre el punto generado al azar y el punto (1,1) que es el centro del crculo. Si la distancia es mayor que 1, indica que esta fuera del crculo de radio 1. (Vergara, 2013, pgs. 15,16) IO - II Salirrosas Vlchez Carolina Gayoso Rojas Yns Simulacin PI Mayo,2016 Trabajando en la hoja de Excel Nuestra estructura ser la siguiente: Fijar la cantidad de puntos que vamos a elegir y el nmero de crculos: Aqu podemos solo podemos notar que los puntos estn en la parte izquierda de amarillo y los crculos. En la parte superior de color verde. En este caso hemos trabajado con 200 000 puntos y 30 crculos. IO - II Salirrosas Vlchez Carolina Gayoso Rojas Yns Simulacin PI Mayo,2016 Pasamos a rellenar: es decir cmo salieron esos 1 y 0 Como vemos se ha utilizado la frmula de Pitgoras, pero adaptada a nmeros aleatorio: =SI(0.25>=(ALEATORIO()-0.5)^2+(ALEATORIO()-0.5)^2;1;0) Esta frmula se copia en cada celda. Hallar cuantos cayeron DENTRO Y FUERA del cada crculo. DENTRO: son los representados por el nmero 1. La cantidad de puntos que cayeron dentro se halla con la frmula: Se selecciona el rango de nmeros y luego se indica qu es lo que va a contar en este caso los nmeros UNO. FUERA: son los representados por el nmero 0. La cantidad de puntos que cayeron dentro se halla con la frmula: Se selecciona el rango de nmeros y luego se indica qu es lo que va a contar en este caso los nmeros CERO. IO - II Salirrosas Vlchez Carolina Gayoso Rojas Yns Simulacin PI Mayo,2016 SE DEBE DE HALLAR LOS DENTRO Y FUERA DE CADA CIRCULO Sacar el numero PI de cada circulo usando la frmula: = Se halla el promedio general de todos los PI de cada crculo. Este se lleva a cabo utilizando la funcin PROMEDIO. Presentacin de resultados Trabajando con la hoja de Excel usando 200 000 puntos y 30 crculos hemos podido mantener constante dos cifras despus de la coma es decir solo hasta 3,14. IO - II Salirrosas Vlchez Carolina Gayoso Rojas Yns Simulacin PI Mayo,2016 Conclusiones Nuestro anlisis ser tanto ms preciso cuanto mayor sea el nmero de puntos y crculos seleccionados. Las simulaciones haciendo uso de un ordenador ayudan a facilitar el proceso y por supuesto ahorrar tiempo. Un software es de mucha utilidad porque vienen incluidos funciones matemticas como es el MICROSOFT EXCEL. El mtodo de Montecarlo nos saca de lo tradicional es decir nos conlleva a utilizar la tecnologa para realizar la simulacin. Bibliografa Livio, M. (2009). LA PROPORCION AREA: la historia de phi, el numero mas enigmatico del mundo . Barcelona: Ariel. Vergara, P. S. (2013). Simulacin del Nmero PI. Santiago: Escuela de Informtica de la Universidad Tecnolgica Metropolitana.