Guia de sesión 2 copia

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    12-Jul-2015

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<p>Universidad Cesar Vallejo</p> <p>Facultad de Ciencias Empresariales</p> <p> Matemtica Superior</p> <p> Primera Unidad Didctica </p> <p> ECUACIONES</p> <p> 2014</p> <p>El ingreso total de una cafetera con base en la venta de x cafs especiales est dado por r = 2x y sus costos totales diarios estn dados por c = 0.5x + 300. </p> <p>Cuntos cafs especiales se necesitan vender cada da para recuperar el capital invertido? En otras palabras Cundo ingreso es igual a los costos?</p> <p> especiales.1.1. ECUACIONES</p> <p>1.1.1. DEFINICION</p> <p>Una ecuacin es una proposicin que indica que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que conforman una ecuacin son llamados sus lados o miembros, y estn separadas por el signo de igualdad.</p> <p>Ejemplo de ecuaciones:a. x + 2 = 3b. x2 + 3 x + 2 = 0Las ecuaciones se convierten en identidades slo para determinados valores de la(s) incgnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuacin.</p> <p>Ejemplo:</p> <p>La ecuacin: 3X - 8 = 10 slo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuacin quedar la identidad: 10 = 10Ejemplo:</p> <p> 5x 9 = 1 es una ecuacin con una incgnita con una solucin, x = 2 X2 + y2 + 5 = 0 es una ecuacin con dos incgnitas sin solucin, pues la suma de dos cuadrados es un nmero positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumndole 5. 2x + 3y = 15 es una ecuacin con dos incgnitas que tiene infinitas soluciones, como: x=0 , y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.1.2. ECUACIONES LINEALES </p> <p>1.2.1. DEFINICIN</p> <p>Una ecuacin lineal en la variable x es una ecuacin que puede escribirse en la forma: ax + b = c, donde a, b y c son constantes y a ( 0</p> <p>Tambin se le conoce como ecuacin de primer grado o ecuacin de grado uno, ya que la potencia ms alta de la variable que aparece en la ecuacin es la primera.Ejemplo: 5x 6 = 3x</p> <p>Para resolver una ecuacin de 1er grado se recomienda que las incgnitas estn en un mismo miembro y las cantidades numricas o conocidas en el otro y as se podr despejar ms fcil.</p> <p>MATERIAL DE CLASEa) </p> <p>b) </p> <p>c) </p> <p>d) </p> <p>e) </p> <p>f) </p> <p>g) </p> <p>h) </p> <p>i) </p> <p>j) </p> <p>k) </p> <p>l) </p> <p>m) </p> <p>n) </p> <p>) </p> <p>o) </p> <p>p) </p> <p>q) </p> <p>r) </p> <p>s) </p> <p>t) </p> <p>u) </p> <p>v) </p> <p>w) </p> <p>ECUACION COSTOS, INGRESOS Y UTILIDADES</p> <p>La mayora de los empresarios, definen sus precios de venta a partir de los precios de sus competidores, sin saber si ellos alcanzan a cubrir los costos de sus empresas. Por otra parte, no existen decisiones empresariales que de alguna forma no influyan en los costos de una empresa. Es por eso imperativo que las decisiones a tomarse tengan la suficiente calidad, para garantizar el buen desenvolvimiento de las mismas. Veamos un ejemplo:</p> <p>Ejemplo:</p> <p>Muebles IKASA vende en su sede del centro muebles de oficina, en donde se tienen los siguientes costos de un modelo nuevo que se est ofreciendo en esta sede:</p> <p>COSTOS FIJOS</p> <p>Alquiler del local de ventas</p> <p>S/ 1,900</p> <p>Sueldos y jornales vendedora</p> <p>S/ 800</p> <p>Energa elctrica</p> <p>S/ 400</p> <p>Telfono</p> <p>S/ 100</p> <p>Impuestos</p> <p>S/ 473</p> <p>Honorarios Contador</p> <p>S/ 827</p> <p>TOTAL</p> <p>S/ 4,500</p> <p>COSTOS VARIABLES</p> <p>Costo por unidad de cada juego de mueblesS/ 1,500</p> <p> (mat. Prima y mano de obra)</p> <p>Por otro lado, el juego de muebles se est vendiendo a S/. 2 000. En este primer mes la gerencia se ha propuesto una utilidad de S/. 20 000. Por lo tanto, cuntos juegos de muebles debe vender para obtener la utilidad propuesta?</p> <p>Solucin:</p> <p>Cul es nuestra incgnita?........................................................................