x x x - Con Guardería - Trilingüe - Concertado - Logroño ?· x 4 − x 3 − x 2 − x − 2 = (x…

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    24-Jan-2019

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Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 1

TEMA 3 LGEBRA

FACTORIZACIN DE POLINOMIOS EJERCICIO 1 : Factoriza los siguientes polinomios: a) 2x4 18x 2 b) x 4 x 3 x 2 x 2 c) x 3 13x 2 ++++ 36x d) 2x 3 9x 2 8x ++++ 15 e) x 5 ++++ x 4 2x 3 e) x 3 3x ++++ 2 Solucin: a) Sacamos factor comn y tenemos en cuenta que a2 b2 = (a + b) (a b): 2x4 18x2 = 2x2 (x 2 9) = 2x 2 (x + 3) (x 3) b) Utilizamos la regla de Ruffini:

1 1 1 1 2

1 1 2 1 2

1 2 1 2 0

2 2 0 2

1 0 1 0

x 4 x 3 x 2 x 2 = (x + 1) (x 2) (x 2 + 1) (El polinomio x 2 + 1 no tiene races reales). c) Sacamos factor comn y hallamos las otras races resolviendo la ecuacin de segundo grado:

( )x x x x x xx

x x x

x

+ = +

= + = = = =

=

3 2 2

2

13 36 13 36

913 169 144 13 25 13 5

13 36 02 2 2

4

Por tanto: x 3 13x 2 + 36 x = x (x 9) (x 4) d) Utilizamos la regla de Ruffini:

2 9 8 15

1 2 7 15 2 7 15 0

5 10 15

2/34/6x

5x

4

137

4

1697

4

120497x015x7x2 2

=====+==

2x 3 9x 2 8x + 15 = 2(x 1) (x 5) (x + 3/2) e) Sacamos factor comn y hallamos las otras races resolviendo la ecuacin:

x 5 + x4 2x3 = x 3 (x 2 + x 2) =

+ + = = = ==

2

11 1 8 1 9 1 3

2 02 2 2

2

x

x x x

x

Por tanto: x 5 + x4 2x3 = x 3 (x 1) (x + 2) f) Utilizamos la regla de Ruffini:

1 0 3 2

1 1 1 2 1 1 2 0

1 1 2 2x

1x

2

31

2

91

2

811x02xx2

====+==+

x 3 3x + 2 = (x 1)2 (x + 2) APLICACIONES DEL TEOREMA DEL RESTO

EJERCICIO 2 : Halla el valor de k para que la siguiente divisin sea exacta: ( ) ( )23 2 2x kx x+ : ++ : ++ : ++ : + Solucin: Llamamos P(x) = 3x 2 + kx 2. Para que la divisin sea exacta, ha de ser P(2) = 0; es decir: P(2) = 12 2k 2 = 10 2k = 0 k = 5

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 2

FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIO 3 : Simplifica las siguientes expresiones algebraica s:

a) 23

345

396

xxxxx

+++

b) xxx

xx23 23

3

++

c) xxx

xxx

23

223

23

+

d) xxx

xxx

++

23

23

2

133 e)

24

234

9

32

xx

xxx

Solucin:

a) ( )

( )( )( ) ( ) xxxxxxxx

xx

xxx

xx

xxx33

3

3

3

96

3

96 22

23

2

23

23

345

+=+=+

+=+

++=+

++

b) ( )

( )( )( )( )( ) 2

121

11

23

1

23 2

2

23

3

+=

+++

=++

=++

xx

xxx

xxx

xxx

xx

xxx

xx

c) ( )

( )( )( )( )( ) 1

112

12

23

2

23

22

2

23

23

+=

+

=+

=+

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

d) ( )( ) x

x

xx

x

xxx

xxx 1

1

1

2

1332

3

23

23 =

=+

+

e) ( )

( )( )( )( )( ) 3

1

33

13

9

32

9

322

2

22

22

24

234

++=

++

=

=

xx

xxx

xxx

xx

xxx

xx

xxx

EJERCICIO 4 : Efecta las siguientes operaciones y simplifica:

a)

+

+

1613

112

2

3

xx

xxx

xxx b)

4

1213

22

2

++

xxx

xx

c) ( )

( )222

1

3

1

12

1

+

x

x

x

x d)

( ) 11

12

1

122

+

+ xxx

e)

+

+

1123 2

xxx

xx

x

Solucin:

a) ( )( ) ( )

