Resumen Espejo y Reflejo

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    12-Jul-2015

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<p>M A CINTEGRANTES DEL EQUIPO: Alvarado Vazquez Beatriz De Jesus Mendoza Giovanni Daniel Grajales Jimenez Angelica Ortega Hernandez Braulio Segundo Nieves Yesenia</p> <p>LIBRO</p> <p>ESPEJO Y REFLEJOPRLOGO: UNA ANTIGUA TENSIN La ciencia en sus orgenes se encargo de suprimir la idea del caos como parte dominante de nuestra vida a travs de las ideas reduccionistas, creyendo que todos los sistemas de la naturaleza se podan desentraar hasta llegar a sus niveles ms elementales, niveles representados a partir de las partculas elementales. Las leyes de Newton representaban entonces los ideales mximos en la ciencia, por su capacidad de poder representar todos los movimientos fsicos en determinados sistemas. Pero, lentamente la idea reduccionista se vio atacada a travs de distintas teoras (por ejemplo, la de la relatividad, de Einstein), y los cientficos comenzaron a desentraar el asunto. El pionero fue Henri Poincar, quien descubri que las leyes de Newton eran aplicables solamente en sistemas totalmente estables, sin interferencias (ni siquiera en mnimas cantidades), usando las ecuaciones no lineales en sistemas, como el sistema solar, descubri que el sistema no era totalmente estable, poniendo en duda su eternidad y el orden con que se le representaba. Las ecuaciones no lineales tienen caractersticas que incluyen la realimentacin de sus trminos, la separacin de los mismos en los puntos crticos, etc.; lo cual las hace impredecibles. Ilustrando fenmenos como los terremotos, solo se logra llegar a aproximaciones. Adems, las ecuaciones no lineales funcionan para determinar lo que se denominan rizos de realimentacin, se encuentran tanto negativos como positivos. Los negativos ilustran los elementos de ciertos sistemas y la forma en que se regulan, mientras que los positivos ilustran los elementos de ciertos sistemas en una continua amplificacin. CAPTULO 1: ATRACTORES Y MAPAS DE LECTURA Dentro de los movimientos ms simples tenemos a los movimientos peridicos. Estos movimientos tienden a oscilar, es decir, ir y venir de su posicin original. Al momento de graficar sus movimientos en los espacios de fases, se forman rbitas cerradas (cuando se trata de sistemas que no sufren de friccin o algn elemento que interfiera). Cuando son sistemas donde interviene la friccin, a la hora de graficar se forma una espiral cuyo fin se localiza en el centro del espacio de fases. En ambos casos, los sistemas parecen ser atrados magnticamente hacia un punto; a este punto se le denomina atractor o punto atractor fijo.</p> <p>Existe otro tipo de atractor, llamado ciclo lmite. ste atractor se manifiesta cuando hablamos de un sistema que tiende a ser peridico gracias a una tercer fuerza que impulsa la continuidad, a pesar de los elementos como la friccin. Un ejemplo sera un pndulo impulsado mecnicamente. Cuando tenemos ms variables dentro del sistema, el ciclo lmite funciona sobre un espacio de fases de mas dimensiones; cuando se trata de dos variables, el espacio de fases de bidimensional, cuando son tres, el espacio de fases es tridimensional. Tambin es posible tener dos ciclos lmite interactuando, separados entre s. Visualizndolos individualmente, ambos conservan sus propiedades, pero cuando interactan, cambia el espacio de fases, aumentando de dimensiones, y, ambos ciclos limite se entrelazan para formar otro tipo de atractor, llamado toro (tiene forma de rosquilla), donde un ciclo es impulsado en un crculo por el otro ciclo. Puede haber dos formas de toro: una donde las dos formas acopladas dentro del toro tienen una proporcin simple, ah el ciclo es peridico; la otra luce distinta, porque los dos osciladores tienen