Las Bellezas Geométricas atrás de las Fórmulas Feas

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    12-Apr-2017

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LasBatrFLa fltims ellers deFrmrmula usua tiene coezase las mulual para laon tres cirs Gelas Fa elipse orcunferenceomFeaoculta la bcias. mtras onita relaricaacin que as esta Las Bellezas Geomtricas atrs de las Frmulas Feas sorpresa de muchos alumnos, las ecuacionesy por eso, las frmulasson un invento relati-vamente reciente: todava no se haban inventado cuando los espaoles llegaron a Amrica. Enton-ces, cuando los matemticos de la antigedad hicieron sus muchas y magnficas obras de la geometra, las hicieron a partir de conceptos dis-tintos a aquellos que empleamos al leer las versio-nes modernas de las mismas obras. Como veremos en este documento, uno de los ejemplos ms nota-bles de esta diferencia, concierne al famoso Teo-rema de Pitgoras. Otro concepto moderno que no figur en las obras de geometra de la antigedad, son las co-ordenadas. Como las ecuaciones, las coordenadas son un concepto central en la geometra tal como la conocemos hoy en da. Son grandes herramien-tas. En concierto con los conceptos de nmeros ne-gativos y nmeros decimales, posibilitaron una revolucin en las ciencias. Sin embargo, para muchos (inclusive yo mis-mo), el uso de frmulas y coordenadas se enfatizan desmedidamente en la enseanza de la geometra analtica. El alumno no puede apreciar sus benefi-cios a menos que conozca, al menos en cierta me-dida, cmo simplifican la resolucin de problemas que los ilustres de la antigedad resolvieron por medio de la geometra clsica. Es ms, hay pro-blemas de la geometra analtica que se resuel-ven ms fcilmente cuando usamos la geometra clsica para orientarnos. ALa parbola Sus elementos claves son su foco (el punto negro) y su directriz (la recta negra). Todo punto que pertenece a una parbola (como el rojo) dista igualmente del foco y de la directriz. Cmo se define la distancia desde la directriz? Como la longitud de un segmento perpendicular a la direc-triz, que une sta con el punto (como el segmento verde). Enton-ces, son iguales las longitudes de los segmentos verde y amarillo. La elipse Sus elementos claves son sus dos focos (los puntos negros) y la suma de las longitudes de los segmentos verde y amarillo. Para todo punto que pertenece a una elipse, es constante la suma de sus distancias desde los dos focos. La hiprbola Una hiprbola tiene dos ramas. Los elementos claves son los dos focos y la diferencia entre las longitudes de los segmentos verde y amarillo. O sea, para todo punto que perte-nece a una elipse, es constante la diferencia entre sus distancias desde los focos. Cmo las distancias entre puntos figuran en las definiciones de varias curvas. Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 2 Dicho todo esto, debo confesar que para m, la geometra clsica es una belleza. Razn de ms para presentar al alumno algunas de los aspectos de matemticas que las frmulas, por su eficiencia misma, tal vez no le hayan revelado. Lo que viene en este documento: Significativos geomtricos de cuadradas, ra-ces, y ecuaciones cuadrticas o El Teorema de Pitgoras La demostracin atribuido a Euclides, del Teorema de Pit-goras Un uso interesante, del Teorema de Pitgoras. o La raz cuadrada Las tcnicas que desarrollaron los matemticos de Babilonia y de la India Construcciones geomtricas para encontrar la raz cuadrada. o Construcciones para resolver geomtricamente, las ecuaciones cuadrticas Bellezas geomtricas de las cnicas o La parbola El desarrollo de su frmula a partir de conceptos de la geo-metra clsica, sin usar coordenadas Entonces, qu significan el x y el y en la formula usual? o La elipse El desarrollo de su frmula a partir de conceptos de la geo-metra clsica, sin usar coordenadas Entonces, qu significan el x y el y en la formula usual? o La hiprbola Para ambientarnos El desarrollo de la frmula para la hiprbola, a partir de con-ceptos de la geometra clsica, sin usar coordenadas Entonces, qu significan el x y el y en la formula usual? Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 3 Significativos geomtricos de cuadradas, races, y ecuaciones cuadrticas El Teorema de Pitgoras De todas las formulas en las matemticas, tal vez la ms famosa sea aquella que se conoce por el nombre, El Teorema de Pitgoras para tringulos rectngulos: siendo a y b las longitudes de los catetos, y c la longitud de la hipotenu-sa. Sin embargo, los matemticos griegos de la antigedad no pensaron el Teorema como una frmula con nmeros elevados a la cuadrada. En cambio, lo pensaron como, El rea del cuadrado morado es la suma de las otras dos. Este concepto del Teorema se destaca en la demostracin que hizo Euclides. A continuacin, veremos dicha demostracin, y tambin un poco sobre Euclides y su famosa obra, Los Elementos. a bcba c a cbLas bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 4 Demostracin atribuido a Euclides, del Teorema de Pitgoras (Tomada dehttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/~14700626/spip/spip.php?article20) El texto de matemticas de mayor xito que se haya escrito nunca es sin duda los Elementos de Euclides. Se trataba de un libro de texto que no era, como se piensa a veces, un compendio de todos los conocimientos geomtricos, sino ms bien un texto introductorio que cubra toda la ma-temtica elemental. Los Elementos estn divididos en trece libros o captulos, de los cuales la primera media docena son de geometra plana elemental, los tres siguien-tes de teora de nmeros, el libro X de los inconmensurables y los tres ltimos, principalmente, de geometra de slidos. Los Elementos de Eu-clides no solamente fueron la primera obra matemtica griega de impor-tancia que ha llegado hasta nosotros, sino tambin el libro de texto que ha ejercido una mayor influencia en todos los tiempos. Fue escrito hacia el 300 a.C., y desde entonces fue copiado y recopiado sin cesar, con la consecuencia de que se deslizaron en l errores y varia-ciones de una manera inevitable. Sin embargo, ha sido posible obtener una impresin bastante buena del contenido de la versin eucldea por comparacin entre ms de media docena de copias griegas manuscritas que datan en su mayora de entre los siglos X y XII. La primera versin impresa de los Elementos apareci en Venecia en 1.482, y fue uno de los primersimos libros matemticos que se imprimi; se estima que desde entonces se han publicado ms de un millar de ediciones. Probablemente ningn otro libro salvo la Biblia puede jactarse de haber tenido tantas ediciones, y desde luego ninguna otra obra matemtica ha tenido una influencia comparable con la de los Elementos de Euclides. La mayor parte de las proposiciones del Libro I de los Elementos de Eu-clides son bien conocidas. Entre ellas estn los conocidos teoremas sobre las construcciones elementales con regla y comps, sobre las desigualda-des relativas a ngulos y lados de un tringulo, sobre las propiedades de las rectas paralelas (con la consecuencia principal de que la suma de los ngulos de un tringulo es igual a dos ngulos rectos) y de los paralelo-gramos. El libro concluye en las proposiciones 47 y 48 con las demostraciones del teorema de Pitgoras y su recproco. La demostracin que da Eucli-des no es la que se da normalmente en los libros de texto actuales, en los cuales se aplican proporciones simples entre los lados de los tringulos semejantes que se forman al trazar la altura correspondiente a la hipote-nusa. Se supone que Euclides evit esta demostracin debido a las difi-cultades que trae consigo en el caso de inconmensurabilidad. Las bePara dbella comosilla dLa deEl reresultEl reque Y com(mismdel reellezas geomtrdemostrar el tdemostracin un molino dede la novia. emostracin vea del tta que ea del tringulmo fcilmentemo), obtenemoectngulo de lricas atrs de lteorema de Pin en la que se e viento o comviene a ser la stringulo lo es e se ve que lo y el os que el rea ados y las frmulas feitgoras, Euclusa una figurmo una cola dsiguiente: es , yos tringulos Angulo determdel cuadrado. eas lides utiliz era que se ha dde pavo real o, y comoy como AFB y ACD sminado por esto de lado en cambio unadescrito a veceo bien como lo .resultason iguales tos lados es eles igual al r5 a es a a l rea Las bell6 El reaque El reaque Y como(mismo)del rectEn defidos de cuadradla sumaigual alSe supomuchasanteriorA partimostraclezas geomtrica del tringuloa del tringuloo fcilmente s), obtenemos tngulo de ladinitiva, hemoslados los catedo de lado la a de los cuadrl cuadrado deone que esta ds conjeturas ares. r de la poca ciones alternacas atrs de lao es o es se ve que los y el nque el rea ddos y s demostradoetos del tringhipotenusa derados de los ce la hipotenus. demostracinacerca de la fode Euclides sativas. as frmulas fea, y, y ctringulos ABngulo determidel cuadrado d. que la suma gulo rectngue dicho tringcatetos del tria de dicho trin es original dorma que ofrese han propues y como como BK y BCE soinado por estode lado ede las reas dulo ABC, es iggulo rectngungulo rectningulo rectnde Euclides y eceran las demesto una infinresult. resulta on iguales os lados es el es igual al rede los cuadra-gual al rea deulo. O sea, quengulo ABC esngulo: se han hecho mostracionesidad de de-ta ea -el e s s Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 7 Es de notar, a cuenta de los mritos de Euclides, el que el teorema de Pitgoras vaya seguido inmediatamente por una demostracin del rec-proco: si en un tringulo el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados sobre los otros dos lados, entonces el ngulo que forman estos otros dos lados es un ngulo recto. Es fre-cuente en algunos libros de texto modernos que los ejercicios que siguen al teorema de Pitgoras requieran no el teorema propiamente dicho, sino el recproco no demostrado an. Puede haber muchos defectos menores en los Elementos, pero el libro tiene todas las virtudes lgicas mayores. **************************************************************************** Un uso interesante, del Teorema de Pitgoras Los griegos notaron que dados cualesquier dos cuadrados, podemos construir, por medio del mismo Teorema de Pitgoras, el cua-drado cuya rea es la suma de las reas de los dos. Primero, se dibujan dos rectas que forman un ngulo recto: Ahora, se ajustan a estas rectas, los dos cuadrados: a a bbLas bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 8 y se dibuja la hipotenusa del tringulo rectngulo que se necesita. Por fin, se construye el cuadrado sobre la hipotenusa. La raz cuadrada Las tcnicas que desarrollaron los matemticos de Babilonia y de la India Dado algn nmero, por ejemplo 19,321, cmo podemos encontrar su raz cuadrada? O sea, cmo podemos encontrar el nmero que, al multiplicarlo por el mismo nmero, da 19,321? Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 9 sta pregunta ha fascinado a la raza humana por miles de aos. En este documento, conocemos los procedimientos desarrollados por dos pueblos: Babilonia y la India. Los procedimientos de Babilonia y la India tienen interpretaciones geomtricas que nos guan en la hora de efectuarlos. Ambas parten de la idea de que existe un cuadrado cuya rea es el nmero del que que-remos encontrar su raz cuadrada. Con base en nuestros conocimientos sobre la geometra, sabemos que dicha raz es el largo comn de los lados del cuadrado. En el caso del nmero 19,321, el cuadrado tendra las caractersticas notadas en el diagrama a la izquierda. Partiendo de esta observacin, los matemticos de ambos pueblos desarrollaron tcnicas distintas para encontrar el largo de los lados. La tcnica de los babilnicos, en efecto, empez con un rectngulo con la misma rea. (En este caso, 19,321.) A continuacin, se hizo el equiva-lente matemtico de moldear el rectngulo inicial paso a paso, mante-niendo inalterada su rea, de modo que se aproximara ms y ms al cuadrado: Ya hemos obtenido un rectngulo de lados iguales, o sea, un cua-drado. Por lo tanto, podemos decir que 19321 = 139. En contraste, la tcnica de la India, inventada por el gran matemti-co Aryabhata, encontr el largo del lado una cifra a la vez, por comer el cuadrado en una serie de bocados. En el caso del nmero 19,321, el cuadrado se come completamente en tres bocados: Por lo tanto, 19321 = 100 + 30 + 9 = 139. La tcnica de Aryabhata es aquella que se ensea hoy en da en las escuelas, y sta es su interpretacin geomtrica. rea = 19,321 Cuadrado inicial 100 100Primera bocado 3030 Segunda bocado 9 9Tercera bocado rea = 19,321 200 96.6rea = 19,321 148130.5 rea = 19,321 139.25 138.75 rea = 19,321 139 139 rea = 19,321 19321 19321 Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 10 Construcciones geomtricas para encontrar la raz cuadrada Todas dependen de la presencia de tringulos semejantes en las cons-trucciones. Las construcciones que tratan semicircunferencias Para entender stas, tenemos que saber que en el siguiente dibujo, el ngulo ABC es un ngulo recto. Eso porque todo ngulo inscrito en una semicircunferencia lo es. Si dibujamos un segmento perpendicular al dimetro AC, y que pasa por el punto B, resulta que el ngulo ADB es recto tambin. Por lo tanto, son semejantes los siguientes dos pares de tringulos: Por consiguiente, examinando el primer par, se observa que BD/CD = AD/BD, luego BD2 = ADCD, y BD = AD CD , donde AD, BD, y CD representan las longitudes de los respectivos seg-mentos. B DCA D BABCADB DA BCA BCLas bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 11 De manera parecida, un anlisis de segundo par de tringulos nos lleva a que AB/AC = AD/AB, luego AB2 = ADAC, y AB = AD AC . Bueno, cmo podemos usar estos conocimientos para encontrar la raz cuadrada de un nmero? Hay dos tcnicas. En ambas, empezamos por escoger algn segmento que tenga una longitud conveniente. Dicho segmento se usar como un metro, y su longitud se define como 1. Esta idea no tiene nada de extrao; por ejemplo, la longitud de este segmento azul es el bien conocido 1 centmetro: Ahora, digamos que el nmero del que queremos encontrar su raz cua-drada, es N. En la primera tcnica, se construye una circunferencia cuyo dimetro es igual a N + 1. Es decir, que su dimetro mide N + 1 veces la longitud del segmento definido escogido como 1: Despus, se construye un segmento perpendicular al dimetro, a la dis-tancia 1 de uno de sus extremos: Ya que en esta construccin, BD = AD DC , resulta que AB = 1 N = N . Por lo tanto, el resultado final es N D A B C1 A B CN + 1 1 cm Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 12 En la segunda, tcnica, se construye una circunferencia cuyo dimetro es igual a N mismo, en vez de N + 1 : Despus, exactamente como se hizo en la primera tcnica, se cons-truye un segmento perpendicular al dimetro, a la distancia 1 desde uno de sus extremos: Ya que en esta construccin, AB = AD AC , resulta que AB = 1 N = N . El resultado final es DA BCN 1 N A BCN DA BC1 N Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 13 La construccin que trata de una tangente a una circunferencia En el dibujo que sigue, el segmento AB es tangente a la circunferencia, en el punto B. Son iguales