TEORA DE ESTRUCTURAS - ocw.ehu.eus DE ESTRUCTURAS: Ingeniaritza Goi Eskola Teknikoa Escuela Tcnica Superior de Ingeniera Bilbao Tema 5: Mtodo matricial 1. Consideraciones generales

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  • DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA - MEKANIKA INGENIERITZA SAILA

    ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIERA DE BILBAO

    UNIVERSIDAD DEL PAS VASCO EUSKAL HERRIKO UNIBERTSITATEA UPV/EHU

    Ingeniaritza Goi Eskola Teknikoa

    Escuela Tcnica Superior de Ingeniera

    Bilbao

    TEORA DE ESTRUCTURAS

    TEMA 5: INTRODUCCIN A LOS MTODOS

    MATRICIALES DE CLCULO DE ESTRUCTURAS

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    Tema 5: Mtodo matricial

    1. Consideraciones generales

    El anlisis de cualquier estructura, entendiendo como tal cualquier sistema resistente y deformable que

    permite la transmisin de esfuerzos producidos por un estado de carga, tiene como objeto primario la

    determinacin de los esfuerzos y movimientos que aparecen en cualquier punto de la misma, pues una

    vez conocidos, aplicando las leyes de la Resistencia de Materiales, tambin se conocern los estados

    de tensin y deformacin.

    La determinacin de una cualquiera de estas dos caractersticas de la respuesta estructural bien

    esfuerzos o bien movimientos- lleva al conocimiento de la otra, puesto que ambas estn ligadas por una

    ley de comportamiento.

    En todos los mtodos de clculo se sigue uno de los dos caminos. Y as, recordemos que en el mtodo

    de la flexibilidad se calculaban en primer lugar los esfuerzos, en tanto que mediante el mtodo de la

    rigidez, se calculan en primer lugar los movimientos.

    En este captulo se har una exposicin de los fundamentos bsicos del mtodo matricial de la rigidez.

    Se explicarn conceptos de rigidez de la estructura y de rigidez de los distintos elementos estructurales,

    que son las magnitudes bsicas en las que se fundamenta el mtodo y por lo tanto deben conocerse

    antes de proceder al desarrollo del mismo.

    Como idea general, de los mtodos matriciales cabe decir que son de una gran simplicidad y que no

    han aportado ninguna idea nueva al anlisis de estructuras. Son una evolucin de las ideas de autores

    de finales del siglo XIX y primera mitad del XX (Maxwell, Mohr,). Su xito radica en la adaptacin de

    unas ideas establecidas al funcionamiento del computador.

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    Tema 5: Mtodo matricial

    1. Consideraciones generales

    La aparicin de los computadores digitales dio un gran empuje al empleo del mtodo de la rigidez, ya

    que su formulacin matricial y su naturaleza sistemtica lo hacen muy adecuado para su tratamiento

    mediante un algoritmo de clculo programado en un ordenador: lo que se hace es trasladar a este

    ltimo la parte rutinaria y laboriosa del clculo estructural. De hecho, una estructura medianamente

    complicada no puede resolverse con sencillez si no es empleando el mtodo de la rigidez con

    formulacin matricial, y tampoco el mtodo de la rigidez puede aplicarse con sencillez a casos reales

    si no se programa en un computador.

    Aunque es mucho ms general, el mtodo de la rigidez se aplica aqu al anlisis de estructuras

    reticulares discretas formadas por elementos que son piezas prismticas, que pueden trabajar a

    flexin, traccin y/o torsin, simultneamente. Los fundamentos del mtodo que se van a exponer

    pueden extenderse sin dificultad al estudio de estructuras formadas por elementos de tipologa

    diferente como son las estructuras laminares y, en general, las estructuras continuas

    tridimensionales. De hecho, este proceso comenz a realizarse a comienzos de la segunda dcada

    del S. XX, materializndose en el conocido mtodo de los elementos finitos, del que puede afirmarse

    que se ha convertido, desde el ltimo cuarto del siglo pasado en la ms poderosa herramienta de

    clculo de la matemtica aplicada. Concretamente, el M.E.F. surgi como una extensin o desarrollo

    natural de los mtodos matriciales para el clculo de estructuras reticulares, que se venan utilizando

    desde unos aos atrs.

    Por lo tanto los tipos de estructuras cuyo anlisis se aborda en este trabajo por el mtodo de la

    rigidez son: celosas planas o espaciales, prticos planos o espaciales y emparrillados planos. Las

    vigas continuas pueden tratarse como un caso particular de los prticos planos. Se emplean las

    suposiciones habituales de material elstico-lineal, y pequeas deformaciones.