</p> <p>As, sea x:...............................................................................................</p> <p>Por lo tanto, si denotamos con C la inversin total para dicha cantidad de juegos de muebles, tendramos que Esta inversin se denomina Costo Total y es igual a:</p> <p>Por otro lado, teniendo en cuenta la venta de cada par de zapatos a:</p> <p>Venta: Cada juego de muebles se vende a S/. 2,000 por lo cual si se venden un total de x muebles, se obtendr un ingreso que se denomina Ingreso Total igual a:</p> <p>Teniendo en cuenta ello, por los x juegos de mueble que produce y vende se obtendr una Utilidad de:</p> <p>Por otro lado, la gerencia se ha propuesto obtener un ganancia total de S/. 20.000. Por lo tanto reemplazando:</p> <p>As el nro. de juegos de muebles a producir y comprar es:.....................</p> <p>ACTIVIDAD </p> <p>Problemas de aplicacin de ecuaciones lineales</p> <p>1. Una ejecutiva de la compaa Electronic S.A. tiene un salario mensual ms un bono por fiestas patrias del 12.5% de su salario mensual. Si gana un total de 97 300 dlares al ao, cul es su salario mensual?2. Halle el nivel de ganancia de una fbrica que tiene un costo fijo de S/. 750, un costo de S/. 80 y un precio de venta de S/.95, cuando vende (a) 40 artculos y (b) 60 artculos.3. Una firma que tiene unos costos fijos de S/. 15 000 y un costo de S/. 200 por unidad. Por otro lado, se ha propuesto una ganancia de S/. 50 por cada unidad. Halle el ingreso de vender (a) l5 unidades y (b) 20 unidades Cuntos unidades debe vender si desea obtener un ingreso de S/. 80 000?4. Una fbrica recibe $25 por cada unidad de su produccin vendida. Tiene un costo de $ 15 por artculo y un costo fijo de $ l 200. Cul es el nivel de ingresos, si vende (a) 200 artculos, (b) 300 artculos y (c) 100 artculos?</p> <p>5. Una Multinacional est tratando de captar a los mejores agentes de ventas para su empresa, para ello se entera que su competencia est pagando al ao $12,600 ms una comisin del 2% sobre sus ventas anuales. Mientras que sta paga solo un comisin del 8% sobre sus ventas anuales. Para qu nivel de ventas anuales la multinacional es superior en $5500 a su competencia?, Qu le permitir hallar ello?6. Esteban piensa abrir una lavandera, calcula que por alquiler del local pagara S/. 500 y pago por energa elctrica ser S/. de 200 al mes. Segn lo calculado, el costo por prenda en detergente, agua y energa es de S/. 0.15. Si el servicio se ofrece a S/. 0.40, cuntas prendas debe lavar si desea una utilidad de $5,000 semanales?7. El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que fabrica al precio de $50 cada artculo. Le cuesta $35 producir cada artculo por los materiales y la mano de obra, y tiene un costo adicional de $15,000 al mes con el fin de operar la planta. Cuntas unidades debe producir y vender para obtener utilidades de $11,500? (Redonde a la unidad ms cercana).8. Un electricista cobra $55 por una visita domiciliaria ms $30 por hora de trabaja adicional. Exprese el costo C de llamar a un electricista a su casa en funcin del nmero de horas x que dure la visita1.3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO2.1.1. DEFINICION</p> <p>Llamadas tambin ecuaciones CUADRTICAS, son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma general:</p> <p>donde a , b y c son llamados coeficientes y que pueden ser reales o complejos (1).</p> <p>El coeficiente a se llama coeficiente cuadrtico o de segundo grado.</p> <p>El coeficiente b se llama coeficiente lineal o de primer grado y</p> <p>El coeficiente c se llama trmino lineal.Si los coeficientes a, b y c son diferentes de cero, la ecuacin de segundo grado se llama completa y si b c o ambos, son ceros, la ecuacin de segundo grado se llama incompleta.</p> <p>As dado: a , b y c 0 entonces : ax2 + bx + c = 0 se llama ecuacin de segundo grado completa.