los dos ngulos ABD y BCD, por lo que los siguientes dos tringulos son semejantes: Por lo tanto, AB/AC = AD/AB, luego AB2 = ACAD, y AB = AC AD , BA CD A BB A C D N N 1 D A B CLas bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 14 Cmo usar esta idea para encontrar la raz cuadrada de algn nmero N ? Primero, se construye una circunferencia de dimetro N 1: Acto seguido, se extiende el dimetro en una unidad ms, para obtener un segmento de longitud N: Por fin, se construye una tangente a la circunferencia Ya que en esta construccin, AB = AC AD , resulta que AB = 1 N = N . B A C D 1NN - 1 1 N N - 1 Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 15 Construcciones para resolver geomtricamente, las ecuaciones cuadrticas Un aspecto de la geometra que me cae como muy bello por mnima que sea su utilidad prctica es que los griegos de la antigedad identi-ficaron cmo resolver ecuaciones cuadrticas por medio de construccio-nes geomtricas. Consideremos las siguientes cuatro clases de ecuaciones cuadrti-cas, donde los nmeros a, b, y c son todos positivos: I. x2 + ax + b = 0 II. x2 + ax - b = 0 III. x2 - ax - b = 0 IV. x2 - ax + b = 0 . Las ecuaciones de la primera clase no tienen races positivas, por lo que, segn los griegos de la antigedad, stas no tienen soluciones. En cambio, toda ecuacin de las otras tres clases tiene al menos una raz positiva. Para saber encontrarlas geomtricamente, tenemos que escri-birlas de otra forma: II. x2 + ax - b = 0 se puede escribir como x(x + a) = ( b )2. III. x2 - ax - b = 0 se puede escribir como x(x - a) = ( b )2 IV. x2 - ax + b = 0 se puede escribir como x(a - x) = ( b )2. Las ecuaciones de las clases II y III tienen una sola raz positiva. Las construcciones para ambas clases son idnticas en cuanto a sus proce-dimientos. Primero, se construye un segmento de longitud b . Acto seguido, se construye una circunferencia de dimetro a, tangente al segmento en el punto B . Por fin, se dibuja una recta que pasa por A y el centro de B A C D 1 NN Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 16 la circunferencia. Las longitudes de los segmentos sealados, son los respectivos valores de x . Clase II: x(x + a) = ( b )2 Clase III: x(x - a) = ( b )2 Clase IV: x(a - x) = ( b )2 Ecuaciones de esta clase tienen dos races positivas, que las deno-minamos de x1 y x2. Para encontrarlas geomtricamente, se dibuja primero una circunferencia de dimetro a. Despus, se construye una recta paralela al dimetro de dicha circunferencia, a una distan-cia b . Esta recta cortar la circunferencia en dos puntos. Se elige uno de estos no importa cul. Por fin, se dibuja una recta perpen-dicular al dimetro, que pasa por el punto que se eligi. Las longitu-des de los segmentos sealados, son los valores de x1 y x2. B A C D x - a xa b B A C D xx + a a b Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 17 Bellezas geomtricas de las cnicas La parbola El desarrollo de su frmula a partir de conceptos de la geometra clsica, sin usar coordenadas Una parbola se define como el conjunto de puntos, en un plano, que guardan la misma distancia desde un punto (el foco) y una recta (la di-rectriz). En la figura que sigue, la parbola es la curva verde, y Z es algn punto que le pertenece. Por eso, FZ = DZ. Para investigar las caractersticas de la parbola, nos conviene agregar ms segmentos a nuestra figura. (Vase la siguiente.) x2 = a x1 x1 a b Aqu, usaremos la llamada Regla de la especifica-cin universal. Para nuestros fines, sta declara que si todos los objetos de una clase tienen ciertas caractersti-cas, entonces cada objeto de la clase las tiene. Esto parece obvio, pero s, es necesario declararlo abiertamente. Todos los puntos pertene-cientes a una parbola equidis-tan del foco y de la directriz; entonces, por la Regla de la Especificacin Universal, Z cumple esta condicin. Es que consformla rdes En eX y rrolltenevariade enfattoda frmulstancia, escrima de una ecurelacin entreque se puedeste caso, lasY. Por eso, cualamos una emos que defable claramenizarse la es una ita en la uacin, de e cantida-den medir. s distancia ndo desa-frmula, finir cada nte. Las bell18 Sea M celes. Pms cepunto iny que pambos Ququetamlezas geomtricel punto medPor eso, ZM ercano a la dirnterseccin dpasa por V. Pparalelos a laeremos sabemos, respectivcas atrs de ladio del segme FD. Sea V erectriz. Sea pdel segmento orque DZ y ea directriz, y Ver la relacin evamente, de xas frmulas feaento FZ. Porqel vrtice de lp la distancia eDZ con una rel eje de simetVB es paralelentre las distax y y. (Vase s ue FZ = DZ, la parbola, oentre V y la drecta paralelatra de la parla a la mismaancias SD y Bla siguiente fFZD es isso sea, el puntodirectriz, y B ea a la directrizbola son a, VB DZ. BZ. Las eti-figura.) s-o el z, Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 19 Ahora, acordmonos de que en el siguiente diagrama (la vimos cuando tratamos construcciones para encontrar la raz cuadrada), . De manera parecida, en el DMZ en la ltima figura para la parbola, MB2 = DBBZ, por lo que , lo cual