Tema 4 Variables Aleatorias - UNIVERSIDAD DE ?· Variables aleatorias 4 Ahora nos interesa aprender…

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    26-Sep-2018

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  • Tema 4Variables Aleatorias

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  • Introduccin

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    En Estadstica Descriptiva, se estudiaron las distribuciones de frecuencias de conjuntosde datos y posteriormente se vimos los fundamentos de la teora de probabilidades. Esposible combinar estas ideas para obtener distribuciones de probabilidad que separecen bastante a las distribuciones de frecuencias relativas, la diferencia msimportante entre las distribuciones de probabilidad y las de frecuencia relativa, es quelas distribuciones de probabilidad son probabilidades tericas (MODELO), mientras quelas distribuciones de frecuencias relativas son probabilidades empricas o proporciones(MUESTRAS).

    Tambin vimos que los espacios muestrales no necesariamente son numricos. Porejemplo cuando lanzamos una moneda tres veces, podremos registrar un resultadocomo CCS. En estadstica, sin embargo interesan los resultados numricos, tal como elnmero de caras al lanzar una moneda tres veces.

    Ejemplo. Se tiene el experimento aleatorio: Lanzar una moneda 3 vecesEl espacio muestral que corresponde a este experimento es:

    S = {CCC, CCS, CSS, CSC, SSS, SSC, SCC, SCS}

    Sea X := nmero de caras. Qu valores puede tomar X?

  • Introduccin cont.

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    Sea Y := nmero de caras menos nmero de sellos. Qu valores puede tomar Y?Sea Z := nmero de caras hasta que sale sello. Qu valores puede tomar Z?

    DefinicinUna variable aleatoria es una variable cuyo nmero que depende del resultado aleatoriode un experimento.Ms formalmente, una variable aleatoria es una regla que asigna un valor numrico (slouno) a cada punto en el espacio muestral de un experimento aleatorio.

    Ejemplo. Supongamos que se aplicar una encuesta a los estudiantes de la UDA donde sepreguntar por el nmero de cursos inscritos este semestre. Identificar la variablealeatoria de inters y enumerar sus valores posibles.Nota: generalmente se usan letras maysculas y del final de abecedario (X, Y, o Z), paradenotar variables aleatorias.

  • Variables aleatorias

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    Ahora nos interesa aprender cmo asignar probabilidades a eventos, y para eso vamos adistinguir dos tipos de variables aleatorias:

    Una variable aleatoria discreta puede tomar valores finitos o contables.Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor en un intervalo.

  • Funcin de distribucin

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    Variables aleatorias discretas

    P(X=x)

    Si la variable aleatoria es discreta la describimos segn su distribucin de probabilidades,que consiste en una lista de valores posibles de la variable y la proporcin de veces queesperamos que ocurran:

  • Variables aleatorias discretas

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    Ejemplo. Volvamos al experimento de lanzar una moneda 3 veces.Espacio muestral S={CCC, CCS, CSS, CSC, SSS, SSC, SCC, SCS}Sea X = nmero de caras = {0, 1, 2, 3}

    Ejemplo. Modelo para el nmero de libros en mochilas de estudiantes.Sea X una variable aleatoria que representa el nmero de libros que llevan en la mochilalos estudiantes de esta Universidad:

    x 0 1 2 3

    P(x) 0.5 0.2 0.2 0.1

    a) Describir la forma de la distribucin.b) Qu proporcin de estudiantes llevan 3 o menos libros?c) Qu proporcin de estudiantes llevan ms de 2 libros?d) Qu proporcin de estudiantes llevan entre 2,1 y 2,8 libros?e) Qu proporcin de estudiantes llevan entre 1 y 2 libros?

  • Variables aleatorias discretas cont.

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    Ejemplo. Sea X el nmero de personas de hogares en el censo 2002:

    x 1 2 3 4 5 6 7 y ms

    P(x) 0.11 0.18 0.22 0.23 0.14 0.07

    a) Cunto debe ser la probabilidad de que el tamao familiar sea de 7 y ms personas paraque esta sea una distribucin de probabilidades discreta legtima?b) Mostrar grficamente la distribucin de probabilidades.c) Cul es la probabilidad de que un hogar elegido al azar tenga un tamao familiar de msde 5 personas?d) Cul es la probabilidad de que un hogar elegido al azar tenga un tamao familiar de noms de 2 personas?e) Cul es P(2 < X 4) ?

  • Variables aleatorias discretas cont.

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    Ejemplo. En el caso del nmero de caras al lanzar 3 monedas, la distribucin deprobabilidades de X es:

  • Variables aleatorias continuas

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  • La distribucin Normal

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  • La distribucin Normal cont.

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    Caractersticas: Su grfico semeja una campana simtrica, cuyas colas se extienden hacia el infinito tanto endireccin negativa como en la positiva. El promedio, la mediana y la moda de la distribucin tienen el mismo valor. La distribucin queda completamente definida por la media (promedio) y la desviacinestndar. El promedio nos informa sobre la posicin o ubicacin de la distribucin en el ejehorizontal y la desviacin estndar refleja la dispersin de los valores con respecto alpromedio.

  • La distribucin Normal cont.

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    Ejemplo . Los puntajes del test de inteligencia para adultos WAIS-R (Wechsler AdultIntelligence Scale-Revised) siguen una distribucin Normal con media 100 y desviacinestndar de 15.A partir de este modelo podemos hacernos preguntas tales como qu proporcin deadultos tendrn un CI menor que 130?

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    Clculo de reas de una distribucin normal

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    Clculo de reas de una distribucin normal cont.

  • Variables aleatorias

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  • Tabla de la normal

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  • Tabla de la normal

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  • Tabla de la normal cont.

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  • La normal cont.

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    Clculo de reas. a) Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra a la izquierda de z = 1,22.b) Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra a la derechade z = 1,22.c) Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra entre z = 0 y z=1,22.d) Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra a la izquierdade z = -2,55.e) Encuentre el rea de la distribucin Normal estndar que se encuentra entre z = -1,22y z = 1,22.

    Puntajes de CI. Suponga que definimos a X como los puntajes de CI del test deinteligencia WAIS-R, con distribucin N(100, 15) .a) Qu proporcin de adultos tendr un CI menor a 85?b) Qu proporcin de adultos tendr un CI mayor a 85?c) Qu proporcin de adultos tendr un CI entre 85 y 115?

    Continuando con el modelo N(100, 15) para el puntaje de CI para adultos, considere lasiguiente pregunta: Qu puntaje de CI debe tener un adulto para ubicarse entre el 1%con ms alto puntaje?

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    Natacin. El tiempo que demoran los nadadores de 100 metros mariposa sigue unanormal con media 55 segundos y desviacin estndar de 5 segundos.a) Los organizadores de un campeonato deciden dar certificados a todos los nadadoresque terminen antes de 49 segundos. Si hay 50 nadadores en los 100 metros mariposa,Cuntos certificados se necesitarn?b) Con qu tiempo debe terminar un nadador para estar entre el 2% ms rpido de ladistribucin de tiempos?

    Ejemplo. Sea X es N(3, 2):a) Mostrar grficamente esta distribucin en particularb) Encontrar el rango entre cuartiles de la distribucinc) Encontrar P(X > 3).d) Encontrar P(X = 3).

    La normal cont.

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