</p> <p>Toda ecuacin de segundo grado presenta dos races o soluciones, llammoslas, x1 y x2.</p> <p>Estas races se pueden obtener mediante dos mtodos:</p> <p>METODOS DE SOLUCION:</p> <p>METODO DE LA FORMULA GENERAL:</p> <p>De la ecuacin se deduce la formulacin clsica que despeja la variable:</p> <p>Se define la cantidad subradical: b2 4ac como el discriminante (invariante Caracterstico) de la ecuacin cuadrtica y se le denota por :, luego:</p> <p>Las races x1 y x2 de una ecuacin de segundo grado: ax2 + bx + c = 0, a0 dependen de la discriminante as:</p> <p>Primer caso:</p> <p>Si &gt; 0 entonces las races x1 y x2 son reales y desiguales.</p> <p>Ahora bien en este caso se presentan dos situaciones:</p> <p>a) si es un cuadrado perfecto las races x1 y x2 son racionales.</p> <p>b) si no es un cuadrado perfecto las races x1 y x2 son irracionales conjugadas.</p> <p>Segundo caso:</p> <p>Si = 0 entonces las races x1 y x2 son reales e iguales (races dobles) donde:</p> <p>Tercer caso:</p> <p>Si &lt; 0 entonces las races x1 y x2 son complejos y conjugados.</p> <p>METODO DE FACTORIZACION:</p> <p>Consiste en factorizar el polinomio de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 siempre y cuando se pueda.</p> <p>Los pasos de este mtodo son los siguientes:</p> <p> Se trasladan todos los trminos a un slo miembro dejando el otro miembro igual a cero.</p> <p> Se factoriza este miembro por el mtodo del aspa simple.</p> <p> Para obtener las races de la ecuacin, se iguala cada factor a cero.</p> <p>Discusin de las races de una ecuacin de segundo grado.</p> <p>Ejemplo1. La empresa Nail S.A. que se dedica a la produccin de zapatos, tiene un costo fijo mensual de S/. 300 y un costo variable por unidad producida de S/. 10. Adems, se sabe que su ingreso est dado por: , donde x es el nmero de artculos que produce y vende la empresa mensualmente. ( )a) Determinar la utilidad mensual de la empresa en funcin de x.b) Hallar la utilidad que obtendr la empresa si produce y vende 200 artculos.</p> <p>ACTIVIDAD </p> <p>A. Resolver:</p> <p>1. (x + 2)(x 1) = 0</p> <p>2. (2x + 1)(4 3x) = 0</p> <p>3. 10x2 x 3 = 0</p> <p>4. 5x2 7x + 2 = 0</p> <p>5. </p> <p>6. 6x2 11x 7 = 0</p> <p>7. 3x2 + 8x 6 = 0</p> <p>8. -x2 11x = 0</p> <p>9. (x + 3)2 = (x 1)2 + 2810. </p> <p>Problemas de aplicacin: 1. El taller artesanal La pastorcita S.A. est especializado en la produccin de cierto tipo de muebles finos. Los costos de fabricacin, C en soles, estn relacionados con el nmero de muebles fabricados, x, a travs de la siguiente expresin: </p> <p> El precio de venta de cada juguete es de 8,000 soles.</p> <p>a) Plantear la ecuacin de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos.</p> <p>b) Plantear la ecuacin de utilidades, entendidos como diferencia entre ingresos y costos de fabricacin.</p> <p>c) Cuntos juguetes debe fabricar para tener 650,000 de utilidades? 2. La empresa El Porvenir. S.A. ha estimado que los ingresos y los gastos anuales (en soles) que genera la fabricacin y venta de x unidades de un determinado producto, vienen dados por las funciones: y Determina, justificando las respuestas:</p> <p> a)La ecuacin que define las utilidades anuales.</p> <p> b) El nmero de unidades que hay que vender para que la utilidad sea 300,000.</p> <p>ACTIVIDADES FINALES </p> <p>I. Coloca V si es verdadero o F si es falso, em ls siguientes proposiciones, justifica tu respuesta</p> <p>1.Una ecuacin lineal tiene una sola raz( )</p> <p>Porque, ...........................................................................................................................</p> <p>.........................................................................................................................................