Unidad 2. Grafos y Arboles

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    13-Jul-2015

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Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 1 Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 2 Tabla de contenidos UNIDAD 2. GRAFOS Y RBOLES_______________________________________________________3 Propsito de la unidad______________________________________________________________3 Competencia especfica_____________________________________________________________4 Presentacin de la unidad___________________________________________________________3 2.1. Grafos________________________________________________________________________4 2.1.1. Clasificacin de un grafo_______________________________________________________6 Actividad 1. reas dnde se aplica la teora de grafos_____________________________________9 2.1.2. Representacin de grafos______________________________________________________9 Actividad 2. Solucin de problemas mediante la representacin de grafos _____________________13 Actividad 3. Matriz de adyacencia____________________________________________________14 2.2. Caminos y circuitos ____________________________________________________________14 2.2.1. Terminologa bsica __________________________________________________________14 2.2.2. Camino de Euler _____________________________________________________________16 2.2.3. Circuitos de Euler ____________________________________________________________17 2.2.4. Circuito de Hamilton __________________________________________________________18 Actividad 4. Pozos________________________________________________________________20 2.2.5. Isomorfismo________________________________________________________________20 2.4. rboles _______________________________________________________________________23 2.3.1. Tipos de rboles _____________________________________________________________25 Actividad 5. rbol genealgico _______________________________________________________28 Evidencia de aprendizaje. Grafo de rutina cotidiana______________________________________29 Cierre de la unidad _________________________________________________________________29 Fuentes de consulta_______________________________________________________________29 Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 3 UNIDAD 2. GRAFOS Y RBOLES Presentacin de la unidad En esta unidad se proporciona una introduccin formal a grafos y rboles. Estos temas son de fcil comprensin y sus conceptos se ilustran fcilmente con dibujos. Aunque la exposicin del tema con frecuencia sea intuitiva, no es descuidada, a lo largo de esta unidad se va introduciendo la rigurosidad matemtica. Sin embargo, se trat de desarrollar esta unidad de manera sencilla para adquirir prctica y sensibilidad hacia el tipo de problemas relacionados con las matemticas discretas. En la presente unidad se describir qu es y para qu es til un grafo y un rbol, as como sus caractersticas; de la misma manera se describir a los caminos y circuitos. Propsito de la unidad El propsito de esta unidad es presentar una parte de las matemticas discretas que tiene que ver con la representacin de situaciones o procesos mediante dibujos o diagramas para proporcionar informacin que permita un mayor anlisis. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 4 Competencia especfica Construir modelos de grafos para esquematizar conjuntos de datos relacionando estructuras mediante la teora de grafos y rboles. 2.1. Grafos Muchas situaciones de la vida real pueden ser esquematizadas por medio de diagramas construidos por puntos (vrtices o nodos) y lneas (aristas o arcos) que conectan algunos pares de vrtices, aunque eventualmente alguna lnea puede unir un vrtice consigo mismo. Estos esquemas, que facilitan la comprensin del problema a resolver, aparecen frecuentemente en disciplinas dispares y bajo nombres diversos, a saber: redes (en ingeniera, economa), sociogramas (en psicologa), organigramas (en economa y planificacin) as como diagramas de flujo (en programacin). La teora que se ocupa del estudio de estos diagramas o esquemas se le conoce con el nombre de teora de grafos. La teora de grafos desempea un papel importante en varios campos de las ciencias, entre ellos ciencias de la conmutacin, tales como la teora de la conmutacin y diseo lgico, inteligencia artificial, lenguajes formales, grficos por computadora, sistemas operativos, escritura de compiladores y organizacin, as como en la recuperacin de informacin.Como ya se mencion, los grafos estn formados por vrtices que se unen entre s mediante aristas, tal como se ilustra en la Figura 2.1. Por tanto, una definicin matemtica de grafo debe basarse en el conjunto de vrtices y en el conjunto de aristas. Toda arista est asociada con dos vrtices, esto es, existe una correspondencia entre las aristas y los pares de vrtices. A continuacin se da la definicin formal de grafo. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 5 Figura 2.1. Grafo. La definicin de grafo implica que a toda arista del grafo G se le puede asociar una pareja ordenada o desordenada de vrtices del grafo. Si una aristae A est asociada de esta forma con un par ordenado (u, v) o con un par desordenado {u, v}, en donde u, v N, entonces se dice que la arista e conecta los vrtices u y v. Se supondr en todo momento que tanto el conjunto A como el conjunto N de un grafo son finitos. Con frecuencia es conveniente escribir los grafos en una forma abreviada G = (N, A), o bien simplemente como G. En el primer caso, cada arista se representa directamente como el par con el cual se corresponde, lo cual obvia la necesidad de especificar f si f es una correspondencia uno a uno.La definicin de un grafo no contiene referencias de las longitudes o formas y posiciones de las aristas que puedan conectar pares de vrtices, y tampoco estipula ningn orden de las posiciones de los vrtices.Por tanto, para un grafo dado no existe un nico diagrama que represente al grafo, y puede ocurrir que dos diagramas que tengan un aspecto completamente diferente entre s representen un mismo grafo.En los siguientes temas se dar informacin precisa de algunos trminos usados en la definicin previa, para su mejor comprensin y estudio.Partes de un grafo Como se mencion en la seccin anterior, una grafo est compuesto por puntos (tambin llamado vrtices o nodos) y lneas (tambin llamado aristas o arcos) que conectan algunos pares de vrtices. Una parte importante de los grafos son las etiquetas, que identifican a las aristas y los vrtices. Ver partes de un grafo en la Figura 2.2. En lo sucesivo utilizaremos los nombres de Vrtices para referirnos a los puntos y Aristas para referirnos a las lneas. Definicin: Un Grafo G = (N, A, f) consta de un conjunto no vaco N denominado conjunto de vrtices del grafo, un conjunto A de aristas del grafo y una correspondencia f del conjunto de aristas A en un conjunto de pares ordenados o desordenados de N.Si una arista se corresponde con un par ordenado, entonces se dice que es una arista dirigida; en caso contrario, se denomina arista no dirigida. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 6 Figura 2.2. Partes de un grafo. 2.1.1. Clasificacin de un grafo En la Figura 2.3., se muestra un ejemplo de grafo dirigido (a), y un ejemplo de grafo no-dirigido (b). Figura 2.3. Grafo (a) dirigido y (b) no-dirigido. Una arista de un grafo que conecte un vrtice o nodo consigo mismo se denominar bucle o lazo. La direccin de un bucle no es significativa; por tanto, se puede considerar como una arista dirigida o como una arista no-dirigida. Existen grafos que tienen ms de una arista entre pares de nodos, estas aristas se denominan arista paralela.En el caso de aristas dirigidas, las aristas entre una pareja de vrtices que tienen sentidos opuestos no se consideran paralelas.Todo grafo que contenga aristas paralelas se denominar multgrafo. Para este caso, la notacin abreviada G = (N, A) no basta para representar los multgrafos, y se necesita la notacin completa G = (N, A, f).Por otra parte, si no hay ms de una arista entre pares de nodos, entonces el grafo se denomina grafo sencillo.En la Figura 2.4 se muestra un ejemplo de multgrafo no-dirigido (a), y un ejemplo de multgrafo dirigido (b), con bucle y aristas paralelas. En lo general, existen tres tipos de grafos: dirigidas, no-dirigidas y mixtas: Dirigidas: si las aristas tienen un sentido concreto, lo cual se indica mediante una cabeza de flecha, entonces se dice que es un grafo dirigido o digrafo.No-dirigidas: en este tipo de grafos las aristas no tienen un sentido.Mixto: cuando en un grafo existen aristas dirigidas y aristas no-dirigidas. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 7 Figura 2.4. Multgrafo (a) no-dirigido y (b) dirigido, con bucle y aristas paralelas. Antes de continuar, se describen algunas definiciones de teora de grafos que ayudarn a la comprensin y estudio de este tema en las secciones posteriores.Definiciones: Los pares de vrtices que estn conectados por una arista dentro de un grafo se denominan vrtices adyacentes.En un grafo, un vrtice que no sea adyacente a ningn otro vrtice se denominar Vrtice aislado.Un grafo que contenga solamente nodos aislados se denominar grafo nulo. Entonces, el conjunto de aristas, A, de un grafo nulo est vaco. Los grafos en los que cada arista tiene asignado un peso se denominan grafos ponderados.Un grafo no dirigido es conexo si para cualquier pareja de vrtices del grafo se puede llegar hasta el otro vrtice partiendo de cualquiera de ellos.Definicin: En un grafo dirigido, para todo vrtice v el nmero de aristas que tienen a v como vrtice inicial se denomina grado de entrada del vrtice v. El nmero de aristas que tienen a v como vrtice terminal se denomina grado de salida, y la suma de ambos es lo que se denomina grado total del vrtice v. De manera general, el grado total de un vrtice v, (v), es el nmero de aristas dirigidas o no-dirigidas incidentes en v.El grado total de un vrtice aislado es 0, y el de un vrtice con bucle y sin otras aristas que incidan en l es 2. Definicin: Sea N(H) el conjunto de vrtices de un grafo H, y sea N(G) el conjunto de vrtices de un grafo G tales queN(H) N(G). Si adems toda arista de H es tambin una arista de G, entonces se dice que el grafo H es unSubgrafodel grafo G, y esto se expresa en la forma H G. