Tema 5 Variables Aleatorias

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    13-Dec-2015

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  • TEMA 5Variables aleatorias

    Resumen de contenidos

    Concepto de variable aleatoria. Funcin de distribucin. Caso discreto.Funcin de probabilidad. Esperanza. Varianza. Momentos. Caso continuo.Funcin de densidad. Esperanza. Varianza. Momentos. Funcingeneratriz. Propiedades de la esperanza y la varianza. Transformaciones

    Se estudian las variables aleatorias tanto en el caso discreto como en elcaso continuo. Especial inters tienen los conceptos de funcin dedistribucin, funcin de probabilidad, funcin de densidad, esperanza,varianza y funcin generatriz de momentos.

    VARIABLES ALEATORIAS

  • Variable aleatoriaEn los fenmenos de naturaleza aleatoria existen determinadas

    caractersticas de inters que reciben la denominacin de variablesaleatorias. En general, son medidas que se establecen sobre cada sucesoobservado. A falta de una definicin ms rigurosa, podemos indicar queuna variable aleatoria X es una aplicacin:

    : , ,

    de forma que , .

    Se observa que la definicin de p se hace, a travs de , a partir de laprobabilidad P definida sobre .

    EjemploAl lanzar un dado cbico equilibrado dos veces, estamos interesados en la

    suma de las puntuaciones observadas en las caras superiores. En estecaso, la variable X toma los valores: 2,3,4,5,2,7,8,9,10,11,12

    En este caso, , |, 1, , 6 .

    DEFINICIN Y EJEMPLOS

  • Obtenemos:

    2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    1

    36

    2

    36

    3

    36

    4

    365

    36

    6

    365

    36

    4

    36

    3

    36

    2

    36

    1

    36

    Ya que, por ejemplo:

    4 1,3 , 2,2 , 3,1 3

    36

    Funcin de distribucinA toda variable aleatoria X se le asocia una funcin de distribucin:

    : 0,1

    tal que , , | y verificando:

    1 0, 12) F es montona no decreciente: Si , 3) F es continua por la derecha:lim

    FUNCIN DE DISTRIBUCIN

  • EjemploAl lanzar una moneda equilibrada dos veces, nos interesamos por el

    nmero de caras obtenidas. La correspondiente variable, X, toma losvalores 0, 1 y 2. Las probabilidades asignadas aparecen a continuacin:

    0 1 2

    1

    4

    2

    4

    1

    4

    0, 01

    4, 0,1

    3

    4, 1,2

    1, 2

    0 1 2

    x

    . ..

    1

    4

    1

    4

    ..34

    1

    EJEMPLO

  • Una variable aleatoria transforma sucesos en subconjuntos de nmerosreales (medidas). En consecuencia, el fenmeno aleatorio adquiere unaexpresin numrica que, por las propiedades conocidas de los nmerosreales, resulta ms manejable.Por tanto, las probabilidades de los sucesos se expresan en probabilidadesde subconjuntos de R. Es importante, entonces, saber calcularprobabilidades de subconjuntos de R.

    Al ser , , podemos utilizar la funcin de distribucin paracalcular las probabilidades de los intervalos de R:

    , ,

    ,

    ,

    lim

    Como , , .

    En consecuencia, a travs de X, los nmeros reales que tienen probabilidad positiva son los que corresponden a puntos de discontinuidad de F.

    PRBABILIDADES DE INTERVALOS

  • 0, 01

    4, 0,1

    3

    4, 1,2

    1, 2

    Para el caso anterior:

    1

    2,3

    2

    3

    2

    1

    21

    2

    1,2 2 1 3

    4

    0,1 1 0 1

    4

    1 1 1 1

    2

    5

    4

    5

    4

    5

    4

    0

    EJEMPLOS

  • VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

    Una variable aleatoria es discreta si su funcin de distribucin esescalonada con un nmero finito o numerable de saltos.

    Esto se puede traducir en que una variable aleatoria es discreta si elconjunto de puntos con probabilidad positiva es finito o numerable.

    Ejemplos1)

    1 2 3 4 5

    1

    5

    1

    5

    1

    5

    1

    5

    1

    5

    2) 0,1,2,3, ,

    , 0,1,2,3,

  • Caractersticas de las variables aleatorias discretasFuncin de probabilidadUna variable aleatoria discreta queda determinada por su funcin deprobabilidad o funcin de masa. Como ocurre en los ejemplos anteriores,dicha funcin indica cules son las probabilidades asociadas a los distintosvalores que toma la variable.

    VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

    La funcin de probabilidad debe verificar:a 0, b 1

    EsperanzaSi X es una variable discreta que toma los valores , para , con Idiscreto o numerable, .La esperanza es una medida de centralizacin.Toma un valor dentro delrango de variacin de la variable.