una proporcin irracional, nunca coinciden ambos, por lo que se le denomina cuasiperidico. Nuestro sistema solar es cuasiperidico, nunca coinciden las rbitas. Si llegaran a coincidir, es decir, si el ciclo fuera peridico, si la proporcin fuera simple, los efectos de cada rbita se amplificaran, produciendo un caos. Para demostrar esto, hay varios ejemplos, los ms significativos son los anillos de Saturno, dnde se puede apreciar brechas entre sus anillos, donde los de menor orbita crean un caos en las lagunas que carecen de material. Dentro de esas lagunas, los toros se dispersaron en el espacio de fases, cada vez a menor escala, por lo que se le denomina caos de carcter fractal. CAPTULO 2: LA TURBULENCIA, ESE ATRACTOR EXTRAO Hay otro atractor de carcter muy diferente a los anteriores, aquel que mantiene a los sistemas en un estado totalmente impredecible, de forma catica. Se le llama extrao, mejor conocido como turbulencia. La turbulencia est presente desde siempre, en diversos fenmenos, como la lava, el viento, los desastres meteorolgicos, o el agua. Un ejemplo de cmo en los sistemas surge la turbulencia, es en el agua de un ro que fluye. Cuando tiene una velocidad lenta, si el ro tiene un obstculo, como una piedra, lo deja sin problema alguno. Conforme avanza la velocidad, detrs del obstculo, comienzan a formarse vrtices, que representan los ciclos lmites. Cuando se llega a un valor crtico en la velocidad del agua del ro, los vrtices que se descomponan en ms regiones de vrtices pierden total orden, mostrando movimientos totalmente aleatorios. A travs de varias observaciones sobre el sistema mencionado anteriormente, se logra ver que el proceso de la turbulencia crea subdivisiones, bifurcaciones cada vez ms pequeas, el mismo fenmeno cada vez a menor escala, un sinfn de vrtices. Un fsico llamado Reynolds realizo pruebas para lograr encontrar un valor en el cual el sistema se vuelve turbulento, hoy en da se le llama nmero de Reynolds. Adems, logro realizar la conjetura de que la turbulencia en menor escala refleja la misma en escala mayor.</p> <p>Otros cientficos, como Landau y Hopf, hicieron su aporte a la ciencia de la turbulencia. Lo que ellos propusieron fue que hay una variacin de valores entre cada atractor, es decir, que un sistema sufre inestabilidad cuando pasa de un atractor de punto fijo a un ciclo lmite, y de un ciclo lmite a un toro de dos dimensiones, y de ste toro a otro de mas dimensiones. A pesar de sus esfuerzos, los experimentos demuestran algo distinto; si hay acuerdo en que se logra llegar de un atractor de punto fijo a un ciclo lmite y de ste a un toro de dos dimensiones, pero, en la siguiente inestabilidad, surge algo inesperado: el toro comienza a desintegrarse, adquiriendo una dimensin fraccional, quedando atrapado entre dos dimensiones. Un ejemplo claro de esto es como si arrugramos una hoja (se debe considerar que la hoja es de 3 dimensiones, pero, para la demostracin se le puede tratar como de dos dimensiones) y la furamos comprimiendo; la hoja cada vez se asimilar ms a un slido, sin llegar a serlo. Resumiendo, llegando a la inestabilidad en la que el toro se desintegra, en los sistemas surgen los comportamientos caticos, donde todos los movimientos son aleatorios.