Variables aleatorias - gopar/TEACHING/teaching_web_5.pdf · Variables aleatorias Alternativamente:…

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    29-Jun-2018

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Variables aleatoriasDistribuciones continuasSe dice que una variable aleatoria X tiene una distribucin continua, o que X es una variable continua, si existe una funcin no negativa f, definida sobre los nmeros reales, tal que para cada intervalo en los reales, la probabilidad de que X tome un valor en el intervalo es igual a la integral sobre ese mismo intervaloVariables aleatoriasPor ejemplo:A la funcin f se le llama funcin de densidad de probabilidad o simplemente densidad de probabilidadVariables aleatoriasAlternativamente:Se define la funcin de densidad de probabilidad (pdf), f(x), de una variable aleatoria continua X como aquella que satisface: ,es decir, la probabilidad de que x caiga entre x y x+dxVariables aleatoriasLa densidad de probabilidad, f(x), debe satisfacer que:Variables aleatoriasComentario: las distribuciones continuas asignan probabilidad cero a valores individuales, es decir, si X es una variable continua Pr(X=a)=0Esto no implica el evento X=a sea imposible!Variables aleatoriasEjemplo:Distribucin uniforme Variables aleatoriasComentario:La densidad de probabilidad NO es la probabilidad de X cerca de x.Es la integral de f la que da la probabilidad Variables aleatoriasEjemplo:Suponga que la funcin de densidad de probabilidad (pdf) est dada por:Cul es el valor de c?Determine : Variables aleatoriasSimilarmente al caso discreto, se define la funcin de distribucin cumulativa (cdf) F(x):De modo queAdems:,Variables aleatoriasComentarios:- La funcin de distribucin cumulativa F(x)Es una funcin no decreciente con x- Una funcin de distribucin cumulativa es siempre continua por la derecha: para cada valor de xVariables aleatoriasEjemplo:Sea X una variable aleatoria con distribucin uniforme en el intervalo [a,b]. Cul es la funcin de distribucin cumulativaVariables aleatoriasComentario: Una variable aleatoria discreta puede tratarse como una variable aleatoria continua y asignarse la correspondiente densidad de probabilidad.Si X es una variable discreta que toma los valores x1,...,xn con probabilidades p1,...,pn , entonces la densidad de probabilidad continua puede escribirse comoVarias variables aleatoriasEs comn encontrar problemas que dependen de ms de una variable aleatoria. Los resultados que hemos visto pueden extenderse a dos o ms variables aleatorias.Veamos el caso de dos variables.Varias variables aleatoriasDistribucion conjunta discreta.Sean X y Y dos variables aleatorias y consideremos el par ordenado (X,Y). Si existe un nmero contable de diferentes valores (xi,yi) para el par (X,Y), entonces X, Y tienen una distribucin discreta.Definicin: La funcin de probabilidad conjunta de X,Y se define como la funcin f tal que para cada punto (xi,yi) en el plano xy,Varias variables aleatoriasCon Si (xi,yi) NO es uno de los valores posibles del par (X,Y) entonces f(xi,yi) = 0. Adems, Varias variables aleatoriasSimilarmente al caso continuo para una variable tenemos ahora que:donde f(x,y) es la funcin de densidad de probabilidad conjunta que satisface:yVarias variables aleatoriasVarias variables aleatoriasCaso especial: variables independientes.Es frecuente encontrar casos donde las variables aleatorias X, Y no dependen una de otra. En este caso la densidad de probabilidad puede escribirse comoPr(X=xi ,Y=yi )=g(xi )h(yi ) ,donde g(xi) y h(yi) son las densidades de probabilidad de X y Y.Similarmente para el caso continuo: Varias variables aleatoriasSobre el tema de variables aleatorias independientes, supongamos que nos interesa saber la densidad de probabilidad de la suma de variables independientes.Sea Y = X1 + X2, donde X1 , X2 son variables aleatorias independientes con densidades de probabilidad f1 y f2 . La densidad de probabilidad de Y est dada por (convolucin)Varias variables aleatoriasVarias variables aleatoriasVarias variables aleatoriasVarias variables aleatoriasVarias variables aleatoriasDistribucin cumulativa conjunta La distribucin cumulativa conjunta para dos variables aleatorias X y Y est definida como la funcin F tal que para todos los valores de x e y de modo queVarias variables aleatoriasSi X e Y tienen una densidad de probabilidad conjunta f(x,y) entonces De aqu queVarias variables aleatoriasDistribucin marginalFrecuentemente en un problema de varias variables, digamos 2 variables, estamos interesados en la distribucin de una sla de las variables. Dicha distribucin se obtiene a travs de la distribucin conjunta y se le llama distribucin marginal.Por ejemplo, para el caso discreto, si X e Y son variables aleatorias con funcin de distribucin conjunta f(x,y), entonces la distribucin marginal f1 est dada porVarias variables aleatoriasPor ejemplo, para el caso discreto, si X y Y son variables aleatorias con distribucin conjunta f(x,y), entonces la distribucin marginal f1 est dada porSimilarmente para el caso continuo:Varias variables aleatoriasDistribucin condicionalAs como en el clculo de probabilidades era de inters conocer la probabilidad de un evento dado que otro haba sucedido, ahora nos preguntamos por la distribucin de una variable X dado que otra, Y, ha tomado un valor Y=y. La distribucin de la probabilidad condicional viene dada por:Varias variables aleatoriasDistribucin condicionalPara n