    Para el ejemplo 1 de la diapositiva anterior, 3.

    Para el ejemplo 2 de la diapositiva anterior:

    2

    3

    1

    3

    2

    3

    1

    3

    2319

    2

  • VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

    VarianzaSi X es una variable discreta que toma los valores , para , con I discreto o numerable, .Alternativamente, .

    La varianza es una medida de dispersin de los valores de la variablerespecto al valor de la esperanza.

    Para el ejemplo 1 anterior, 9

    9

    9 2

    Para el ejemplo 2 anterior,

    4

    Desviacin TpicaEs la raz cuadrada de la varianza. Se nota por .

    MomentosEl momento de orden k respecto al origen es:

    La esperanza es el momento de orden 1 respecto al origen.

  • VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

    El momento de orden k respecto a la media es:

    La varianza es el momento de orden 2 respecto a la media.

  • VARIABLES ALEATORIAS COTINUAS

    Una variable aleatoria es continua si su funcin de distribucin es continua.

    Prescindiendo de ser ms rigurosos, podemos indicar que las variablesaleatorias continuas estn caracterizadas por una funcin de densidad. Lafuncin de densidad, : , viene a desempear el papel de la funcin deprobabilidad del caso discreto y debe verificar las propiedades:

    0, 1

    En la misma lnea de planteamiento, indicaremos que la relacin existente entre la funcin de distribucin y la funcin de densidad es:

    Suponiendo que f tiene las propiedades adecuadas, se verifica que =

    Adems, la probabilidad de un determinado subconjunto A de R se puedecalcular de la forma:

  • VARIABLES ALEATORIAS COTINUAS

    EjemploSea X la variable aleatoria que toma valores, con igual probabilidad, en elintervalo , .

    Claramente, su funcin de distribucin es:

    0,

    , ,

    1,

    La funcin de distribucin es continua.Su funcin de densidad es:

    0,

    , ,

    0,

    Habitualmente se escribe la funcin de densidad slo para el conjunto donde toma valores distintos de cero.Para el caso anterior, basta con escribir:

    1

    , ,

  • VARIABLES ALEATORIAS COTINUAS

    Dada una variable aleatoria continua X con funcin de densidad ,definimos:

    Esperanza

    Varianza

    MomentosEl momento de orden k respecto al origen es:

    El momento de orden k respecto a la media (esperanza) es:

    Es obvio que , y

  • VARIABLES ALEATORIAS COTINUAS

    Ejemplo

    Si X una variable aleatoria continua cuya funcin de densidad es:

    3, 0

    3

    1

    3,

    3

    ,

  • PROPIEDADESSi h es una funcin, el trabajo previo sugiere que:

    En el caso discreto bastar cambiar integral por sumatorio y funcin dedensidad por funcin de probabilidad.

    Funcin generatriz de momentosEn el caso particular en que , siendo t un parmetro real,definimos como la funcin generatriz de momentos de X.

    En el caso de que existan, las sucesivas derivadas de g en 0 determinan los respectivos momentos de X respecto al origen. Ejemplo

    Si X una variable aleatoria continua cuya funcin de densidad es: 3, 0

    3

    1

    3

    0 1

    3 0

    2

    9

  • PROPIEDADES

    Dadas una variable aleatoria X y una constante K, para la esperanza y la varianza se tiene que:

    . . . .

    EjemploSi X una variable aleatoria continua cuya funcin de densidad es:

    4, 0Para

    4

    3

    1

    12,

    1

    144

    . . 1

    12

  • TRANSFORMACIONES

    Dada una variable X, puede resultar de inters la variable aleatoria ,siendo h una transformacin o funcin de X. Casos particulares de estastransformaciones ya han sido utilizados en el clculo de la varianzas, en elclculo de los momentos y en la determinacin de la funcin generatriz.Podra interesarnos, no obstante, encontrar la funcin de distribucin, lafuncin de probabilidad, la funcin de densidad, de la variable

    EjemploSea Xla variable discreta con funcin de masa:

    1 2 3 4 1/5 2/5 1/5 1/5

    La variable tiene funcin de masa:

    1 8 27 64 1/5 2/5 1/5 1/5

  • Ejemplo

    Dada X, variable aleatoria continua cuya funcin de densidad es: 4, 0

    determinar la funcin de densidad de 3 2

    Si F es la funcin de distribucin de X y G es la funcin de distribucin de Y

    3 2 2

    3

    2

    3

    Por tanto, la funcin de densidad de Y es:

    1

    3

    2

    34

    3

    , 2

    TRANSFORMACIONES

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