se puede trasformar el la frmula usual de la parbola: 4 . En los libros de texto para la geometra analtica, este resultado se obtiene por medio del algebra con coordenadas. Qu bueno. Pero creo que la ruta que acabamos de seguir arroja ms luz sobre por qu la cuadrada de x es cuatro veces el producto py. Entonces, qu significan el x y el y en la frmula usual? Sin duda, el lector ha notado que nuestra parbola no tiene una orienta-cin que los libros de texto suelen usar. Por ejemplo, con su eje de si-metra vertical: M D Z B y x2 p D A B CAhora, podemos usar otra regla: la llamada Regla de la generaliza-cin universal Segn sta, si se demuestra que una frmula es cierta para un objeto elegido en forma arbitra-ria de una clase, entonces la frmula se verifica para todo objeto de la clase. El punto Z es un objeto ele-gido de forma arbitraria, de la clase, los puntos pertenecientes a la parbola. Entonces, la frmula , siendo cierta para Z, se verifica para todos los puntos pertenecientes a la par-bola. Cabe mencionar que el foco y la directriz que usamos fueron elegidos al azar tambin, por lo que la frmula se verifica para toda parbola. Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 20 Tampoco hacemos referencia a ningn plano cartesiano. Entonces, por qu coincide nuestra frmula, con aquella que viene en los libros de texto? Para responder esta pregunta, tenemos que profundizarnos un poco en el uso del plano cartesiano en la geometra analtica. El sistema cartesiano consta de dos ejes perpendiculares, ambos con la misma longitud definida como 1. Uno de los ejes se etiqueta de x, y el otro de y. Se definen tambin los lados positivos y negativos de cada eje. El punto interseccin de los ejes se llama el origen. Es el punto de refe-rencia, y sus coordenadas son (0,0). 1 1 El eje x El eje y ++Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 21 En los libros de texto, para la conveniencia del alumno e igualmente del autor, se presenta tambin una red de rectas paralelas a cada eje. Sin embargo, la red no es el sistema cartesiano; ste consiste en los ejes, la definicin de los lados positivos y negativos, y la definicin de la distancia 1. En el sistema cartesiano de referencia, la coordenada x de un punto es su distancia desde el eje y, y su coordenada y es su distancia desde el eje x. Entonces, las coordenadas del punto S en el siguiente diagrama son (2,3): x y 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 -3 -3 3 34 4-4 -4 El origen: (0,0) 1 1 El eje x El eje y++ Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 22 En los libros de texto el eje y casi siempre es vertical, y el eje x hori-zontal, pero podemos orientarlas de cualquiera forma que nos venga en gana. Tambin, podemos elegir, como punto de referencia, cualquier punto en el plano que nos convenga. Por ejemplo, aqu tenemos un plano, con dos marcos cartesianos de referencia. Cada marco tiene su propio origen (su ), y su propia orientacin de los ejes. Por supuesto, el punto P no tiene las mismas coordenadas segn el Marco I que tiene segn el II. En el desarrollo usual de la frmula para la parbola, se elige como origen, el vrtice de la parbola, y se alinea el eje y con el eje de simetr-a: Marco IMarco II P Plano x y 11-1-122-2-2-3-33344-4-4 S Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 23 Segn este maro de referencia, la coordenada x del punto Z es su dis-tancia desde el eje de simetra. Entonces, es exactamente nuestra dis-tancia z. De manera parecida, la coordenada y del punto Z es nuestra distancia y. Por eso, nuestra frmula (que usa distancias directamente) y la frmula usual (que usa distancias de manera indirecta, por medio de coordenadas) coinciden. Pero no coincidiran si se eligiera algn otro marco de referencia. La elipse El desarrollo de su frmula a partir de conceptos de la geometra clsica, sin usar coordenadas Sean A y B dos puntos arbitrarios pertenecientes a un plano. Elijamos alguna distancia arbitraria, pero mayor que la distancia entre A y B. De-finamos r como la mitad de dicha distancia, por lo que la distancia mis-ma sera 2r. En seguida, veremos el por qu de esta eleccin de varia-bles. Ahora, consideremos el siguiente diagrama. OEqcofoladEXOtra vez, Es de enfaue toda frmonstancia, esorma de una a relacin enes que se puEn este caso, lX y Y. atizarse mula es una scrita en la ecuacin, de ntre cantida-ueden medir. las distancias Las bell24 En la sumpuntos llama uQurelacines el puNos agD, que dos: lezas geomtriceste diagrama de sus distque cumplenuna elipse. Seeremos invesn entre las diunto medio eguarda un poequidista decas atrs de lama, hemos idtancias desden esta condice dice que A ystigar las carstancias x y ntre A y B): oco de trabajoe A y de B, y2as frmulas feaentificado un e A y B es 2cin, y que yy B son los foractersticas dy en el siguieo, claro. Prim por eso ests punto (Q) qu2r. El conjuntoyacen en un ocos de la parde la elipse; ente diagrammero, identifica a la distancue cumple quo de todos losolo plano, srbola. sobre todo, a, en la que amos el puntcia