</p> <p>CAPTULO 3: LA EXTRAA RUTA DE LA DUPLICACIN Pero, hubo un cientfico, Verhulst, que aadi otro trmino a la ecuacin, volvindola no lineal. A partir de este trmino, la ecuacin se maneja entre dos oscilaciones, debido que, a medida de que un trmino crece, el otro decrece, y cuando el que crece comienza a decrecer, el que decreci comienza a crecer. Esto se debe a que, dentro de la ecuacin, algunos trminos se iteran de distintas formas. Para analizar mas la no linealidad de la ecuacin, se puede ejemplificar con una comunidad de larvas, a la cual se le aplica un control para tener una tasa de natalidad de ,99. Cuando la poblacin aumenta, por ejemplo, a 1,5, la poblacin tiende a declinar, pero logra estabilizarse en un valor de ,66. Esto ocurre con distintos valores inferiores, pero cuando comienza a subir el valor, por ejemplo, a 2,98, las oscilaciones aumentan, logrando estabilizarse en ,66. Con lo mencionado hasta ahorita, podramos considerar a ,66 como un atractor. El sistema cambia cuando se alcanza un valor mayor a 3,0, volviendo a la poblacin inestable, dando dos valores en lugar de uno. Mientras ms suba el valor, mas inestabilidad surgir, hasta que se llegara un punto crtico dnde el nmero de bifurcaciones de valores ser infinito. Otro descubrimiento cientfico, la ruta hacia el caos mediante la duplicacin de periodos, nos muestra como los sistemas tardan distintos periodos aleatorios en volver a su estado natural, a travs del control de otras variables. Graficando por computadora, se observa que ciertas zonas de las oscilaciones tienden a ser repetitivas en menor escala, pero tambin se puede ver cierta fraccin del espacio de fases donde el sistema entra de nuevo en un orden previsible. Otra manifestacin de la turbulencia y de la iteracin de trminos se manifiesta a travs de la intermitencia, la cual ocurre dentro de un sistema ordenado, el cual, al alcanzar ciertos puntos crticos, sufre de espasmos caticos, como por ejemplo, en la seal de radio o televisin. Estas seales de intermitencia</p> <p>pueden suceder tanto en los sistemas ordenados como en los sistemas caticos. Las propiedades del caos, como el atractor extrao y la iteracin, cada vez tienen un carcter ms universal; se ha descubierto en las frecuencias cardiacas, en grupos celulares, etc. As, se est demostrando que la duplicacin de periodos puede conducir al caos, a su vez que conduce del caos al orden.</p> <p>CAPTULO 4: MAGIA ITERATIVA La iteracin es un proceso cuya importancia radica en el simple hecho de que aparece en casi todo, desde la filosofa, hasta las matemticas, pasando por la biologa, la fsica, etc. En la biologa se manifiesta, por ejemplo, en los sistemas por medio de la autorreferencia, la cual ayuda a mantener estabilidad y tener la posibilidad de avanzar en procesos evolutivos. Sea el caso de las bacterias, que gracias a estos procesos, pueden defenderse de las adversidades modificndose a s mismas. Hay teoras de que la iteracin sucede en los niveles ms elementales de la vida, a su vez, sugiere que la estabilidad y el cambio no son opuestos. Por ejemplo, en nuestro organismo, las clulas se regeneran cada periodo de tiempo, a pesar de eso, seguimos siendo nosotros mismos en esencia. Otra forma de ver como la iteracin conduce al caos es a travs de la informacin faltante. Eso ocurre de esta manera: cuando se realizan clculos de ciertas ecuaciones, puede repetirse a travs de ciclos lo que es el resultado si siempre manejamos los resultados como inferiores a 1, por ejemplo: si un resultado es 425.847, para simplificarlo se mueve el punto decimal y queda as: ,425847. Siempre que ocurra esto, los trminos, junto con la duplicacin de periodos, llegaran al mismo. Pero, cuando se eliminan ciertas dcimas con el fin de reducir el trmino, tiende a seguir otro patrn la secuencia y as pierde su periodicidad. A causa de esta informacin faltante, ciertos pronsticos a largo plazo, como el meteorolgico, suelen ser totalmente incorrectos. Gracias a esto, se demuestra que la ecuacin posee una extrema sensibilidad en las condiciones iniciales, los nmeros iniciales; tanto nmeros racionales como irracionales en la iteracin de las ecuaciones no lineales. Este fenmeno ocurre tambin en ciertos sistemas como los fluidos, dnde las condiciones iniciales definen el seguimiento del sistema. El sistema se puede representar