</p> <p>2.La solucin de la ecuacin: 25 x = x, es el conjunto vaco ( )</p> <p>Porque, ...........................................................................................................................</p> <p>.......................................................................................................................................</p> <p>3.En la ecuacin: 2 x + 4 = 2 ( x + 2 ), el conjunto solucin son todos los reales.( )</p> <p>Porque, ...........................................................................................................................</p> <p>4.En la ecuacin x + 3 = x + 3, se cumple que .( )</p> <p>Porque, ...........................................................................................................................</p> <p>5.El conjunto solucin de: es </p> <p>( )</p> <p>Porque, ...........................................................................................................................</p> <p>6.Para el valor de la ecuacin tiene nica solucin.( )</p> <p>Porque, ...........................................................................................................................</p> <p>.........................................................................................................................................</p> <p>7. Para la ecuacin no tiene soluciones reales. ( )</p> <p>Porque, ...........................................................................................................................</p> <p>.........................................................................................................................................</p> <p>8.La ecuacin cuadrtica puede tener soluciones imaginarias. ( )</p> <p>Porque, ...........................................................................................................................</p> <p> ECUACIONES </p> <p>Resolver las siguientes ecuaciones:</p> <p>1. 2. </p> <p>3. </p> <p>4. </p> <p>5. </p> <p>6. </p> <p>7. Resolver la ecuacin se reduce a 1er grado en x.</p> <p> ax2 + 2x + a = 5x2 3ax + 4 ; (a ( R) </p> <p> a)1 b)16 c)15/17 d)1/17 e)1/912. En la ecuacin : x2 + 6x m = 0 Hallar m, si una raz es -2.</p> <p>a) -2 b) -6 c) -8 d) -4 e) 413. Si en la ecuacin: x2 5ax + 3a=0 ; una de las races es 2. Indicar el valor que adopta a .</p> <p>a) -5 b) 5 c) -4/3 d) 4/7 e) -4/7</p> <p>14. Resolver para x : </p> <p> a(x-a) + 2bx = b.( b+2a+x ) a) a+2ab+b b) a+b c) </p> <p> c) ab e) </p> <p>15. Hallar x : </p> <p>a) a+bb) a-b c) ab d) e) </p> <p>16. Resolver para x :</p> <p> a)1 b)ab c)a-b d)2(a-b) e)2(a+b)17. El martes gan el doble de lo que gan el lunes, el mircoles el doble de lo que gan el martes, el jueves el doble de lo que gan el mircoles; el viernes S/. 30 menos que el jueves y el sbado S/. 10 ms que el viernes. Si en los 6 das he ganado S/. 911 Cunto gan el mircoles?18. Se compran 25 lpices, 32 cuadernos y 24 gomas de borrar y se cancela por ello $ 16.900. Si cada cuaderno cuesta el triple de cada goma, ms $ 20 y cada lpiz cuesta el doble de cada goma, ms $ 8. Cunto cuesta cada material?19. Compr el cudruple del nmero de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 caballos ms y 5 vacas mas tendra el triple de nmero de caballos que el de vacas. Cuntos caballos y cuntas vacas compr?</p> <p>20. (x + 2)(x 1) = 021. 10x2x3=0 23. 5x27x+2=024. 6x211x7=0 25. x2+8x6=026. -x2 11x = 0 27. 2x2 x = 028. (x + 3)2 = (x 1)2 + 2829. Alberto tiene 3 aos ms que Juan y el cuadrado de la edad de Alberto aumentado en el cuadrado de la edad de Juan equivale a 317 aos. Hallar ambas edades.30. Hallar el mayor de cinco nmeros enteros consecutivos; sabiendo que la diferencia de la suma de los tres menores con la suma de los dos mayores es 28.32. Resolver : 2x2 3x 1 = 0 .tc "1. Resolver\:"</p> <p>tc ""Sealar una raz.tc "Sealar una raz."tc ""</p> <p> a) b) </p> <p>c) d) e) tc "d) </p> <p>e)"tc ""33. Resolver: tc "2. Resolver\:"</p> <p>tc ""5x2 + 2 = 8x . t...</p>