Simulacion Montecarlo La Aleatoriedad

  • Published on
    29-Dec-2015

  • View
    101

  • Download
    0

Transcript

TTULO DEL ARTCULORevista Cap&CuaRevista Cap&CuaComit editorialSIMULACIN MONTECARLOSIMULACIN MONTECARLO:LA ALEATORIEDAD COMO SOLUCIN DE MODELOS MATEMTICOS REALESJess Alberto Rodrguez SeguaJess Alberto Rodrguez Segua, Estudiante Ingeniera Industrial VIII Semestre, Calle 25B# 20-44, 3202488673, jrodriguez1805@hotmail.com. 1. CONTENIDO DEL ENSAYOINTRODUCCIN.En la descripcin de un sistema por medio de un modelo, encontramos casos en que el sistema es demasiado complicado para describirlo o que el modelo, una vez deducido, no permite una solucin analtica. En estos casos, la simulacin puede ser un instrumento valioso para obtener la respuesta de un problema particular. Hay diversas clases de simulacin; por ejemplo los modelos de escala de aviones que se ensayan en un tnel de viento, el circuito elctrico empleado para describir un circuito hidrulico, y la descripcin de un sistema mediante un modelo matemtico. En esta ltima clase de simulacin se manipula el modelo matemtico de algn sistema real y se observan los resultados. Entonces estas manipulaciones y observaciones se utilizan para hacer deducciones con respecto al sistema real. Si el modelo involucra muestreo aleatorio a partir de una distribucin de probabilidad el procedimiento se denomina "Simulacin Montecarlo".La tcnica de la simulacin de Monte Carlo se basa en simular la realidad a travs del estudio de una muestra, que se ha generado de forma totalmente aleatoria. Resulta, por tanto, de gran utilidad en los casos en los que no es posible obtener informacin sobre la realidad a analizar, o cuando la experimentacin no es posible, o es muy costosa. As, permite tener en cuenta para el anlisis un elevado nmero de escenarios aleatorios, por lo que, se puede decir que hace posible llevar la tcnica del anlisis de escenarios al infinito ampliando la perspectiva de los escenarios posibles. De esta forma, se pueden realizar anlisis que se ajusten en mayor medida a la variabilidad real de las variables consideradas.Para poder entender el Mtodo Montecarlo, es necesario tener claramente definidos ciertos conceptos bsicos de estadstica, de lo contrario, no se encontrara utilidad debido, a que este mtodo es una aplicacin avanzada del campo estadstico: La Funcin de probabilidad (FDP) de una variables x(p(x)) es aquella funcin que contiene la probabilidad de acierto para cada valor de X. De antemano se sabe que no debe poseer valores negativos y debes estar normalizada dentro de un intervalo (Valor min , Valor max) La Funcin de probabilidad acumulada (FPA) de una variable x es la funcin que contiene la probabilidad de acierto dentro del intervalo [Xmin, x]. Es por tanto una funcin montona creciente con valor inicial P(Xmin)= 0 y P(Xmas)=1.La aplicacin de la simulacin Montecarlo est basada en identificar las variables que se consideran ms significativas, as como las relaciones existentes entre ellas; de tal forma que se pueda explicar la realidad a estudiar mediantes la sustitucin del universo real, por un universo terico utilizando nmeros aleatorios.METODOLOGA.Aunque el mtodo Montecarlo no posee una serie de pasos que se deban seguir de manera mecnica para el desarrollo de los distintos modelos que se quieran simular; se puede utilizar como herramientas ciertos criterios en comn que se obtienen de su anlisis y del desarrollo de sus procedimientos: ESTIMACIN DE LAS VARIABLES DETERMINACIN DEL TAMAA DE LA MUESTRAESTIMACIN DE LAS VARIABLES:1. En primer lugar se debe seleccionar el modelo matemtico que se va a utilizar, para la determinacin del valor de referencia. 2. A continuacin habr que identificar las variables cuyo comportamiento se va a simular (x). es decir, aquellas que se consideran que no van a tomar un valor fijo, sino que pueden tomar un rango de valores por no tratarse de variables ciertas, as como las relaciones que existen entre ellas, en este punto se debe definir los coeficientes de correlacin existente entre las variables. Si no se tienen en cuenta dichas interrelaciones, y se simulan las variables de forma independiente, se incurrira en un error en los resultados obtenidos, lo que estara reduciendo la variabilidad de los resultados al tener lugar el efecto de compensacin en la interaccin de las variables.3. Despus de que se identifican las variables que se simularan, se debe determinar la funcin de probabilidad f(x) asociada