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 8 La Figura 2.5 ilustra un ejemplo de subgrafo. Los grafos de la parte (b) son subgrafos de la parte (a). Se pueden obtener otros subgrafos borrando ciertos vrtices y aristas de G. Figura 2.5. Grafo y algunos de sus subgrafos. Tambin, se dice que un grafo G = (N, A) es completo si todos sus vrtices son adyacentes a todos los vrtices del grafo, es decir, existe una arista ente cada par de vrticesdistintos. Los grafos completos de n vrtices se denotan en la forma Kn. La Figura 2.6 muestra los cinco primeros grafos completos. Figura 2.6. Grafos completos del 1 al 5. Un tipo de grafo sencillo es el bipartito. Un grafo G = (N, A) se denomina grafo bipartito si el conjunto de vrtices N se puede separar en dos subconjuntos V1 y V2 de modo que cada arista en A sea incidente en un vrtice de V1 y en un vrtice de V2. Dicho de otro modo, que no haya dos vrtices de V1 que sean adyacentes, ni tampocodos vrtices de V2que sean adyacentes. El grafo ilustrado en la Figura 2.7. (a) es una grafo bipartito, ya que los dos subconjuntos disjuntos de vrtices sonV1 = {v1, v2} y V2 = {v3, v4, v5}, cada arista es incidente en un vrtice de V1 y un vrtice de V2. Por el contrario, la Figura 2.7. (b) no es un grafo bipartito, puesto que no es posible descomponer el conjunto N en dos subconjuntos disjuntos no vacos. Figura 2.7. Grafo (a) bipartito y (b) no bipartito. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 9 Actividad 1. reas dnde se aplica la teora de grafos Propsito Proporcionar ejemplos de campos donde es posible aplicar la teora de grafos para representar situaciones y dar solucin, ya sea en el mbito cientfico o social. Instrucciones Responde en el foro las siguientes preguntas: En qu reas del mbito cientfico podemos aplicar los grafos? Ser posible hacer grafos del funcionamiento del cuerpo humano? Ser posible hacer un grafo de tu rutina diaria? 2.1.2. Representacin de grafosHasta esta etapa, se ha representado a los grafos mediante diagramas/esquemas. En muchos casos, como por ejemplo, al utilizar una computadora para analizar un grafo, es necesaria una representacin ms formal. La representacin ms formal de un grafo es mediante su matriz de adyacencia, o mediante su matriz de incidencia.Matriz de adyacencia Para obtener la matriz de adyacencia, considerar el grafo de la Figura 2.8. Primero se debe elegir un orden para los vrtices, por ejemplo: a, b, c, d, e. Posteriormente, construir una matriz y etiquetar los renglones y las columnas con los vrtices ordenados. La entrada en esta matriz es un 1 si los vrtices del rengln y la columna son adyacentes y 0 en caso contrario. Figura 2.8. Representacin de un grafo. La matriz de adyacencia del grafo de la Figura 2.8.,es la que a continuacin se da: Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 10 ____ a b c d eabcde0 1 0 0 11 0 1 0 10 1 1 0 10 0 0 0 11 1 1 1 0 Obsrvese que se puede obtener el grado de un vrtice v en un grafo sencillo sumando el rengln v o columna v en la matriz de adyacencia. Ejemplo: el grado total del vrtice b es 3. Adems, aunque la matriz de adyacencia permite representar bucles, no permite representar aristas paralelas; sin embargo, si modificamos la definicin de una matriz de adyacencia para que sta pueda contener enteros no negativos arbitrarios, podemos representar las aristas paralelas. En la matriz de adyacencia modificada, interpretamos la entradaij-sima especificando el nmero de aristas entrei yj.Considerar el grafo de la Figura 2.9 para obtener la matriz de adyacencia.Siguiendo la metodologa del ejemplo anterior, la matriz de adyacencia es la que se muestra como A. Figura 2.9. Representacin de un grafo. _______ a b c d eAabcde0 1 0 1 01 0 1 0 10 1 0 1 11 0 1 0 00 1 1 1 0 Utilizando el ejemplo previo, se mostrar que si A es la matriz de adyacencia de un grafo sencillo G, las potencias de A,A, A2, A3,,cuentan el nmero de caminos de diversas longitudes. Ms precisamente, si los vrtices de G se etiquetan1, 2,, la entrada ij-sima en la matrizAnes igual al nmero de caminos de iajde longitud n. Por ejemplo, supn que se obtiene el cuadrado de la matriz A del ejemplo de la Figura 2.9. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 11 __________________________________________ a b c d eA20 1 0 1 01 0 1 0 10 1 0 1 11 0 1 0 00 1 1 1 0 0 1 0 1 01 0 1 0 10 1 0 1 11 0 1 0 00 1 1 1 0 abcde2 0 2 0 10 3 1 2 12 1 3 0 10 2 0 2 11 1 1 1 2 Considerar la entrada del renglna, columnacen A2, obtenida al multiplicar por pares las entradas del rengln a por las entradas de la columnac de la matrizAy sumando: a 0 1 0 1 0( )01011 bd 00+11+00+11+01 2 La nica forma en que un producto distinto de cero podra aparecer en esta suma es cuando ambas entradas por multiplicar son iguales. En este ejemplo la suma es 2 pues existen dos caminos de longitud 2 de aac. (a, b, c) y (a, d, c) En general, la entrada en el rengln x y la columnay de la matriz A2 es el nmero de caminos de longitud 2 del vrtice x al vrticey. Las entradas de la diagonal de A2 proporcionan los grados de los vrtices (cuando el grafo es sencillo). Considerar el vrtice c en el ejemplo de la Figura 2.9. el grado de c es 3 pues c es incidente en las tres aristas (c, b), (c, d), (c, e). Pero cada una de estas aristas se puede convertir en un camino de longitud 2 de cac. (c, b, c), (c, d, c) y (c, e, c) b dcTeorema: Si A es la matriz de adyacencia de un grafo sencillo, la entrada ij-sima de An esigual al nmero de caminos de longitud n del vrtice i al vrticej, n = 1, 2, Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 12 Matriz de incidencia Otra manera de representar un grafo es mediante la matriz de incidencia.Para obtener la matriz de incidencia, considera el grafo de la Figura 2.10. Primero se debe construir una matriz y etiquetar los renglones con los vrtices y las columnas con las aristas en algn orden arbitrario. La entrada del rengln v y la columna e es 1 si e es incidente en vy 0 en caso contrario. Figura 2.10. Representacin de un grafo. La matriz de incidencia del grafo de la Figura 2.10es la que a continuacin se da: ___ e1e2e3e4e5e6e7v1v2v3v4v51 1 1 0 0 0 00 0 1 1 1 0 10 0 0 0 0 1 01 1 0 1 0 0 00 0 0 0 1 1 0 La matriz de incidencia permite representar las aristas paralelas y los bucles. La columna comoe7representa un bucle. Obsrvese que en un grafo sin bucles, cada columna tiene dos 1s y que la suma de los elementos de un rengln proporciona el grado del vrtice identificado con ese rengln. Las aristas paralelas en este ejemplo son e1 y e2. Ejemplos complementarios de la seccin Problema: elabora un grafo que represente un mapa de carreteras y ciudades, considera 5 ciudades (A, B, C, D, E), con las siguientes caractersticas: 1) hay dos rutas que unen las ciudades A y B, 2) no existe una ruta entre A y D, 3) existe un camino que pasa por B, C y D, 4) la ciudad E est aislada.Solucin: Una posible solucin al ejercicio,es la que se muestra en la Figura 2.11. Se usa un grafo no dirigido puesto que el problema no plantea alguna direccin para alguna carretera. Las aristas representan a las carreteras y los vrtices representan a las ciudades. Para cumplir con el requisito 1), se usan aristas paralelas. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 13 Figura 2.11. Grafo representando un mapa de carreteras y ciudades. Problema: La Figura 2.12.a) muestra una parte del plano de una ciudad, en el cual las flechas denotan calles de direccin nica. Elabora un grafo que represente esta parte del plano. Este grafo puede ser til para los servicios de emergencia pblicos, como los Bomberos y la Polica.Solucin: Segn el plano, existen calles con direccin nica y otras que no, por lo tanto, el tipo de grafo requerido es mixto. Para este caso, las aristas representarn a las calles y los vrtices representarn las esquinas o intersecciones entre calles. El grafo obtenido es el que se muestra en la Figura 2.12. (b). Figura 2.12. Representacin grfica del sistema de calles de una ciudad. Actividad 2. Solucin de problemas mediante la representacin de grafos Propsito Construir un grafo mediante un planteamiento dado. Instrucciones Karla, Manuel, Juan, Mnica, Eliangel e Iliana, van a subir a un juego mecnico en forma circular, se sabe que: Karla conoce a Juan y a Mnica Manuel conoce a Juan y a Eliangel Iliana conoce a Eliangel y a Mnica Es posible sentarlos de forma que personas que estn sentadas juntas se conozcan?1.Construye un grafo dnde se represente la solucin del planteamiento. 2.Menciona el nmero de vrtices del grafo que construiste. Enva tus resultados al Facilitador(a). Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 14 Actividad 3. Matriz de adyacencia Propsito Representar con una matriz de adyacencia un grafo. Instrucciones Representa utilizando una matriz de adyacencia el siguiente grafo: Enva tus respuestas al Facilitador(a). 2.2. Caminos y circuitosSi se piensan a los vrtices de un grafo como ciudades y las aristas como carreteras, un camino corresponde a un viaje que comienza en cierta ciudad, pasa por varias ciudades y termina en alguna ciudad. A continuacin se dan las definiciones formales de caminos y circuitos.2.2.1. Terminologa bsica Un ejemplo de camino sera: {(vi1 , vi2), (vi2 , vi3), , (vik-2 , vik-1), (vik-1 , vik)} y se puede escribir de la siguiente forma: {(vi1 , vi2 , , vik-1 , vik)} Un camino de un dgrafo en el cual todas las aristas sean distintas se denomina camino sencillo.Un camino en el que todos los vrtices sean diferentes se denomina camino elemental.El nmero de aristas que aparecen en la sucesin de un camino se denomina longitud del camino.Definicin: Sea G = (N, A, f) un dgrafo sencillo. Se dice que una sucesin de aristas es un Camino de G si y slo si el vrtice terminal, vt,de cada arista del camino es el vrtice inicial, vi, de la prxima arista del camino. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 15 Figura 2.13. Grafo condistintos caminos. En la Figura 2.13., se muestra un dgrafo con una diversidad de caminos. Algunos caminos que surgen en el vrtice 1 y finalizan en el vrtice 9son: Camino 1: {1, 9} Camino 2: {1, 2, 3, 8, 1, 9} Camino 3: {1, 2, 4, 6, 7, 8, 1, 9} En un circuito el nodo inicial aparece al menos dos veces aun cuando se trate de un circuito elemental.Algunos circuitos presentes en el grafo de la Figura 2.13. son: Circuito 1: {1, 2, 3, 8, 1} Circuito 2: {1, 2, 4, 5, 7, 8, 1} Circuito 3: {1, 2, 3, 8, 1, 2, 3, 8, 1} Un grafo sencillo que no tenga ningn ciclo/circuito se denomina acclico, naturalmente, los grafos acclicos no pueden tener bucles; ver ejemplos en la Figura 2.14.Definicin: Un camino que comienza y acabaen un mismo vrtice se le denomina circuito o ciclo. Un circuito se denomina sencillo si ninguna arista del circuito aparece ms de una vez en el camino y se denomina elemental si no pasa por ningn vrtice ms de unavez. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 16 Figura 2.14. Ejemplos de grafos acclicos. La definicin de camino requiere que las aristas que aparezcan en la sucesin tengan un vrtice inicial y uno terminal bien definidos. En el caso de un grafo sencillo no-dirigido, una arista est dada por una pareja no ordenada, y cualquiera de los vrtices de esa pareja no ordenada se puede considerar como vrtice inicial o final de la arista.Para aplicar la misma definicin de camino a un grafo no-dirigido, se puede considerar que todas las aristas del grafo no-dirigido se sustituirn por dos aristas dirigidas de sentidos opuestos. Una vez hecho esto, se tiene un grafo dirigido, y las definiciones de camino, circuito, etc., pueden ser aplicadas. 2.2.2. Camino de Euler El Camino de Euler est definido como un camino a travs del grafo G que recorretodas las aristas del grafo solamente una vez, pero que su vrtice de inicio y final son diferentes.Para ejemplificar la anterior definicin,analizamos el grafo de la Figura 2.15, el cual tiene un camino de Euler. El camino de Euler en dicho grafo es (4, 3, 5, 2, 3, 1, 2, 4, 5). Obsrvese que los vrtices 4 y 5 tienen grado impar. Figura 2.15. Grafo con camino de Euler. Las condiciones para la existencia de un camino de Euler estn dadas en el siguiente teorema. Teorema: Si G es un grafo y no tiene vrtices aislados, entonces, estetiene un camino de Euler si y slo si las siguientes dos propiedades se cumplen: 1)El grafo G est conectado. 2)El grafo tiene exactamente dos vrtices de grado impar. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 17 Para comprobar dicho teorema, buscamos un camino de Euler en el grafo de la Figura 2.16. Este grafo est completamente conectado, es decir, no tiene vrtices aislados, y tiene exactamente dos vrtices de grado impar, vrtice 2y 6.Por lo que se puede suponer que el grafo tiene un camino de Euler.El camino de Euler en dicho grafo es (2, 5, 4, 1, 2, 3, 6, 5, 8, 4, 7, 8, 9, 6). Figura 2.16. Grafo con camino de Euler. 2.2.3. Circuitos de Euler El primer artculo en teora de grafos fue el escrito por Leonhard Euler en 1736.El artculo present una teora general que inclua una solucin a lo que ahora se llama el problema de los puentes de Knigsberg. El problema de los puentes de Knigsberg consiste en determinar un circuito a partir de un modelo grfico representando a los puentes de Knigsberg, que incluya todas las aristas y todos los vrtices del grafo. Por lo tanto, en honor a Euler, un circuito de una grafo que incluya todas las aristas y todos los vrtices de G se le denomina Circuito de Euler. De acuerdo a la seccin anterior, un circuito de Euler debe cumplir con el siguiente teorema. Usamos el ejemplo de la Figura 2.17 para verificar si est tiene un circuito de Euler. Observando el grafo se determina que es conexo, y como el grado de cada vrtice es par, basados en el teorema previo decimos que el grafo tiene un circuito de Euler. Los grados de cada uno de los vrtices son: (v1) = (v2) = (v3) = (v5) = 4,(v4) = 6, (v6) = (v7) = 2. Teorema: Si G es un grafo conexo y todo vrtice tiene grado par, entonces G tiene un circuito de Euler.O en su caso,Teorema: Si un grafo G tiene un circuito de Euler, entonces G es conexo y todo vrtice tiene grado par. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 18 Figura 2.17. Grafo conexo con circuito de Euler. Por inspeccin se determina que el circuito Euler es el siguiente: (v6, v4, v7, v5, v1, v3, v4, v1, v2, v5, v4, v2, v3, v6). 