Representations p-Adiques et Normes Universelles: I. Le Cas Cristallin

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Representations p-Adiques et Normes Universelles: I. Le Cas CristallinAuthor(s): Bernadette Perrin-RiouSource: Journal of the American Mathematical Society, Vol. 13, No. 3 (Jul., 2000), pp. 533-551Published by: American Mathematical SocietyStable URL: http://www.jstor.org/stable/2646118 .Accessed: 16/06/2014 18:25Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of the Terms & Conditions of Use, available at .http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp .JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range ofcontent in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new formsof scholarship. For more information about JSTOR, please contact support@jstor.org. .American Mathematical Society is collaborating with JSTOR to digitize, preserve and extend access to Journalof the American Mathematical Society.http://www.jstor.org This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/action/showPublisher?publisherCode=amshttp://www.jstor.org/stable/2646118?origin=JSTOR-pdfhttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsphttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jspJOURNAL OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 13, Number 3, Pages 533-551 S 0894-0347(00)00329-5 Article electronically published on March 13, 2000 REPRESENTATIONS p-ADIQUES ET NORMES UNIVERSELLES I. LE CAS CRISTALLIN BERNADETTE PERRIN-RIOU Soit p un nombre premier impair, K = Qp et soient Kn = Qp (/-tp-) le corps des racines pn-iemes de l'unite dans une cl6ture algebrique Qp de Qp, K,, la reunion des Kn et G,, = Gal(K,,/K). Soit une courbe elliptique E definie sur Qp. Si E(Kn) est le groupe des points de E definis sur Kn, la limite projective des E(Kn) pour les applications de trace a d'abord ete etudiee lorsque E a bonne reduction ordinaire par Mazur et Manin ([91, [10]), puis lorsque E a bonne reduction supersinguliere ([6], [16], [11]). Dans le premier cas, c'est un Zp[[GOl]]-module de rang 1, dans le second cas, il est nul. De maniere equivalente, dans le cas supersingulier, par la dualite locale de Tate, le groupe de cohomologie galoisienne HI (K, E(Qp)) = H1(Gal(Qp/K..), E(Qp)) est nul et en notant Epoo le groupe des points de torsion p-primaire de E(Qp), on a alors l'isomorphisme Qp/Zp O E(Koo) rv H' (Koo I Ep o) Des resultats de ce type ont ete etendus aux groupes formels ([16], [11]). Soit maintenant V une representation p-adique de GQP = Gal(Qp/Qp), c'est-a-dire un Qp-espace vectoriel de dimension finie muni d'une action lineaire et continue de GQp et soit T un Zp-reseau de V stable par GQP. L'analogue des E(K) ou plut6t du complete p-adique limnE(K)/pnE(K) a ete fourni par Bloch et Kato: pour * c {e, f, g}, ils construisent des sous-Qp-espaces vectoriels H* (K, V) du groupe de cohomologie galoisienne H1 (K, V) = H1 (Gal(Qp/K), V) et un Zp-module de type fini H* (K, T) comme l'image reciproque de H* (K, V) dans H1 (K, T). On a des inclusions H1 (K, V) C HI(K,V) C HI(K, V). La question suivante se pose alors: que peut-on dire de la limite projective des H* (Kn, T) que nous noterons Z,,* (K, T) ou, de maniere duale, que peut-on dire de la difference entre H1 (Ko, V/T) et HI- (Ko, V/T) oNu HI (Ko, V/T) est la limite inductive des Qp/Zp 0 H* (Kn, T)? C'est ce probleme que nous abordons ici. Nous prenons maintenant pour K une extension finie de Qp. Nous supposons desormais que V est une representation p-adique de Hodge-Tate, c'est-a-dire qu'il existe des entiers j tels que, si C( est le complete p-adique de Q?, on a la decomposition de Hodge-Tate de GK-modules Cp ? V _ ( Cp OK (Cp V(_i)) GK (i) iCEZ Received by the editors April 29, 1999 and, in revised form, January 10, 2000. 