a cada una de estas.4. Una vez hecho esto se obtendrn las funciones de distribucin asociadas a las variables o variables si se trata de una sola.5. Se procede a la generacin de nmeros aleatorios comprendidos entre (0,1). Estos nmeros se pueden obtener utilizando algn algoritmo de generacin por medio del Excel o algn generador automtico, siendo necesarios tanto como variables se consideren en el modelo multiplicado por el nmero de simulaciones que se deseen realizar.6. Una vez se dispone de los nmeros aleatorios, estos se llevan sobre el eje de ordenadas, y se proyectan horizontalmente sobre las correspondientes funciones de distribucin f(x) de las variables o la variable del modelo.7. el valor as calculado de (x) ser el primer valor de la muestra simulada.8. Este proceso habr de repetirse el nmero de veces necesario para poder disponer del nmero adecuado de valores muestrales.9. A continuacin, se sustituyen los valores simulados en el modelo matemtico para ver el resultado obtenido para las simulaciones realizadas. 10. Posteriormente, se agrupan y clasifican los resultados. Se comparan los casos favorables, con los casos posibles, y se agrupan por categoras de resultados.11. Para finalizar la primer etapa se debe llevar a cabo el anlisis estadstico y de inferencia sobre el comportamiento de la realidad, siendo interesante calcular la media, la varianza y la desviacin tpica.ESTIMACIN DEL TAMAO DE LA MUESTRA1. Para determinar el tamao de la muestra, se debe empezar por utilizar un nmero no demasiado elevado de simulaciones, que se sustituirn en el modelo matemtico seleccionado, y de esta forma se procede a calcular la media y la desviacin tpica correspondiente al mismo. De esta forma se debe ampliar el tamao de la muestra hasta que la media y la desviacin tpica no varen significativamente en relacin con los resultados obtenidos con la muestra anterior.Para esta etapa se pueden aplicar dos procedimientos independientes que facilitara la estimacin de la tamaa de la muestra: Procedimiento aditivo: se parte de un numero inicial de simulaciones (n), y se calcula la media y la desviacin tpica del modelo matemtico utilizado. Posterior se procede a aadir el numero nuevo de simulaciones equivalentes al bloque inicial (n), de tal forma que ahora se calcula la media y la desviacin tpica del modelo matemtico utilizando para ello un numero de simulacin que asciende a 2n. Paso 1: Tamaa delo bloque de simulaciones n. Paso 2: tamao del bloque de simulaciones n+n = 2n. Si no hay convergencia, entonces paso 3, sino finalizar. Paso 3: Tamao del bloque de simulaciones 2n+n=3n. Si no hay convergencia, entonces paso 4, sino finalizar.Y as, sucesivamente hasta alcanzar la convergencia. Procedimiento multiplicativo: para este se debe partir de un numero inicial de simulaciones (n), y se calcula la media y la desviacin tpica del modelo matemtico utilizado. Se debe proceder a aadir un nmero de nuevas simulaciones equivalente a las acumuladas hasta ese momento de tal forma que ahora se calcula la media y la desviacin tpica del modelo matemtico utilizando para ello un nmero de simulaciones que es el doble de las utilizadas en el paso anterior. La nueva media y desviacin tpica as calculadas se comparan con las anteriores, repitindose el proceso hasta que la media y la desviacin tpica no diverjan en ms de 0,5 0 1%. Paso 1: Tamao del bloque de simulaciones n. Paso2: tamao del bloque de simulaciones 2*n=2n. Si no hay convergencia, entonces paso 3, sino finalizar. Paso3: Tamao del bloque de simulaciones 2*2n=4n. Si no hay convergencia, entonces paso 4, sino finalizar.Y as, sucesivamente hasta alcanzar la convergencia.Fuente: introduccion a la simulacin, humberto alvarez.De una manera resumida los pasos son:1. Disear el modelo lgico de decisin.2. Especificar distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias relevantes.3. Incluir posibles dependencias entre variables.4. Calcular el resultado del modelo segn los valores del muestreo (iteracin) y registrar el resultado.5. Repetir el proceso hasta tener una muestra estadsticamente representativa.6. Obtener la distribucin de frecuencias del resultado de las iteraciones.7. Calcular media, desvo y curva de percentiles acumulados.TIPOS DE VARIABLESLa idea bsica del mtodo es simular valores que toman las variables que forman parte del proceso en lugar de experimentar u observar la realidad.Ejemplos: Demanda. Tiempo de respuesta, entre ocurrencias, de servicio. Cantidad de