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    GrafosEnviado por merma16

    1. 2. Grafos3. Aristas Vrtices - Caminos4. Clasificacin de grafos5. Grafos Eulerianos.6. Grafos Conexos7. rboles.8. Bosques de rboles.9. Recorrido de un grafo.

    10. Representacin de grafos en programas.11. Dgrafo (grafo dirigido).12. Aplicaciones de los dgrafos13. Grado de un grafo.14. Ciclo de un grafo.15. Estructuras no lineales: Grafos

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  • 16. Anexo

    IntroduccinHoy en da podemos ver muchas cosas que nos pueden parecer de lo mas cotidianas, carreteras, lneas telefnicas, lneas detelevisin por cable, el transporte colectivo metro, circuitos elctricos de nuestras casas, automviles, y tantas cosas mas; loque no pensamos frecuentemente es que estos forman parte de algo que en matemticas se denomina como grafos.En este trabajo se tratar de explicar lo que son los grafos, sus tipos, y algunas derivaciones de ellos, as como su representacingrfica y en algunos casos, su representacin en algn programa informtico, as como en la memoria.En este trabajo, se explicando de manera muy sencilla los conceptos y algunas metodologas con un lenguaje no tan rebuscadopara su mayor entendimiento.GrafosDesafortunadamente no existe una terminologa estandarizada en la teora de los grafos, por lo tanto es oportuno aclarar que laspresentes definiciones pueden variar ligeramente entre diferentes publicaciones de estructura de datos y de teora de grafos,pero en general se puede decir que un grafo como indica su nombre lo indica es la representacin (para nuestro caso) grfica delos datos de una situacin particular, ejemplo: Los datos contienen, en algunos casos, relaciones entre ellos que no es necesariamente jerrquica. Por ejemplo, supongamosque unas lneas areas realizan vuelos entre las ciudades conectadas por lneas como se ve en la figura anterior (ms adelante sepresentaran grafos con estructuras de datos); la estructura de datos que refleja esta relacin recibe el nombre de grafo.Se suelen usar muchos nombres al referirnos a los elementos de una estructura de datos. Algunos de ellos son "elemento","tem", "asociacin de tems", "registro", "nodo" y "objeto". El nombre que se utiliza depende del tipo de estructura, el contextoen que usamos esa estructura y quien la utiliza.En la mayora de los textos de estructura de datos se utiliza el termino "registro" al hacer referencia a archivos y "nodo" cuandose usan listas enlazadas, rboles y grafos.Tambin un grafo es una terna G = (V,A,j ), en donde V y A son conjuntos finitos, y j es una aplicacin que hace corresponder acada elemento de A un par de elementos de V. Los elementos de V y de A se llaman, respectivamente, "vrtices" y "aristas" de G,y j asocia entonces a cada arista con sus dos vrtices.Esta definicin da lugar a una representacin grfica, en donde cada vrtice es un punto del plano, y cada arista es una lnea que une a sus dos vrtices.

    AristasSon las lneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la que se construyen tambin caminos.Si la arista carece de direccin se denota indistintamente {a, b} o {b, a}, siendo a y b los vrtices que une.Si {a ,b} es una arista, a los vrtices a y b se les llama sus extremos.

    Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vrtice.

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  • Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si vrtice inicial y el final son el mismo.

    Aristas Cclicas: Arista que parte de un vrtice para entrar en el mismo.

    Cruce: Son dos aristas que cruzan en un punto.

    VrticesSon los puntos o nodos con los que esta conformado un grafo. Llamaremos grado de un vrtice al nmero de aristas de las quees extremo. Se dice que un vrtice es `par' o `impar' segn lo sea su grado.

    Vrtices Adyacentes: si tenemos un par de vrtices de un grafo (U, V) y si tenemos un arista que los une, entonces U y Vson vrtices adyacentes y se dice que U es el vrtice inicial y V el vrtice adyacente.Vrtice Aislado: Es un vrtice de grado cero.

    Vrtice Terminal: Es un vrtice de grado 1.

    CaminosSean x, y " V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesin finita no vaca de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}.En este caso

    x e y se llaman los extremos del camino

    El nmero de aristas del camino se llama la longitud del camino.

    Si los vrtices no se repiten el camino se dice propio o simple.

    Si hay un camino no simple entre 2 vrtices, tambin habr un camino simple entre ellos.

    Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado.