2000 Mathematics Subject Classification. Primary 11S20, 11R23, 11G25. (?)2000 American Mathematical Society 533 This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp534 BERNADETTE PERRIN-RIOU oiu W(i) designe le twist a la Tate W 0 Qp(i) (l'action de Galois est tordue par la puissance i-ieme du caractere cyclotomique X: G,, -- 7Z). Les nombres de Hodge-Tate sont alors les hj(V) = dimK(C p 0 V(_i))GK, les poids de Hodge-Tate sont les entiers j tels que hj (V) est non nul. Les trois 7p [[GOO]]-modules ZOO,* (K, T) sont essentiellement les memes: on a des inclusions Zoo,e (K, T) C ZOO,f (K, T) C Zoo, g(K, T) et le quotient Z00 ,g(K, T)/Zoo,g(K, T) est un Zp[[F]]-module de torsion annule par un produit de -y - Xk(-y) (pout -y un generateur de F) et trivial des que le facteur d'Euler n'admnet pas de racines du type pi avec j entier (autrement dit des que le Frobenius n'admet pas de valeur propre du type p3 sur le (p-module filtre associe a V). En particulier, les rangs des ZOO,* (K, T) sont tous les memes. Rappelons que Zoog (K, T) est un sous-Zp [[GO1]]-module de la limite projective Z1, (K, T) des modules H1(K, T), que le module de torsion de Zj (K, T) (en tant que Zp[[F]]-module avec F = Gal(K,,/Ki)) est isomorphe a TGK?? . Le sous-module de torsion de Zoog (K, T) se calcule aisement. Aussi, nous nous iite'ressons au quo- tient ZOO,g (K, V) de ZOO,g (K, V) = Qp ? Zoo,g (K, T) par son Q?p ? Zp [[F]]-module de torsion et meme plus simplement au rang de Zoog (K, T) comme 7p [[GO1]]-module ou plut6t au Zp[[F]]-rang des sous-espaces propres sous l'action de A = Gal(KI/K). Lorsque les poids de Hodge-Tate de V sont tous strictement positifs, on a Hg 1(Kn, V) = H1 (Kn, V). Donc, ZOO,g (K, T) est egal a Z, (K, T) = lim n H (Kn, T) et est donc un Zp[[GO1]]-module de rang [K: Qp] dim,Qp V. Lorsque les poids de Hodge-Tate sont negatifs ou nuls, l'espace tangent de V est nul et Zoog (K, T) est de torsion. Dans ces deux cas extremes, le probleme pose est donc vite resolu. Le premier cas qui a ete etudie est celui oiu la representation V est de Dabrowski- Panschiskhin (D-P), c'est-a-dire qu'il existe une sous-representation p-adique Fil' V de V telle que les poids de Hodge-Tate de Fill V sont tous strictement positifs et les poids de Hodge-Tate de V/ Fill V sont tous negatifs on nuls. C'est en particulier le cas lorsque V est une representation p-adique ordinaire, avec le cas encore plus particulier oiu V a un seul poids de Hodge-Tate. Proposition 0.1. Soit V une repre'sentation p-adique de D-P telle que VGKo = 0. Alors, ZOO,g(K, V) est isomorphe a Z, (K, Fill V). C'est un Qp ? Zp[[G1]] -module de rang [K: Qp] dimQp Fil' V = [K: Qp] Ej>o hj(V). Remarquons que [K: Qp] Z>0 hj (V) est aussi la dimension de l'espace tangent tv(K) de V sur K. Lors d'une discussion oiu je lui parlais d'un resultat partiel dans le cas oiu V est irreductible, Nekovar a propose la conjecture suivante: Conjecture A. Soit V une repre'sentation p-adique de GK de deRham. Soit Fill V la plus grande sous-repre'sentation p-adique de V dont les poids de Hodge-Tate sont strictement positifs. Alors, Z (K, Fill V) est contenu dans ZOO,g(K, V) et le conoyau est un Q?p 0 Zp[[F]]-module de torsion. Definition. On dit que V verifie (N) si V n'admet pas de sous-representation non triviale W telle que les nombres de Hodge-Tate de W soient tous strictement positifs. Le quotient V/ Fill V verifie la propriete (N). Par un argument de devissage, on montre facilement que la conjecture A est equivalente a la conjecture suivante: This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jspREPRESENTATIONS p-ADIQUES ET NORMES UNIVERSELLES 535 Conjecture A'. Soit V une repre'sentation p-adique de de Rham ve'rifiant (N). Alors Zoo,g(K, V) est un Qp 0 Zp[[F]] -module de torsion. Nous demontrons ici cette conjecture lorsque V est une representation p-adique cristalline. Theoreme 0.2. Soit K une extension finie non ramifie'e de Qp. Si V est une repre'- sentation p-adique cristalline de GK, Zc (K, Fill V) est contenu dans ZOO,g (K, V) et le quotient est un Zp[[F]]-module de torsion contenu dans (V/ Fill V)GKOO /(V/ Fil' V) GK On a ainsi une suite exacte 0 + Z,j(K,Fil' V) + Zoo,g(K,V) + (V/Fil' V)GKOO/(V/Fill V)GK Remarquons que les H' (Kn, V) sont a peu pres de dimension egale a la dimension de tv(Kn) = [Kn: K]tv(K). Par contre, Fill V est en general de dimension bien inferieure a la dimension de tv (K) et le rang de Z,og (K, V) est donc en general loin d'etre maximal. Le cas D-P est en fait tres particulier. Nous demontrerons ce theoreme sous la forme equivalente: Theoreme 0.3. Soit K une extension finie non ramifie'e de Qp. Si V est une representation p-adique cristalline de GK ve'rifiant (N), alors Z,,g (K, V) est de torsion sur Q?p 0 7p/[[F]]. Autrement dit, si V est une representation p-adique cristalline verifiant (N) et telle que VGK? = 0: 1) 11 n'existe pas de famille compatible (pour les applications trace) d'elements deH 1(KnIT); 2) par dualite, H1 (Koo , V* (1)/T* (1)) = He (Koo I V* (1)/T* (1)) Corollaire 0.4. Si V est une repre'sentation p-adique cristalline telle que VGKo= 0, le s ous-7/ -module de H' (K, T) des normes (traces) universelles d'6e'lments de H' (Kn, T) relativement a l'extension Koo/K est de rang [K: Qp] dim Fill V. Par dualite l'enonce 0.2 devient: Corollaire 0.5. Soit K une extension finie non ramifie'e de Qp et soit V une representation p-adique cristalline de GK telle que VGKoo 0. 1) Si V n'admet pas de repre'sentation-quotient dont les poids de Hodge-Tate soient tous ne'gatifs ou nuls, alors H, (K0,, V/T) = H1 (K0,, V/T) . 2) Soit W le plus grand quotient de V dont les poids de Hodge- Tate sont tous negatifs ou nuls et U l'image de T dans W. Alors, H1 (K, I V/T)/HI(K, I V/T) = He(Koo, W/U). En particulier, si V est la representation p-adique associee a une courbe ellip- tique, on retrouve que Z00,g (Qp, V) est nul lorsque V est cristalline (c'est-a-dire que E a bonne reduction en p) et irreductible (c'est-a-dire que E a reduction supersin- guliere). Plus generalement, soit Vf la restriction "a Qp de la representation p-adique sur ?Q attachee a une forme modulaire f = En>o an(f)qn de poids k de niveau pre- mier a p. C'est une representation p-adique cristalline de dimension 2. Pour preciser Vf, disons que ses poids de Hodge-Tate sont 0 et k - 1. La representation Vf est This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp536 BERNADETTE PERRIN-RIOU irreductible si et seulement si elle n'est pas ordinaire, c'est-a-dire si et seulement si ap(f) n'est pas une unite. On deduit du theoreme 0.2 le theoreme suivant: Theoreme 0.6. 1) Si ap(f) est divisible par p, ZOO,g(K, Vf(j)) est nul pour j < 0 et de ZpZ[[GOj]]-rang 2 pour j > 0. 