( )( ) =+

++

=

+

+

1x6x

xx

1x1x

1xx31x1x2

1x6x

xx

1x

x3

1x

1x22

3

2

3

( )( )( )( )

( )( )( )( )

x1x6x

1x1xx

1x1x

1x6x

1x6x

1x1xx

1x1x

x3x31xx2x22

2

2

22=

+

+++=

+

++

+

b) ( ) ( )( )

4x

3x11x

4x

12xx6x3x4x2

4x

1

4x

2x1x3

4x

2xx2

4x

1

2x

1x3

2x

x22

2

2

22

2222

+=

+++=

+=

++

c) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

2

2

22

2

22

2

1x2

1x6x

1x2

x61x

1x

x3

1x2

1x

1x

x3

1x1x2

1x

1x

x3

1x

1

2

1x

+

=+

=+

+

=+

+

=+

d) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

=+

+++=+

+

+

=

+

+ 1x1x

1x1x21x

1x1x

1

1x

2

1x

1

1x

1

1x

2

1x

12

2

222

( ) ( ) ( ) ( )1x1x

2x2x2

1x1x

1x2x21x2

2

2

2

+

+=+

+++

e) ( )

( ) ( )( )

1x

3x3x2

1x

1xx

1xx

x23x3

1x

xx

1xx

x21x3

1x

xx

1x

x2

x

3 22222

++=

+

++=

+

++=

+

+

RESOLUCIN DE ECUACIONES EJERCICIO 5 : Resuelve las siguientes ecuaciones:

343

344

1) 22 += xxxxx 028112) 24 =+ xx 3

433

415

3)2

2 ++=+ xxx

0100214) 24 = xx ( ) ( )3

154 5)

=+ xxxx 049486) 24 = xx

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 3

121637) =+ xx 358) =+ xx 3

1422

49) =

+

+ xx

xx

611

423

10) =+

+xx

45

12

12

11) =++

xx

x 124412) +=+ xx

211

1412

13) =

+xx

x 14) 099 234 =+ xxxx 15) 012112 23 =+ xxx

16) 044 234 =+ xxxx 17) 0652 23 =+ xxx 18) 044 23 =+ xxx

27

2

122 19) 1 =++

xxx ( ) xloglogxlog =+ 43 20) 2 0363721) 24 =+ xx

( ) ( ) 2212 22) lnxlnxln =+ 124523) +=+ xx 098

33 24) 12 =+ +xx

22 6

331

4

525)

xx= ( ) ( ) 1231 26) =+ xlogxlog xx 2111327) =+

042322 28) 11 =++ + xxx x

xx

x 16

161

29)+=

+

31

3

3 30)

1

12

=+

+

x

xx

032231) xx1 =+ xx 37132) = 052233) 2 =++ xx Solucin:

3

4x3xx

3

x4x4 1) 2

2 += ; 3

433

33

33

44 22 += xxxxx ; 4x3x3x3x4x4 22 =

04x4x2 =+ ; 224

2

16164==

=x ; Solucin: x = 2

028x11x 2) 24 =+ 242 zxzx :Cambio == 028z11z2 =+

==

===

=

=

24

77

2311

2

911

2

11212111

xz

xzz

2 2 7 7 :soluciones Cuatro 4321 ==== x,x,x,x

34

3xx3

4

15x 3)

22 ++=+ ;

412

433

415

44 22 ++=+ xxx ; 1233154 22 ++=+ xxx

0xx2 =+ ; ( )

==+

==+

101

0 01

xx

xxx

0100x21x 4) 24 = 242 :Cambio zxzx == 0100212 = zz

=

===

=

+=

vale) (no 4

5 25

22921

2

84121

2

40044121

z

xzz Dos soluciones: x1 = 5, x2 = 5

( ) ( )3

1xx54xx 5)

=+ ; 3

542

2 xxxx=+ ; xxxx =+ 22 15123

015x13x2 2 =+ ;