empleados ausentes. Presin de un neumtico. Velocidad y direccin del aire.Existen dos tipos de variables aleatorias: Variables aleatorias discretas: Demanda, Nmero de empleados, etc. Variables aleatorias continuas: Tiempos, etc.APLICACIONES Criptografa Cromo dinmica cuntica Densidad y flujo de trafico Diseo de reactores nucleares. Diseo de VLSI. Ecologa. Econometra Evolucin estelar Fsica de materiales Mtodos cuantitativos de organizacin industrial. Programas de computadora. Pronostico de ndice de la bolsa Prospecciones en explotaciones petrolferas Radioterapia contra el cncer. Sistema de colas. Sistemas de inventario PyQ Valoracin de cartera de valoresLa simulacin de Montecarlo se ha venido aplicando a una infinidad de mbitos como alternativa a los modelos matemticos exactos o incluso como nico medio de estimar soluciones para problemas complejos. As, en la actualidad es posible encontrar modelos que hacen uso de simulacin MC en las reas informtica, empresarial, econmica, industrial e incluso social.En otras palabras, la simulacin de Montecarlo est presente en todos aquellos mbitos en los que el comportamiento aleatorio o probabilstico desempea un papel fundamental precisamente.A veces la aplicacin del mtodo Montecarlo se usa para analizar problemas que no tienen un componente aleatorio explicito; en estos casos un parmetro determinista del problema se expresa como una distribucin aleatoria y se simula dicha distribucin.Ejemplo: Si deseamos reproducir, mediante nmeros aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de nmeros aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulacin. Tales intervalos se asignan en funcin de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos as:CARA Probabilidad: 0,50 Nmeros aleatorios: 0,000 al 0,499CRUZ Probabilidad: 0,50 Nmeros aleatorios: 0,500 al 0,999Despus, al generar un nmero aleatorio a partir de la funcin RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. As, si obtenemos el nmero aleatorio 0,385, observamos que est incluido en el intervalo asignado a CARA.En otras aplicaciones, se asocian intervalos de nmeros aleatorios segn las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simularIMPORTANCIALa importancia actual del mtodo Montecarlo se basa en la existencia de problemas que tienen difcil solucin por mtodos exclusivamente analticos o numricos, pero que dependen de factores aleatorios o se pueden asociar a un modelo probabilstica artificial (resolucin de integrales de muchas variables, minimizacin de funciones, etc.). Gracias al avance en diseo de los ordenadores, clculos Montecarlo que en otro tiempo hubieran sido inconcebibles, hoy en da se presentan como asequibles para la resolucin de ciertos problemas. En estos mtodos el error ~ 1/N, donde N es el nmero de pruebas y, por tanto, ganar una cifra decimal en la precisin implica aumentar N en 100 veces.La importancia de Montecarlo es que abri la posibilidad de utilizar el azar para clculos analticos; adems es un mtodo numrico de integracin lento que se puede mejorar con un cambio adecuado de variables.VENTAJAS Es un mtodo directo y flexible Cuando el modelo matemtico es demasiado complicado la simulacin permite obtener una simulacin. La simulacin permite resolver problemas que no tiene solucin analtica. La simulacin no interviene en el mundo real, permite experimentar.DESVENTAJAS La simulacin no genera soluciones ptimas globales. Una buena simulacin puede resultar muy complicada, gran nmero de variables. No proporciona la decisin a tomar, sino que resuelve el problema mediante aproximacin para unas condiciones iniciales. Cada simulacin es nica, interviene el azar.2. Referencias Bibliogrficas Robert, C.P. y Casella, G., Monte Carlo statistical methods. Springer-Verlag, London, (2004). Rubinstein, R.Y. y Kroese, D.P., Simulation and the Monte Carlo method. Wiley, Hoboken, NJ, (2008). Monte carlo simulation in statistical physics, k.binder, D.w. Heermann, Springer, 1997 http://www.palisade-lta.com/risk/simulacion_monte_carlo.asp http://www.slideshare.net/gfower/simulacion-mc http://www.slideshare.net/AlejandroClaro2/metodos-de-montecarlo-en-mecanica-estadistica http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Montecarlo http://www.ucema.edu.ar/~alebus/riesgo/montecarlo.PPT http://www.slideshare.net/CrypticHernndezOrtega/resumen-simulacion-de-montecarlo6 Como presentar artculos en la Revista Cap & Cua SIMULACIN MONTECARLO: LA ALEATORIEDAD COMO SOLUCIN DE MODELOS MATEMATICOS1