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    Tema 5: Mtodo matricial

    2. Discretizacin, elementos y nudos

    Al utilizar el mtodo matricial de la rigidez para analizar una estructura, sta se considera como un

    conjunto de elementos ensamblados, que son capaces de reproducir el comportamiento global de dicha

    estructura y cumplen las condiciones generales de equilibrio y compatibilidad que ms adelante se

    analizarn detalladamente.

    NUDOS Los puntos en los que los diversos elementos se conectan entre s o con los apoyos.

    La estructura est formada por un conjunto de elementos y nudos que la reproducen fsicamente.

    El concepto de nudo es artificial porque, en general, su

    comportamiento no ser diferente al de cualquier otro

    punto de la estructura.

    En alguna ocasin se situar un nudo en un punto

    intermedio de una barra que, de esta forma, pasar a

    desdoblarse en dos elementos alineados.

    Con este planteamiento se pasa del concepto de solucin continua de la estructura al de solucin discreta.

    Solucin continua

    (movimientos y esfuerzos en todos los puntos)

    Solucin discreta

    (movimientos y esfuerzos en los nudos)

    Una vez conocida la solucin discreta de la estructura, utilizando las leyes de Resistencia de Materiales (o

    de la Teora Elemental de Estructuras), es posible conocer los movimientos y los esfuerzos en cualquier

    punto intermedio de un elemento, por lo que, de forma indirecta, se dispone de un campo de solucin

    continuo.

    A

    B

    D

    C

    1

    Nudos: A, B, C, D

    Elementos: 1, 2, 3

    2

    3

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    Tema 5: Mtodo matricial

    3. Grados de libertad

    Grado de libertad de un punto posibilidad que tiene ese punto de desplazarse, o bien las

    cantidades que es preciso explicitar en un punto para que su posicin quede definida respecto de una

    posicin anterior en un movimiento cualquiera, segn un cierto sistema de referencia.

    Grados de libertad de una estructura conjunto de desplazamientos (desplazamientos lineales y/o

    giros), consecuencia de las deformaciones de sus elementos, que definen unvocamente su

    configuracin deformada.

    3

    6

    1

    2

    4

    5

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    {} = {1, 2, 3, 4, , 12} vector de desplazamientos

    traslaciones giros

    i = desplazamiento segn el grado de libertad i

    En este caso el nmero de grados de libertad es 12

    EJEMPLO:

    1

    2

    4

    5

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    3

    6

    13

    15

    14

    {} = {1, 2, 3, 4, , 15} vector de desplazamientos

    traslaciones giros

    En este caso el nmero de grados de libertad es 15

    Cargas en los nudos

    {F}= {F1, F2, F3, F4, F12}

    Fi = Fuerza o momento segn el grado de libertad i Otra manera

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    4. Concepto de rigidez de una estructura

    Tericamente se obtiene la ecuacin fundamental del mtodo: {F}=[K]{}

    Donde

    {F} = Vector de fuerzas exteriores que actan sobre la estructura

    {} = Vector de desplazamientos de los nudos de la estructura

    [K] = Matriz de rigidez de la estructura

    {F} nx1 = [K] nxn {} nx1 n nmero de grado de libertad

    Se representan las n ecuaciones de equilibrio de la estructura.

    Esta ecuacin matricial representa las n ecuaciones lineales de equilibrio de la estructura en la

    direccin de sus n grados de libertad, y es la ecuacin fundamental del mtodo de la rigidez.

    Conociendo los valores de las fuerzas exteriores que actan sobre el sistema, se obtienen sus

    desplazamientos por solucin del sistema de ecuaciones anterior.

    Por ser las incgnitas del problema, este mtodo se enmarca en el grupo de los denominados

    mtodos de los desplazamientos.

    Los elementos de la matriz de rigidez son los coeficientes de rigidez de la estructura.

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    4. Concepto de rigidez de una estructura

    4.1. Significado fsico de la matriz de rigidez

    Se impone en la estructura el siguiente estado de deformacin: al

    grado de libertad j se le impone una deformacin de valor unidad

    mientras que los restantes grados de libertad se mantienen fijos.

    {} = { 0, 0, 0, , 1, , 0, 0, 0, 0 }

    j = grado de libertad en una direccin

    ...

    ...

    ...

    1

    ...

    0

    0

    0

    ..................

    ...............

    ..................

    ......

    ......

    ......

    ...

    ...

    3

    2

    1

    3333231

    2232221

    1131211