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  • Llamaremos ciclo a un circuito simple

    Un vrtice a se dice accesible desde el vrtice b si existe un camino entre ellos. Todo vrtice es accesible respecto a simismo

    Clasificacin de grafosLos grafos se pueden clasificar en dos grupos: dirigidos y no dirigidos. En un grafo no dirigido el par de vrtices que representaun arco no est ordenado. Por lo tanto, los pares (v1, v2) y (v2, v1) representan el mismo arco. En un grafo dirigido cada arcoest representado por un par ordenado de vrtices, de forma que y representan dos arcos diferentes.EjemplosG1 = (V1, A1)V1 = {1, 2, 3, 4} A1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}G2 = (V2, A2)V2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 6)}G3 = (V3, A3)V3 = {1, 2, 3} A3 = { , , }Grficamente estas tres estructuras de vrtices y arcos se pueden representar de la siguiente manera:Para ver el grfico seleccione la opcin "Descargar" del men superiorAlgunos de los principales tipos de grafos son los que se muestran a continuacin:

    Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vrtices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular.

    Por ejemplo, el primero de los siguientes grafos es 3-regular, el segundo es 2-regular y el tercero no es regularGrafo bipartito: Es aquel con cuyos vrtices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vrticespertenecientes al mismo conjunto

    Ejemplo.- de los dos grafos siguientes el primero es bipartito y el segundo no lo esGrafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vrtices. Un grafo completo con n vrtices se denota Kn.

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  • A continuacin pueden verse los dibujos de K3, K4, K5 y K6Un grafo bipartito regular: se denota Km,n donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vrtices.

    A continuacin ponemos los dibujos de K1,2, K3,3, y K2,5

    Grafo nulo: Se dice que un grafo es nulo cuando los vrtices que lo componen no estn conectados, esto es, que son vrtices aislados.

    Grafos Isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunvoca (uno a uno), entre sus vrtices de tal forma que dosde estos quedan unidos por una arista en comn.

    Para ver el grfico seleccione la opcin "Descargar" del men superiorGrafos Platnicos: Son los Grafos formados por los vrtices y aristas de los cinco slidos regulares (Slidos Platnicos), a saber, el tetraedro, elcubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

    Para ver el grfico seleccione la opcin "Descargar" del men superiorGrafos Eulerianos.

    Para definir un camino euleriano es importante definir un camino euleriano primero. Un camino euleriano se define de lamanera ms sencilla como un camino que contiene todos los arcos del grafo.Teniendo esto definido podemos hablar de los grafos eulerianos describindolos simplemente como aquel grafo que contiene uncamino euleriano. Como ejemplos tenemos las siguientes imgenes:El primer grafo de ellos no contiene caminos eulerianos mientras el segundo contiene al menos uno.

    Grafos Conexos.Save web pages as PDF with http://www.htm2pdf.co.uk! Unblock any website

  • Un grafo se puede definir como conexo si cualquier vrtice V pertenece al conjunto de vrtices y es alcanzable por algn otro. Otra definicin quedejara esto ms claro sera: "un grafo conexo es un grafo no dirigido de modo que para cualquier par de nodos existe al menos un camino que los une".

    rboles.Un rbol se define como un tipo de grafo que no contiene ciclos, es decir es un grafo tambin acclico, pero a su vez es conexo.Tal es el caso de los siguientes dos grafos en donde se puede notar que ninguno de los dos contiene repeticiones (ciclos).

    Bosques de rboles.Los bosques de rboles son un caso similar a los rboles, son acclicos, pero no son conexos. Como ejemplo tenemos la siguientefigura.Para ver el grfico seleccione la opcin "Descargar" del men superior

    Recorrido de un grafo.Recorrer un grafo significa tratar de alcanzar todos los nodos que estn relacionados con uno que llamaremos nodo de salida. Existen bsicamente dos tcnicas para recorrer un grafo: el recorrido en anchura; y el recorrido en profundidad.

    Recorrido en anchura: El recorrido en anchura supone recorrer el grafo, a partir de un nodo dado, en niveles, es decir, primero los que estna una distancia de un arco del nodo de salida, despus los que estn a dos arcos de distancia, y as sucesivamente hasta alcanzar todos los nodos alos que se pudiese llegar desde el nodo salida.

    Recorrido en profundidad: el recorrido en profundidad trata de buscar los caminos que parten desde el nodo de salida hasta que ya no esposible avanzar ms. Cuando ya no puede avanzarse ms sobre el camino elegido, se vuelve atrs en busca de caminos alternativos, que no seestudiaron previamente.

    Representacin de grafos en programas.Hay tres maneras de representar un grafo en un programa: mediante matrices, mediante listas y mediante matrices dispersas.

    Representacin mediante matrices: La forma ms fcil de guardar la informacin de los nodos es mediante la utilizacin de un vector queindexe los nodos, de manera que los arcos entre los nodos se pueden ver como relaciones entre los ndices. Esta relacin entre ndices se puedeguardar en una matriz, que llamaremos de adyacencia.