variables:donde f2 es la distribucin marginal de X1,... XkVarias variables aleatoriasLey de la probabilidad total y teorema de BayesPara n variables:donde yY el teorema de Bayes para variables aleatorias es:Variables aleatoriasFunciones de variables aleatoriasFrecuentemente se requiere la distribucin de una funcin de las variables aleatorias. Por ejemplo, si X es una variable aleatoria, quisieramos saber la distribucin de 1/X, o bien para dos variables X1,X2, cul es la probabilididad de exp(X1+X2)?Varias variables aleatoriasFunciones de variables aleatoriaso bienVariables aleatoriasAlgunas propiedades de las distribucionesLas distribuciones de probabilidad tienen toda la informacin estadstica de las variables aleatorias en cuestin.En muchas ocasiones algunas propiedades de las distribuciones nos dan suficiente informacin estadstica de las variables aleatorias. Los llamados valores esperados (o promedios o momentos) son cantidades estadsticas simples que nos dan informacin de las variables aleatorias.Variables aleatoriasValor esperado, valor promedio, promedio, valor medio, media, o primer momentoLa propiedad ms utilizada para caracterizar una distribucin de variables aleatorias es el llamado valor medio. Si X es una variable aleatoria el valor esperado E[X] est definido como f(x) es la funcin de probabilidad (discreto) o densidad de probabilidad (continuo)Variables aleatoriasEn general, para una funcin de variables aleatorias, tenemos Variables aleatoriasUna propiedad:Tambin, si f(x)y g(x) son funciones de probabilidad discretas (o bien, continuas) tenemos que:donde a y b son constantes (nmeros reales)Variables aleatoriasVarianza (que tan dispersos son los valores de una variable aleatoria respecto al valor medio)Sea X es una variable aleatoria, su varianza est dada por: donde Variables aleatoriasSe pueden demostrar las siguientes igualdades para la varianza (a y b constantes):Variables aleatoriasGeneralizacin: k-simo momentoEste se define como:donde Variables aleatoriasSimilarmente, el k-simo momento central viene definido porVariables aleatoriasComentario:Los momentos centrales y tienen nombre: skewness y kurtosis Variables aleatoriasFuncin generadora (generatriz) de probabilidad donde fn =Pr(X=xn ) y xn toma valores enteros no negativos Variables aleatoriasde modo que, por ejemplo, el primer momento est dado por Variables aleatoriasVariables aleatoriasOtro tipo de funcin generadora (generatriz) es la funcin generadora de momentos Para una variable aleatoria X y un nmero real t, esta funcin se define como:La funcin generadora existe para todo valor de t siempre que X est acotada y MX(t=0)=E(1)=1Variables aleatoriasEntonces, el n-simo momento de X est dado por:De esta forma, por ejemplo, Variables aleatoriasEjemplo: funcin generadora de una densidad de distribucin Gaussiana est dada por:Variables aleatoriasCaso especial: suma de variables independientes Si X1,...,Xn son variables independientes y Sn=X1+ ... +Xn, entoncesVariables aleatoriasUn poco ms general: si ahora Sn est dada por la suma de variables independientes de la forma: Sn=c1X1+ ... +cnXn ,entonces la funcin generatriz viene dada por: Variables aleatoriasCovarianza y correlacinEstas dos cantidades nos dicen que tanto estn relacionadas/(dependen entre s) dos variables aleatorias.Covarianza: sean X e Y variables aleatorias con valores bien definidos yLa covarianza se define comoVariables aleatoriasCovarianza y correlacinSe puede mostrar que la covarianza se puede escribir como:De aqu que, si X e Y son variables independientespor lo que Variables aleatoriasCovarianza y correlacinEn cuanto a la correlacin, sta se define como Se puede demostra que: yVariables aleatoriasSi hay una dependencia lineal entre las variables X e Y, digamos Y=aX + b, tenemos que Corr[X,Y] =1 , si a es una constante positivayCorr[X,Y]=-1, si a es una constante negativaVariables aleatoriasComentarios:a) El hecho de que haya una relacin entre dos variables aleatorias, digamos Y=X*X, no implica que ambas variables esten correlacionadasb) Si las variables son independientes =>pero no en el otro sentido, i.e, si no implica que las variables sean independientesVariables aleatoriasSi X e Y son variables aleatorias con varianza finita entoncesSi las variables son independientes tenemosque es un caso particular deVariables aleatoriasTeorema del lmite centralSean X1,...,Xn n variables aleatorias independientes cada una descrita (estadsticamente) por funciones de probabilidad fi(x) con valores medios y varianzas .Entonces la variableTiene las siguientes propiedadesVariables aleatorias1-El valor esperado est dado por2-La varianza viende dada por3-Para la funcin de probabilidad de Z tiene a una distribucin normal (Gaussiana) con media y varianza dada en 1 y 2. Nota:las funciones fi(x) pueden ser todas distintas Variables aleatoriasComentarios:1) Si las Xi siguen la misma distribucin, para la distribucin de Z se aproxima a una distribucin normal con valor medio yvarianza 2) Si una variable aleatoria est dada porpodemos hacerentonces ln(Y) sigue una distribucin log-normalSlide 1Slide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21Slide 22Slide 23Slide 24Slide 25Slide 26Slide 27Slide 28Slide 29Slide 30Slide 31Slide 32Slide 33Slide 34Slide 35Slide 36Slide 37Slide 38Slide 39Slide 40Slide 41Slide 42Slide 43Slide 44Slide 45Slide 46Slide 47Slide 48Slide 49Slide 50Slide 51Slide 52Slide 53Slide 54Slide 55Slide 56Slide 57Slide 58