r desde loue os se la C to os Las beHemoPdiagraAl diauna cNlo quetanciaPorquque Qla orilellezas geomtros usado el sara seguir adama: agrama previocon centro A, Nuestro punto e la distanciaa, la cual la reue la suma deQ est dentro la. ricas atrs de lmbolo s paradelante en nuo, hemos agry la otra con Q est afuera entre estos epresentamose las distanciade la circunfelas frmulas fea la distancia uestro anlisisregado dos cB. Se intersera de la circudos puntos es por el smbas AQ y BQerencia centreas AC, la cual es, nos hace fcircunferenciaecancomo dnferencia cenes mayor de olo u. Entoncdebe ser 2r, ada en B, a les igual a CB.falta el siguieas de radio rdebenen D.ntrada en A, pr por cierta dces, AQ = r +BQ = r u. Aa distancia u25 . nte : la . por dis-+ u. As de Ad2eemlamfoAqu, vemos por distancia entre lo2s, y la suma de lntre Q y los focosta forma, no tenmanejar fracciona distancia entre mitad de la distanfocos. qu se define laos focos como las distancias os como 2r: de nemos que es. Por ejemplo,A y C es la ncia entre los a , Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 26 A juzgar por el diagrama, puede que los puntos C, W, y H sean coli-neales. Para nuestros fines, no es necesario que lo demostremos, pero vale la pena. Primero, simplifiquemos el diagrama previo, y agregumos-le una recta paralela a AB, y que pase por W: Identifiquemos varios pares de ngulos que son iguales (prubelos): WQZ = AQB; QWZ = QAB; QZW = QBA. Entonces, son similares los tringulos WQZ y AQB. Por eso, , o sea, , de modo que . De manera parecida, , o sea, , de modo que . Ahora, dibujemos la recta que pasa por H y W. Etiquetemos de N, su punto interseccin con el segmento AB. Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 27 Son similares, NHB y WHZ. (Prubelo.) Queremos identificar la dis-tancia NB. Entonces, , . , , y . Por eso, . Este resultado muestra que N se encuentra entre A y B, a la distan-cia s desde B. El punto C ocupa exactamente la misma posicin. En otras palabras, N y C son uno y el mismo punto, luego C, W, y H son colineales. Vamos a demostrar que C es colineal con H, y W por demos-trar que C y N son el mismo punto. sta es un ejemplo de una tcnica comn en la geometra clsica. OtrentUsaobtecos(2ResucUsatrar coseguloResuPor nos,paralo QResuAhoEstaformra Ruta, tre muchas oar la Ley de Coener una expre(QAB) cos ultado: os ar este ltimo pCQ, a partir deenos y los datos o QAC. ultado: medio de la Le, obtener unaa cos, a partir dQCB. ultado: ora, 22a relacin se pmar en 2 2 1. otras: osenos para esin para . 2 . para encon-e la Ley de para trin- . ey de Cose-a expresin del tringu- . , 2 2 . 2 2. puede tras-Las bell28 Buequeremte diagrA partirsiones la que rUn proruta unEn el slezas geomtriceno, de vuelmos identificarrama: r de los datospara QC y corelacione x y cedimiento ta poco ms co180iguiente diagcas atrs de lata al propsr una relacins en el siguienos, las cualey al se presentaorta, que se v. rama, se ha ias frmulas feaito verdaderon entre las disnte diagramaes nos permita en el margevale de la idenndicado el ns o de nuestra stancias x y y, podramos otiran desarroen. Aqu, se pntidad trigonongulo que midinvestigaciny en el siguienobtener exprellar una frmupresentar unomtrica de 180 - : n, n-e-u-na Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 29 Aplicada al tringulo QCB, la Ley de Cosenos nos dice que 2 , luego 2 2 . (I) En cambio, aplicada al tringulo QAC, la Ley de Cosenos nos dice que 2 180 , luego 2 2 . (II) Al restarle la ecuacin (I) a la (II), se obtiene 4 4 , y . Pero = x, entonces , , . Por el Teorema de Pitgoras, , por lo que buscamos alguna expresin para QC. Si sumamos las ecua-ciones (I) y (II), obtenemos (despus de unas cuantas simplificaciones) . De ah que . Buscamos una relacin entre x y y que se verifique para cada punto que pertenece a la elipse. Esto equivale a decir que se verifica sin importar el valor de u. Por eso, no queremos despe-jar al x, y tampoco al y. En cambio, queremos hacer unas sustituir por u. Una posibilidad es las que usamos aqu: . La Ley de los Cosenos es, en verdad, un desarrollo posterior a la geometra clsica. No obstan-te, tiene sus antecedentes que podamos haber empleado aqu. Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 30 Multiplicando ambos lados por r2, . Trasformemos ste en . Ahora, reflexionmoslo, con referencia al siguiente diagrama. Ya vemos el significativo de la cantidad : es la distancia entre D y el segmento que une los focos de la parbola (o sea, los puntos A y B). El ancho de la elipse es el doble de esta distancia. Otra caracterstica notable de la elipse, es que su punto interseccin con la lnea que pasa por A y B est a la distancia r desde C. Esto se puede ver de varias maneras; por ejemplo, dejando que y = 0 en la ecuacin que desarrollamos. Entonces el largo de la elipse es igual a 2r: Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 31 Antes de que terminemos con la elipse, volvamos a reflexionar nuestra frmula . Si dividimos ambos lados por , se obtiene . Simplificndola, 