2.2.4. Circuito de HamiltonSir William Rowan Hamilton lanz al mercado a mediados del siglo XIX un juego en forma de dodecaedro (ver Figura 2.18a). Cada esquina llevaba el nombre de una ciudad y el problema era partir de cualquier ciudad, recorrer las aristas, visitar cada ciudad exactamente una vez, y regresar a la ciudad inicial. El grafo de las aristas del dodecaedro se muestra en la Figura 2.18b.Entonces, podemos resolver el juego de Hamilton si podemos determinar un circuito en el grafo de la Figura 2.18b que contenga a cada vrtice solo una vez, excepto por el vrtice inicial y final que aparece dos veces. Figura 2.18. (a) Juego de Hamilton, (b) Grafo del juego de Hamilton. Por lo tanto, en honor de Hamilton, se dice que un circuito en un grafo G que contenga cada vrtice solo una vez, excepto por el vrtice inicial y final que aparece dos veces, es un circuito Hamiltoniano.Una solucin al grafo del juego de Hamilton se ilustra en la Figura 2.19. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 19 Figura 2.19. Solucin al juego de Hamilton. El problema de determinar un circuito Hamiltoniano en un grafo parece similar al de determinar un circuito de Euler.Un circuito de Euler visita cada arista una vez, mientras que un circuito Hamiltoniano visita cada vrtice una vez; sin embargo, en realidad estos problemas son un poco distintos. Adems, a diferencia de los circuitos de Euler, no se conocen condiciones necesarias y suficientes fcilmente verificables para la existencia de un circuito Hamiltoniano en un grafo.Los siguientes ejemplos muestran casos de grafos con un circuito Hamiltoniano y otro que no lo tiene. El grafo de la Figura 2.20a tiene un circuito Hamiltoniano, el circuito (1, 2, 3, 4, 5, 1) es un circuito Hamiltoniano. El grafo de la Figura 2.20b no tiene un circuito Hamiltoniano; para producir un circuito Hamiltoniano en este grafo ser necesario eliminar dos aristas, una incidente en el vrtice v2 y otra incidente en el vrtice v4. Figura 2.20. Grafo (a) con circuito Hamiltoniano,y (b) sin circuito Hamiltoniano. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 20 Actividad 4. PozosPropsito Representar un grafo mediante un planeamiento.Instrucciones 1.Resuelve lo que se te indica: Se tiene tres casas y tres pozos. Intenta dibujar senderos que unan cada casa con cada pozo de tal manera que no se crucen. 2.2.5. Isomorfismo Definicin: Dos grafos G1 y G2 son Isomorfos si existe una funcin uno a uno y sobre, f, de los vrtices de G1 a los vrtices de G2 y una funcin uno a uno y sobre, g, de las aristas de G1 a las aristas de G2, de modo que una aristaees incidente en v y w en G1 si y slo si la arista g(e) es incidente en f(v) y f(w) en G2. El par de funciones fyg es un Isomorfismo de G1 sobre G2 . Dicho de manera menos abstracta, dos grafos son Isomorfos si tienen una estructura idntica, aunque sean representados grficamente de manera diferente; o , dos grafos son Isomorfos si existe un renombramiento de los vrtices de los grafos tal que ambos sean idnticos.En el ejemplo dado en la Figura 2.21, se muestran dos grafos isomorfos, ambos tienen una estructura idntica aunque grficamente son representados de manera diferente, y aunque tengan nombres de vrtices diferentes. Figura 2.21. Grafos isomorfos. Un isomorfismo para los grafos de laFigura 2.21 se define como f(a) = A, f(b) = B,f(c) = C,f(d) = D,f(e) = Eg(xi) = yi, i = 1, , 5. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 21 Para ejemplificar dicho teorema, daremos las matrices de adyacencia de los grafos mostrados en la Figura 2.21. La matriz de adyacencia del grafo de la Figura 2.21acon respecto del orden de los vrticesa, b, c, d, e, es el siguiente: Y se puede observar que es igual a la matriz de adyacencia del grafo de la Figura 2.21bcon respecto del orden de los vrticesA, B, C, D, E, que es el siguiente: Por lo tanto, ambos grafos de laFigura 2.21son isomorfos.Lo siguiente es una forma de demostrar que dos grafos sencillosG1 y G2no son isomorfos. Se determina una propiedad deG1 que G2no tenga, pero que G2tendra siG1 y G2fuesen isomorfas. Tal propiedad es un invariante.Ms precisamente, una propiedad P es un invariante, si siempre que G1 y G2sean grafos isomorfos. Si G1 tiene la propiedadP, entoncesG2tambin tiene la propiedad P. Segn la definicin previa de Isomorfismo, si dos grafos G1 y G2son isomorfos, entonces existen funcionesuno a uno y sobre de las aristas de G1 en las aristas de G2. As, si G1 y G2son isomorfos, entonces G1 y G2tienen el mismo nmero de aristas y el mismo nmero de vrtices. Por tanto, si eynson enteros no negativos, las propiedades tieneearistas y tienenvrticesson invariantes.____ a b c d eabcde0 1 0 0 11 0 1 0 00 1 0 1 00 0 1 0 11 0 0 1 0 ___ A B C D EABCDE0 1 0 0 11 0 1 0 00 1 0 1 00 0 1 0 11 0 0 1 0 Teorema: Dos grafos sencillos G1 y G2son isomorfos si y slo si para cierto orden de sus vrtices, las matrices de adyacencia son iguales. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 22 Para ilustrar la propiedad de invariante, se hace uso de los grafos de la Figura 2.22. Los grafos de la Figura 2.22 no son isomorfos, pues el grafo de la Figura 2.22atiene siete aristas y el grafo de la Figura 2.22btiene seis aristas, y tener siete aristas es un invariante. Figura 2.22. Grafos no isomorfos. Ejemplos complementarios de la seccin Ejemplo: De un conjunto de caminos dados, pertenecientes al grafo ilustrado en la Figura 2.23, identificar si es un camino sencillo,o si es un circuito, o un circuito sencillo. Aplicando las definiciones y teoremas descritos en la seccin,los resultados son los que se muestran en la tabla siguiente. Figura 2.23. Grafo no-dirigido. Camino Es un camino sencillo? Es un circuito?Es un circuito sencillo? (6, 5, 2, 4, 3, 2, 1)NONONO (6, 5, 2, 4)SINONO (2, 6, 5, 2, 4, 3, 2)NOSINO (5, 6, 2, 5)NOSISI (7)SINONO Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 23 2.4. rboles Los rboles forman una subclase de grafo de uso amplio. Los rboles se utilizan en muchos otros campos de aplicacin. Por ejemplo, en ciencias de la computacin, desglosar problemas complejos y representarlos mediante una estructura en forma de rbol,son algunas de las aplicaciones. En general, hay dos grupos de rboles, los rboles libres y los rboles con raz. Un rbol libre es una clase especial de grafo no dirigido, y un rbol con raz es un caso especial de un grafo dirigido.Definicin Un rbol LibreTes un grafo sencillo no dirigido que es a la vez conexo y acclico,es decir, es un grafo que no contiene circuitos o ciclos y todos sus pares de vrtices estn conectados. Un rbol con Raz es un rbol en el cual un vrtice particular se designa como la raz. Propiedades de un rbolTeorema: Todo rbol que contenga n vrtices debe de tenern-1 aristas.En las Figura 2.24 se muestra varios ejemplos de rboles libres, los cuales cumplen con su definicin y con el teorema previo. En la Figura 2.25 se muestra un ejemplo tpico de rbol con raz, el cual tiene un vrtice definido como tal. Figura 2.24. Ejemplos de rboles libres. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 24 Figura 2.25. Ejemplo de rbol con raz. Como el camino sencillo de la raz a cualquier vrtice es nico, cada vrtice est en un nivel determinado de manera nica. Decimos que el nivel de la raz es el nivel 0. Los vrtices de bajo de la raz estn en un nivel 1, y as sucesivamente. As, el nivel de un vrtice ves la longitud del camino sencillo de la raz a v. La altura de un rbol con raz es el nmero mximo de nivel que aparece en dicho rbol.Ejemplo: Examinando el rbol T mostrado en la Figura 2.26a y designando al vrtice e como el vrtice raz, se obtiene el rbol con raz T mostrado en la Figura 2.26b. Los vrticesa, b, c, d, e, f, g, h, i, jestn en los niveles 2, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 3, respectivamente. La altura del rbolTes 3. Figura 2.26. (a) Un rbol T y (b) un rbol con raz T.T se obtiene de T designado aecomo la raz. Con frecuencia, un rbol con raz se utiliza para especificar relaciones jerrquicas. Cuando un rbol se utiliza de esta manera, si el vrtice a est en el siguiente nivel arriba del vrticebya ybson adyacentes, entoncesaestjusto arriba deby existe una relacin lgica entreayb:a domina ab o b est subordinado aa de alguna manera.Un ejemplo de rbol con raz especificando relacin jerrquica, es el que se muestra en la Figura 2.27, es un organigrama de una universidad. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 25 PresidenteVice-PresidenteacadmicoVice-PresidenteadmistrativoDecano de ArtesDecano de CienciasDirector de PlaneacinDirector de AdquisicinJefe de DanzaJefe de Fsica Figura 2.27. Ejemplo de organigrama. 2.3.1. Tipos de rbolesrbol de expansinUn problema importante que est asociado a una red representada por un grafo consiste en obtener un rbol de expansin para el grafo. Este rbol de expansin debe contener todos los vrtices del grafo y algunas de sus aristas, para asegurar su conectividad.Definicin: Un rbol de Expansin de un grafo conexo no dirigidoG = (N, A)es un rbol libre con el conjunto de vrtices N que es un subgrafo de G; esto es, un rbol de expansin es conexo, acclicoy tiene a todo N como vrtices y aparte de A como conjunto de aristas. Teorema: Un grafo Gtiene un rbol de expansin si y slo si G es conexo. Hay muchos enfoques para generar un rbol de expansin correspondiente a un grafo dado. Un enfoque consiste en eliminar las aristas que pertenezcan a circuitos uno tras otro hasta que no queden circuitos en el grafo. Si solo se eliminan aristas de circuitos, entonces el grafo seguir siendo conexo, y esto es esencial para la generacin de un rbol de expansin.Un ejemplo de este enfoque se ilustra en la Figura 2.28,En este casose decide eliminar los pares de aristas siguientes: {2, 5}, {2, 6}, {3, 6}, {3, 7}, {4, 7}, {6, 7}.Obsrvese que se podran generar muchos rboles de expansin a partir del grafo dado.1 3527 641 3527 64 Figura 2.28. Ejemplo de obtencin de un rbol de expansin a partir de un grafo. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 26 rbol binarioOtra clase de rbol es el rbol binario. Los rboles binarios son de los tipos particulares ms importantes de rboles con raz. Cada vrtice de un rbol binario tiene a lo ms dos hijos. Adems, cada hijo se designa como hijo izquierdo o como hijo derecho. Al trazar un rbol binario, un hijo izquierdo se dibuja a la izquierda y un hijo derecho se dibuja a la derecha. La definicin formal de rbol se da a continuacin. Definicin: Un rbol Binario es un rbol con raz en el cual cada vrtice tiene cero, uno, o dos hijos. Si un vrtice tiene un hijo, ese vrtice se designa como un hijo izquierdo o como un hijo derecho, pero no ambos. Si un vrtice tiene dos hijos, uno de ellos se designa como hijo izquierdo y el otro como hijo derecho.En la Figura 2.29 se muestra un ejemplo de rbol binario. El vrtice b es el hijo izquierdo y el vrtice c es el hijo derecho del vrticea. El vrtice d es el hijo derecho del vrtice b; el vrtice b no tiene hijo izquierdo. El vrtice e es el hijo izquierdo del vrticec; el vrticecno tiene un hijo derecho. Figura 2.29. rbol binario. El rbol binario completo es un rbol binario en el cual cada vrtice tiene dos o cero hijos. Un resultado fundamental acerca de los rboles binarios completos es el siguiente teorema. Teorema: SiTes un rbol binario completo con i vrtices internos, entoncesTtienei+1 vrtices terminalesy 2i + 1 vrtices en total. El vrtice raz es considerado un vrtice interno.IsomorfismoAl igual que los grafos, los rboles tambin presentan la propiedad de isomorfismo. Como un rbol libre es un grafo sencillo, los rboles T1y T2son isomorfossi y slo si existe una funcin, f , uno a uno y sobre el conjunto de vrtices de T1 al conjunto de vrtices de T2que preserva la relacin de adyacencia, en el sentido de que los vrticesviyvj son adyacentes en T1si y slo si los vrticesf(vi)yf(vj) son adyacentes en T2. Ejemplo: La Figura 2.30 muestra un caso de isomorfismo. La funcin f del conjunto de vrtices del rbolT1 al conjunto de vrtices del rbol T2 es una funcin uno a uno, sobre,que preserva la relacin de adyacencia. Por lo tanto, los rboles T1 y T2 son isomorfos. Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 27 f(a) = A, f(b) = B,f(c) = C,f(d) = D,f(e) = E Figura 2.30. rboles libres isomorfos. Al igual que en el caso de grafos, se puede mostrar que dos rboles no son isomorfos si exhiben un invariante no compartido por los rboles. Esto se puede ilustrar en la Figura 2.31. los rboles T1y T2 no son isomorfos, pues T2tiene un vrticex de grado 3, pero T1 no tiene un vrtice de grado 3. Figura 2.31. rboles libres no isomorfos. Definicin: Sea T1un rbol con razr1ysea T2un rbol con razr2. Los rboles con razT1yT2son isomorfos si existe una funcin f, uno a uno y sobre el conjunto de vrtices de T1en el conjunto de vrtices de T2tal que a)Los vrticesvi yvj son adyacentes en T1si y slo si los vrticesf(vi)yf(vj) son adyacentes en T2. b)f(vi)= r2. Decimos que la funcin f es un isomorfismo.A continuacin, se dan dos ejemplos de rboles con raz para identificar si tienen la propiedad de isomorfismo.Los rboles con raz de la Figura 2.32 son isomorfos. Un isomorfismo es f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C, f(d) = D, f(e) = E, f(f) = F, f(g) = G Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 28 Figura 2.32. rboles con raz isomorfos. Los rboles con raz de la Figura 2.33 no son isomorfos, pues la raz de T1 tiene grado 3 y la raz de T2 tiene grado 2. Estos rboles son isomorfos como rboles libres. Figura 2.33. rboles con raz no isomorfos. * Los rboles son isomorfos como rboles libres. Actividad 5. rbol genealgico Propsito Representar una secuencia genealgica utilizando rboles. Instruccin Utiliza un rbol para representar la secuencia genealgica de tu familia desde tus bisabuelos hasta la ltima generacin Enva tu rbol al Facilitador(a). Matemticas discretas Unidad 2. Grafos y rboles Educacin Superior Abierta y a Distancia Ciencias Exactas,Ingenierasy Tecnologa 29 Evidencia de aprendizaje. Grafo de rutina cotidiana Instrucciones Realiza un grafo de tu rutina diaria con al menos 10 actividades desde que te levantas de tu cama en la maana hasta que regresas a ella por la noche. 1.Usa un grafo simple para describir las actividades de un da normal. Las actividades correspondern a los vrtices y se unirn mediante arcos. 2.Utiliza flechas en los arcos para indicar cmo se van desarrollando las actividades. 3.Resuelve cul es el grado de cada vrtice del grafo. 4.Usa una matriz de adyacencia para representar el grafo. Cierre de la unidad Es necesario tener a la mano papel y lpiz para poder resolver algunas operaciones, una recomendacin es utilizar el software Paint de Office para poder hacer los grafos. Fuentes de consulta McEliece, R. (1989). Introduction to discrete mathematics. New York: Random House. Skiena, S. (1990). Implementing discrete mathematics: Combinatoric and graph theory with mathematica. California: Addison-Wesley Pub. Co. Grassmann, W. & Garca, B. (2003). Matemtica discreta y lgica. Madrid: Pearson Educacin, S.A. Johnsonbaugh, R. & Palmas, V. (1999). Matemticas discretas (4 ed.). Mxico: Prentice Hall-Hispanoamericana, S. A.