a travs de diversos estiramientos y plegamientos en lo que viene siendo el espacio de fases. La ecuacin del crecimiento es un ejemplo de esto. Lo que viene pensndose ltimamente es que, aun teniendo un gran ordenador capaz de realizar iteraciones con muchsimos decimales, el clculo seguir siendo distorsionado al cabo de algunas iteraciones porque los nmeros irracionales tienen una infinita cantidad de nmeros decimales, por lo que se propone estudiar a los sistemas no como la suma de todas las partes, si no como uno solo, haciendo mediciones cualitativas y no cuantitativas. La informacin faltante es la que delinea el atractor extrao de las ecuaciones no lineales; esa informacin faltante se refleja a travs de los agujeros que se manifiestan en nuestro conocimiento, llegando a incluir nuestra lgica.</p> <p>CAPTULO 0: EN AMBOS LADOS/LADOS AMBOS EN Gracias a los descubrimientos de la no linealidad, una rama de las matemticas, la topologa, ha tenido numerosos avances. Esta rama se encarga del estudio de las formas y los cambios que pueden sufrir, ya sean estiramientos, doblamientos, en fin, distorsiones. Un cientfico llamado Smale trabajo sobre un sistema con sus intermitencias; gracias a sus clculos, logro definir la forma que llevara su nombre: herradura de Smale (una figura que sigue un ciclo de estiramiento, transformacin en forma de viga, curvatura en forma de herradura y de nuevo rectngulo). Al descubrir esto, tambin supo que todos los sistemas que sufren esas duplicaciones de periodos tienden al caos. Otro matemtico que trabajo en esto fue Ren Thom, quien se especializo en lo que son los cambios del sistema por factores externos, o comnmente llamados catstrofes. En base a sus investigaciones, determino topolgicamente 7 tipos de catstrofes elementales. Las ms bsicas tienden a figurar movimientos topolgicos simples, como un pliegue o una catstrofe cspide, dnde el sistema adquiere un comportamiento distinto despus de un valor crtico alcanzado. Uno de los aportes ms importantes para la ciencia del caos lo concibi un matemtico, llamado Benoit Mandelbrot, quien descubri del fractal. El fractal surge de una visualizacin distinta de la geometra euclidiana, tachando, por ejemplo, la idea de relacionar los elementos de la naturaleza con figuras geomtricas como el cono o el tringulo. Se basa en el principio de la autosimilitud. Los fractales se relacionan con el caos y con las formas naturales que no eran fcilmente medibles con la geometra euclidiana, como las lneas costeras o las formas de las piedras erosionadas. Con los fractales, se puede determinar formas tanto del tamao de una galaxia como del tamao de un alfiler. La forma de medicin de los fractales radica en la medicin de las dimensiones del sistema, por ejemplo, si tenemos la curva de Peano (una curva que llena todo el espacio y, representa al objeto unidimensional por ser curva y al objeto bidimensional por ser todo el plano), al poseer dos dimensiones, su grado fractal es de 2. Con este tipo de observacin, se retoma la medicin cualitativa, que viene siendo una medicin ms efectiva que la euclidiana (aplicndola sobre los lados de los fractales o de las lneas irregulares, como los lmites de ciertas islas). Los fractales se caracterizan por su infinita longitud, su infinita cantidad de detalles, su carencia de inclinacin y la autosimilitud, y se generan por procesos de iteracin. Esta es la razn por la que estn relacionados con los atractores extraos. Mandelbrot decidi realizar matemticamente su descubrimiento, plasmndolo en un ordenador a travs de un espacio de fases que abarca los nmeros complejos. El resultado fue un campo formado bsicamente por un atractor extrao, que se repite en menores escalas como un fractal. Familiarizndose con el fractal, se puede observar que estn po...</p>