==

==

=

+=

215

430

1

41713

4

28913

4

12016913x

xx

049x48x)6 24 = 242 :Cambio zxzx == 049482 = zz

=

===

=

+=

vale) (no 1

749

25048

2

500248

2

196304248

z

xzz Dos soluciones: x1 = 7, x2 = 7

1x216x37) =+ ; ( )212163 =+ xx ; xxx 414163 2 +=+ ; 15740 2 = xx

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 4

===

=

=+

=45

810

3

8177

8

2897

8

240497x

xx

Comprobacin:

vale. s 35253 === xx

vale. no 45

27

27

449

45 === xx

Hay una solucin: x = 3 3x5x8) =+ ; xx +=+ 35 ; xxx 695 2 ++=+ ; 450 2 ++= xx

==

=

=

=4

1

235

2

95

2

16255

x

xx

Comprobacin:

vale s 1312141 ==+=+= xx

vale no 43541414 ==+=+= xx Hay una solucin: x = 1

3

14

2x

x

2x

x49) =

+

+;

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )223

2214223

23223

212++

=+

+++

xxxx

xxxx

xxxx

( )414632412 222 =++ xxxxx ; 56141815 22 = xxx ; 056182 =+ xx

==

=

=

=4

14

21018

2

10018

2

22432418

x

xx

6

11

4x

2

x

310) =

++ ; ( )( ) ( )

( )( )46

41146

1246418

++=

++

++

xxxx

xxx

xxx

; xxxx 4411127218 2 +=++ ; 7214110 2 += xx

===

=

=+

=1136

2272

2

225814

22

336414

22

316819614x

xx

4

5

1x

2x

1x

2 11) =

++

;

( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )114

115114214

11418

++

=+

++

+xxxx

xxxx

xxx

; ( ) ( )1523488 22 =+++ xxxx 55812488 22 =+++ xxxx ; 2140 2 += xx ;

=

==

=

+=

7

3

2104

2

1004

2

84164

x

xx

12x44x12) +=+ ; ( ) 1244 2 +=+ xx ; 1248162 +=++ xxx ; 0442 =++ xx ;

Comprobacin: vlida es s422 ==x

2

11

1x

4

x

1x213) =

+ ;

( )( )( ) ( )

( )( )12

11112

812

1122=

+

xxxx

xxx

xxxx

; ( ) xxxxx 111181322 22 =++ xxxxx 11118264 22 =++ ; 21370 2 = xx ;

===

=

=+

=71

142

2

141513

14

22513

14

5616913x

xx

14) Sacamos factor comn: ( ) 09999 23234 =+=+ xxxxxxxx : 9x9xx osFactorizam 23 +

x2 9 = 0 x = 3

22

4

2

16164x ==

=

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 5

( )( )( )

==+==

==+=

=++=+

303

303

101

0

033199 234

xx

xx

xx

x

xxxxxxxx

Por tanto, las soluciones de la ecuacin son: 3310 4321 ==== x,x,x,x 15) Factorizamos:

( )( )( )

==+====

=+=+303

404

101

034112112 23

xx

xx

xx

xxxxxx

Por tanto, las soluciones de la ecuacin son: 341 321 === x,x,x

16) Sacamos factor comn: ( ) 04444 23234 =+=+ xxxxxxxx :44 osFactorizam 23 + xxx

( )( )( )

==+==

==+=

=++=+

202

202

101

0

022144 234

xx

xx

xx

x

xxxxxxxx

Por tanto las soluciones de la ecuacin son: 2x,2x,1x,0x 4321 ==== 17) Factorizamos:

( )( )( )

==+====

=+=+202

303

101

0231652 23

xx

xx

xx

xxxxxx

Por tanto, las soluciones de la ecuacin son: 2x,3x,1x 321 === 18) Factorizamos:

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 6

( )( )( )

==+==+

===++=+

404

101

101

041144 23

xx

xx

xx

xxxxxx

Por tanto, las soluciones de la ecuacin son: 411 321 === x,x,x

2

7

2

122 19)

xx1x =++ ;

27

2

12

22 =++

xx

x

Hacemos el cambio de variable: 2x = y : 271

2=++

yy

y ; 0273722 222 =+=++ yyyyy

==

==

=

=

31

622

657

6

257

6

24497y

yy

1222 === xy x

58123

331

31

231

22 ,loglog

loglogxy x ======

Hay dos soluciones: x = 1; x2 = 1,58 20) log (x 3)2 + log 4 = log x ; log [4(x 3)2 ] = log x ; 4(x 3)2 = x 4(x2 6x + 9) = x

4x2 24x + 36 = x 4x2 25 x 6 + 36 = 0 ;

==

==

=

=

49

8184

8725

8

4925

8

57662525x

xx

49

;4 :soluciones dosHay 21 == xx

2 036x37x1) 24 =+ ; 036z37zzxzx :Cambio 2242 =+==

==

===1

36

23537

2122537

2144136937

z

zz

1111

63636362

2

====

====

xxxz

xxxzHay cuatro soluciones: x1 = 6, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 6