1 , Comparando este resultado a la frmula usual para la elipse, 1, se entiende mejor cmo juegan las cantidades s y r en la forma de la elipse. (Acurdese, que s es la mitad de la distancia entre los focos, y r es la mitad de la suma de las distancias entre cualquier punto que per-tenece a la elipse, y los dos focos.) Por ejemplo, aqu tenemos la elipse que se obtiene con la misma s, pero un r menor: Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 32 Entonces, qu significan el x y el y en la formula usual? En el caso de la parbola, nuestra frmula y la frmula usual coincidie-ron porque segn el marco de referencia usual, el coordenada x es igual a nuestra distancia x, y la coordenada y a nuestra distancia y. As es para la elipse, tambin: Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 33 La hiprbola Para ambientarnos Para m, la hiprbola es la ms interesante de las cnicas. Tiene dos ramas (las curvas verdes) que no se intersecan. Tiene dos focos (los puntos A y B en la figura). Para todos los puntos que pertene-cen a una hiprbola, es constante la diferencia entre las distancias que guardan desde los focos. Por ejemplo, . Las dos lneas de puntos se llaman las asntotas. Las dos curvas verdes se acercan a las asntotas conforme se alejan al centro (C, el punto me-dio entre A y B), pero nunca alcanzan las asntotas. La hiprbola tiene una relacin bonita con circunferencias tangentes: Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 34 Los centros de las circunferencias son los focos de la hiprbola. Las lneas PE y PG son tangentes a ambas, en los puntos E, F, G, y O. K es el punto medio entre F y E; V es el punto medio entre O y G. Entonces, las asntotas pasan por C y los puntos medios entre los puntos de tangen-cia. Hay otras relaciones entre puntos y lneas que resultarn tiles para nuestro anlisis. Primero, los tangentes a una circunferencia son per-pendiculares al radio trazado hasta el punto de tangencia. Esta carac-terstica nos permitir encontrar la distancia entre los puntos de tan-gencia. Sean R y r los radios de las circunferencias. Dibujemos JB paralelo a EP: AB = R + r, y AJ = R r. Entonces, por el Teorema de Pitgoras, Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 35 2 . Tambin, porque EF || JB, 2 . Ahora, usaremos la semejanza de varios de los tringulos presen-tes, para encontrar las longitudes de otros segmentos. Tringulos AJB y AEP: , , , , Tringulos AJB y BFP: , , , , . Nos convendr tambin, demostrar que CK EP. Lo haremos por demostrar que en el siguiente diagrama, los tringulos MEK y MCK son iguales. Porque MC || EF, EKM = CMK. Dos tringulos rectangulares son semejantes si tienen un ngulo agudo que es igual. Por lo tanto, AMC y AEP son semejantes, y , . O sea, que CM = KE. El segmento MK es el mismo para ambos tringu-los. Con esto queda demostrado que los dos tringulos MEK y MCK tienen ngulos iguales (EKM = CMK) comprendidos entre lados igua-les (CM = KE, y MK = MK), por lo que estos tringulos son iguales. Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 36 De esa igualdad se desprende que MCK es recto; o sea, que CK MC. Es ms, MC || EF, luego CK EF. Queremos demostrar tambin, que DK AP. Para demostrarlo, demostraremos que los tringulos FPB y DPK son semejantes. Primero, encontraremos las longitudes de algunos de sus respectivos segmentos: . La correspondencia entre los elementos de los dos tringulos es Tringulo FPB Tringulo DPK Razn FPB DPK Son iguales Lado PF = Lado PD = Lado PB = Lado PK = Los lados correspondientes estn en la misma proporcin, y compren-den un mismo ngulo. Por eso, los dos tringulos son semejantes, y KDP = BFP = 90. Ahora, podemos encontrar DK: , , . Es decir, DK = EK = FK = . Partiendo de estos resultados, podemos demostrar que DK AP. Nos valemos del converso del Teorema de Pitgoras: si los lados de un Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 37 tringulo cumplen a2 + b2 = c2, entonces el tringulo es rectangular, con el ngulo recto opuesto al lado mayor. En el caso del segmento DK, ; o sea, luego KDP es recto, y DK AP. Algunas de las relaciones entre las longitudes de los segmentos en este diagrama son bonitas. Por ejemplo, CA = CB = CK, y KE = KF = KD. Por eso, C es el centro de una circunferencia a la que pertenecen los puntos A, B, y K, mientras K es el centro de una circun-ferencia que incluye los puntos E, C, y D. Las circunferencias azules son iguales. La razn del radio rojo al azul es . Es ms, EF es un dimetro de la circunferencia azul, y AB es un dime-tro de la circunferencia roja. Por lo tanto, en el siguiente diagrama, el tringulo rojo y el azul son ambos rectangulares Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 38 Antes de que terminemos, es necesario demostrar que en el siguien-te diagrama (donde PV es un rayo arbitrario entre los rayos PE y PA), el WQZ es issceles. Primero, reconocemos que los tringulos EPG y FPH son semejan-tes, por lo que EGP = FHP. Tambin son iguales sus respectivos ngulos opuestos por el vrtice; a saber, VGA = ZHB. Segundo, notamos que . Por lo tanto, EG/FH = R/r, y porque EA/FB = R/r tambin, . Ahora, dibujamos segmentos perpendiculares a PV, y que pasen por los puntos A y B. Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 39 Una observacin clave es que TAG y SBH son iguales porque AT || BS y AG || BH. Vale la pena demostrar exactamente por qu, con refe-rencia al siguiente diagrama, en el que ABC y JEF son anlogos a los ngulos AGT y BHS en nuestro problema. Los ngulos ABC y DGH son iguales por ser ngulos correspondien-tes con respecto a L2 y L4. Adems, DGH y JEF son iguales por ser ngulos correspondientes con respecto a L1 y L3.Por lo tanto, ABC = JEF. De manera parecida, en nuestro problema TAG = SBH. A consecuencia de esto, los tringulos ATG y BSH son semejan-tes, con AT/BS = AG/BH = R/r. Los tringulos ATV y BSZ son rec-tangulares, con AV = R y BZ = r. Por lo tanto, VT/ZS = R/r. Con esto, queda demostrado que son semejantes los tringulos ATV y BSZ, luego AVT = BZS. Adems, el tringulo VAW es issceles, con AWT = AVT. Entonces, AWT = BZS. Para terminar, los ngulos QWZ y AWT son ngulos opuestos por el vrtice, y tambin QWZ y BZS. Por lo mismo, QWZ = QZW, y el tringulo WQZ es issceles, con QW = QZ. Es de enfatizarse, que PV fue un rayo arbitrario entre los rayos PE y PA. Lo que hemos demostrado es que para todo rayo tal, su tringulo WQZ es issceles. Este hecho es clave para el desarrollo de la frmula para la hiprbola. Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 40 El desarrollo de la frmula para la hiprbola, a partir de conceptos de la geometra clsica, sin usar coordenadas Partimos del siguiente diagrama, en el que los focos A y B de la hiprbo-la son dos puntos arbitratorios en un plano. Todas las dimensiones estn definidas en funcin de la distancia 2s entre los focos, y la dife-rencia 2d entre cualquier punto Q y los dos focos. As tal como fue el caso en la seccin anterior, C es el punto medio en-tre A y B, y P es el punto interseccin de la lnea que pasa por A y B, y los tangentes comunes a las dos circunferencias. Hemos visto que WQZ es issceles, con WQ = ZQ. Lo que nos toca hacer, es encontrar la relacin entre las distancias x y y en el diagrama que sigue. Ser ms conveniente trabajar a partir de una versin simplificada del mismo: Las dimensiones, en funcin de los parmetros s y d: AB = 2s AQ BQ = 2d AC = CB = s R = s + d r = s - d Las beAntesRenHay vmanteDichola elipPPellezas geomtrs de que sigamQu quereRespuesta: Untre las distanvarias rutas ener presentecos 180CQcosCQsenNo buscammos encono todo esto, sepse. ara QCB: Pero r = s Podemos djantes paraara QCA: Pero Rricas atrs de lmos, es buenemos? Una ecuacinncias x y y. posibles. Pee en la mentecos , pero tambmos despejantrar una relaeguimos una d, luego desarrollar ela obtener 2 2R= s + d, luelas frmulas feno preguntarn (una frmuro sin import, que bin, r al x; tampocin entre esruta casi idn2 22 (s d + u)222 2ego 2eas nos ula) que exptar cul sigaoco al y. En tas distanciasntica a la que . y combinar t2cos 180rese la relacmos, queremcambio, buss. e usamos paratrminos sem . (I) . 41 cin mos ca-a me-Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 42 Podemos desarrollar el (s + d + u)2 y combinar trminos semejantes para obtener 2 2 2 2 . (II) Ahora, sumamos las Ecuaciones (I) y (II) para obtener 2 . (III) Restando las ecuaciones (I) y (II), se obtiene . (IV) Porque x = (CQ)cos, a partir de la Ecuacin IV podemos escribir Estos dos resultados, juntos con la Ecuacin (III) y las observaciones anteriores, nos posibilitan encontrar la frmula que buscamos: 2 2 . Simplificando, se obtiene , la cual se puede trasformar en 1. El punto Q que tratamos para desarrollar esta frmula fue un punto arbi-trario de la hiprbola, por lo que la frmula se verifica para todos los puntos de la hiprbola. (o, al menos, en la rama que tratamos.) Ahora, examinemos el diagrama de la hiprbola para relacionar sus caractersticas con las cantidades d2 y (s2 - d2). Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 43 Analizndolo, veremos que d = CD, y . Por lo tanto, (s2 - d2) es la cuadrada de la distancia entre el punto inter-seccin de las dos circunferencias (D, que se llama un vrtice de la hiprbola) y el punto medio (K) entre los puntos de tangencia (E y F). La frmula usual para la hiprbola es 1, en la cual a representa la distancia CD (hablaremos ms sobre esto, a continuacin), y el significativo de b, por lo general, no nos queda muy claro. Ahora, podemos verlo: es la distancia DK. Entonces, qu significan el x y el y en la formula usual? Nuestras frmulas para la parbola y la elipse coincidieron con las frmulas usuales porque segn el marco de referencia usual, el coorde-nada x es igual a nuestra distancia x, y la coordenada y a nuestra dis-tancia y. As es para la hiprbola, tambin: Las dimensiones, en funcin de los parmetros s y d: AB = 2s AQ BQ = 2d AC = CB = s R = s + d r = s - d Las bellezas geomtricas atrs de las frmulas feas 44 El origen del marco de referencia coincide con C, y los ejes son parale-los a nuestros segmentos x y y.