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  • Representacin mediante listas: En las listas de adyacencia lo que haremos ser guardar por cada nodo, adems de la informacin quepueda contener el propio nodo, una lista dinmica con los nodos a los que se puede acceder desde l. La informacin de los nodos se puedeguardar en un vector, al igual que antes, o en otra lista dinmica.

    Representacin mediante matrices dispersas: Para evitar uno de los problemas que tenamos con las listas de adyacencia, que era ladificultad de obtener las relaciones inversas, podemos utilizar las matrices dispersas, que contienen tanta informacin como las matrices deadyacencia, pero, en principio, no ocupan tanta memoria como las matrices, ya que al igual que en las listas de adyacencia, slo representaremosaquellos enlaces que existen en el grafo.

    Dgrafo (grafo dirigido).A un grafo dirigido se le puede definir como un grafo que contiene aristas dirigidas, como en el siguiente caso.

    Aplicaciones de los dgrafos

    Una de las aplicaciones mas importantes es de hallar el camino mas corto hacia un destino, ya sea de una ciudad a otra, de unosdepartamentos a otros, para el recorrido de rboles, sirve para la representacin de algoritmos, etc. Un ejemplo de esto es latarea de frer un huevo.

    Grado de un grafo.Grado de incidencia positivo: El grado de incidencia positivo de un nodonjes el nmero de arcos que tienen como nodo inicial anj. Ejemplo:El grado de incidencia de 1 es igual a 3.Grado de incidencia negativo: El grado de incidencia negativo de un nodonjes el nmero de arcos que terminan ennj. Ejemplo: El grado deincidencia negativo de 1 es igual a 1.Grado de un nodo: Paradigrafoses el grado de incidencia positivo menos el grado de incidencia negativo del nodo. Ejemplo: El grado de 1 esigual a 3 1 = 2, el grado del nodo 4 es 2 2 = 0. Para grafos no dirigidos es el nmero de lneas asociadas al nodo.

    Ciclo de un grafo.Ciclo: Es una cadena finita donde el nodo inicial de la cadena coincide con el nodo terminal de la misma.

    Ciclo simple: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple.Estructuras no lineales: Grafos

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  • Las estructuras de datos no lineales se caracterizan por no existir una relacin de adyacencia, entre sus elementos, es decir, unelemento puede estar relacionado con cero, uno o ms elementos.La estructura no lineal de datos ms general es el grafo donde sus nodos pueden relacionarse de cualquier manera sin unarelacin de orden predefinida.Estructuras no lineales: Grafos Entre las mltiples aplicaciones que tienen estas estructuras podemos mencionar:Para modelar diversassituaciones tales como: sistemas de aeropuertos, flujo de trfico, y responder a preguntas como: Qu tiempo es ms corto?, Cmo es ms barato?, oQu camino es ms corto?. Los grafos tambin son utilizados para realizar planificacin de actividades, tareas del computador, planificar operacionesen lenguaje de mquinas para minimizar tiempo de ejecucin.Qu tarea debo hacer primero?. Para representar circuitos elctricos, de aguas etc... , ypreguntar, estn todas las componentes conectadas.Grafos Los grafos pueden ser utilizados como la estructura bsica para mltiples aplicaciones en el rea de la Computacin. Un grafo G (N, A, f) es unconjunto no vaco, donde:N={n1, n2, ... ,nM) es el conjunto de nodos o vrticesA={a1, a2, ..., a K} es el conjunto de aristas yLa funcin f : Rindica los pares de nodos que estn relacionados.Grafos Dirigidos (Dgrafos) En estos grafos, las aristas que comunican dos nodos tienen unnico sentido, una arista puede ir de x a y, pero no de y a x. Se expresa grficamente con flechas que indican el sentido de la relacin entre cada par denodos.GrafosGrafos no dirigidos En estos grafos, las aristas que comunican dos nodos tienen dos sentidos. Si una arista va de x a y, la misma arista va de y ax. Se expresa grficamente por lneas. La representacin grfica de un grafo se define con un crculo o rectngulo para los nodos y las relaciones conlneas o flechas segn sea un grafo no dirigido o un dgrafo, respectivamente.ANEXO

    Representacin de grafosLas representaciones de grafos ms habituales estn basadas en matrices de adyacencia y listas de adyacencia. En este ejercicio se pretenderepresentar distintos grafos utilizando tanto matrices como listas de adyacencia.Apartado a)

    El plan de estudios de determinada titulacin se compone de 6 asignaturas, que por simplicidad, denominaremos y . A la hora dematricularse de las distintas asignaturas se ha de tener en cuenta una serie de dependencias entre ellas (prerrequisitos). De esta forma, un alumno no sepuede matricular en una asignatura hasta haber aprobado aquellas otras que sean prerrequisito de dicha asignatura. Representaremos...