2 ( ) ( ) 2lnx2ln1xln2 2) =+ ; ( ) ( ) 221 2 lnxlnxln =+ ; ( ) ( ) 22

12

21 22 =+=+

xx

lnx

xln

( ) 01241241 222 =+=++=+ xxxxxxx ; 122

2

442==

=x ; Hay una nica sol: x = 1

2 ( ) 3xx401x4x44x51x24x51x24x53) 222 =++=++=++=+

===

==+=43

86

1

871

8491

84811

x

xx

Comprobacin:

vlida Es12391 +===x

vlida es No21

123

21

41

43 =+==x

Hay una solucin: x = 1

2 09

833 4) 1xx2 =+ + ; ( ) 0

98

3332

=+ xx

:3 cambio el Hacemos yx = 08y27y909

8y3y 22 =+=+

==

===

=

=

31

186

38

1848

182127

18

44127

18

28872927

y

yy

89,013log8log

18log38

log38

338

33 ====== xyx

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 7

131

331 === xy x

Hay dos soluciones: x1 = 1; x2 = 0,89

2 22222

2

222x49x46156x415

x12

6

x12

x4

x12

15

x6

3

3

1

x4

55) =====

=

===

23

23

49

492

x

xxx

23

;23

:soluciones dosHay 21 == xx

2 ( ) ( ) 12x3log1xlog 6) =+ ; ( )2310110231

1231 =+=

+=

+

xxxx

xx

log

2921

292120301 ===+ xxxx

( ) ( ) ( )130x53x40121x44x49x9

121x44x41x911x21x311x21x311x21x3x2111x327)

22

222

+=+=

+=====+

===

==

=4

1382610

82753

872953

8

0802809253x

xx

Comprobacin:

vlida Es10220119119310 ==+=+=x

vlida es No2

134

132

231

1129

1149

34

13 ==+=+=x

Hay una solucin: x = 10

2 042322 8) x1x1x =++ + ; 0423222

2 =++ xxx

; Hacemos el cambio: 2x = y

04322

=++ yyy ; 8080864 ==+=++ yyyyy ; 382 == xx

( )( )( )

( )( ) ( )

03x14x806x28x1606x28x166x12x6x16x16x6

1x2x6x16x16x61xx6

1x6

1xx6

1xx16

1xx6

x6

x

1x

6

16

1x

x29)

222222

22222

=++=++=++=

++=+

+=

++

+

+=

+

==

=====

23

1624

41

164

161014

1610014

169619614

x

xx

23

;41

:soluciones dosHay 21== xx

( ) 11x1xx1x

1xx33

3

1

3

330)

22

+++

+== ; 012111 22 =+=+ xxxxx : 1

22

2

442==

=x

Hay una nica solucin: x = 1

0322

2)31 x

x

1=+ As,.2 :Cambio zx = 032 =+ z

z032 2 =+ zz 0232 =+ zz

===

=====0121

1222

213

2893

xz

xzz

x

x

32) ( )

==+==+=+=

3x

2x

2

2411x06xxx37x2x1x37x1 222

vale)(no

33) 0x1205250522405222 xxxxx2x ====+=+

Tema 3 lgebra Matemticas I 1 Bachillerato 8

SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIO 6 : Halla la solucin de los siguientes sistemas, an altica y grficamente:

a)

=+

=+

422

323yx

yx

b)

+=

=

xxy

xy

3

0242

c)

=+=

06

22

xy

xxy d)

=+

=+

73

223

1

yx

yx e)

=+=

062

32

xy

xxy

Solucin: a)

Resolvemos el sistema analticamente: xyyx

yx

yx

yx

yx

yx

=

=+

=+

=+

=+

=+

=+8

8

1832

28

22

618

63

62

422

323

2x +3(8x) = 18; 2x + 24 3x = 18; x = 6 ; x = 6 y = 8 6 = 2 ; Solucin: x = 6; y = 2

Interpretacin grfica:

==+

+====+

xyyx

xxx

yyx

8422

632

32

63

2183

23

Estas dos rectas se cortan en el punto (6, 2).

b)

Lo resolvemos analticamente:2xx0;x3x2x4

2x4y

x3xy

02x4y222 =+=+

+=

+=

=

==

===

=

+=

21

102

231

2

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