2) Si ap(f) n'est pas divisible par p, ZOO,g(K, Vf (j)) est un ZpL[[G,,]]-module de rang 0 pour j < -k + 1, de rang 1 pour -k + 2 < j < 0 et de rang 2 pour j > 0. En utilisant les methodes standard, on peut deduire de ces resultats des conse- quences sur le rang du groupe de Selmer d'une representation p-adique d'un corps de nombres ayant bonne reduction absolue aux places divisant p. Nous ne le ferons pas ici. Le theoreme 0.2 implique le theoreme suivant: Theoreme 0.7. Soient K une extension finie non ramifie'e de Qp et V une repre'- sentation cristalline p-adique de GK . Par l'isomorphisme naturel de twist Z (K, V) -- Z (K, V(1)), l'image de ZOO,g (K, V) est contenue dans ZOO,g (K, V(1)). On peut bien suir conjecturer que cela reste vrai lorsque V est une representation de de Rham. Remarques. Une consequence facile par devissage du theoreme 0.2 est que la con- jecture A est vraie pour une representation p-adique de de Rham, extension d'une extension cristalline par une representation de de Rham de poids de Hodge-Tate strictement positifs. Par exemple, elle est vraie pour une extension semi-stable V de Qp par Q?p() (ce que l'on savait deja puisqu'il s'agit d'une representation ordinaire). On peut cependant construire des exemples un peu moins triviaux: Soit W une representation cristalline. I1 existe une extension V de ad(W)? par Qp(1) qui n'est pas cristalline. En effet les extensions de ad(W)? par Qp(1) sont classifiees par H1 (K, ad(W)? 0 Q?p(1)), les extensions cristallines sont clas- sifiees par HL (K, ad(W)? 0 Qp(1)) et les extensions semi-stables sont classifiees par HI(K,ad(W)0 0 Qp(1)). Comme p-1 est valeur propre de p sur Dp(ad(W)? 0 Qp(l)), il existe une telle extension V qui soit semi-stable et non cristalline. Le theoreme est alors vrai pour V. Calculons Fill V. Supposons que ad(W)? est irreductible. I1 est clair que Fill V contient Qp(l). S'il ne lui est pas egal, Fill V/Qp(l) a des poids de Hodge-Tate > 0 et l'extension Fil' V de Fil' V/Qp(l) par Qp(1) est necessairement triviale. Ce qui contredit l'irreductibilite de ad(W)?. Ainsi, Fil1 V = Qp (1) et ZOO,g (K, V) est de rang [K: Qp] et egal a Z,,,g (K, Qp(1)) modulo torsion. D'autre part, la representation V n'est pas de D-P car V/ Fill V a des poids positifs et negatifs. Disons un mot sur la demonstration. En utilisant la theorie de [13], on obtient une description complete de ZOO,g (K, V) en termes de fonctions analytiques. On est alors ramene a un probleme de nullite de fonctions analytiques verifiant certaines proprietes. Pour cela, on majore leur ordre et on minore le "nombre de zeros" afin d'aboutir a une contradiction. Dans la premiere partie, nous rappelons quelques faits simples et bien connus sur Z' (K, V) et nous demontrons les implications reliant les theoremes enonces dans l'introduction. Dans la deuxieme partie nous introduisons les techniques necessaires This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jspREPRESENTATIONS p-ADIQUES ET NORMES UNIVERSELLES 537 a la demonstration du theoreme 0.3. Dans la troisieme partie, nous traitons le cas ou V est de dimension 2. Dans la quatrieme partie, nous traitons le cas general. Nous prendrons maintenant pour K une extension finie non ramifiee de QP et Kn = K([pn). On note or l'homomorphisme de Frobenius de K. On fixe une representation p-adique V de GK qui soit cristalline. 1. THEPORIE D'IWASAWA CLASSIQUE 1.1. Sous-modules de torsion. L'application d'inflation (T GK? ) Gal(KoO /Kn ) -H1 (Koo /K, I TGKoO) -- H1 (K, T) induit un homomorphisme injectif de TGKoo dans Z' (K, T). On demontre que TGKo- est le module de Zp[[F]]-torsion de Z (K T) ([12]). Comme V est de Hodge-Tate et K non ramifiee sur Qp, VGKo- est isomorphe a Di(VGK_ (-i))GK (i) ([13, 3.4.3]). On deduit en particulier de ce fait que si VGKo est nul, il en est de meme de WGKoo pour toute sous-representation ou quotient W de V et que VGK = 0. Proposition 1.1.1. Le Zp[[F]]-module de torsion de ZO,,g(K,T) est isomorphe a VGKoo /VGK= -ioo(VGK (i))G K (i). De'monstration. Par definition de H' (Kn, T) (image reciproque de H' (Kn, V) dans H1 (KnI T)) , H 1 (KnI T) contient le sous-module de Z -torsion de H1 (Kn, T). Com- me HI (Koo/Kn ~i#00(VGKoo (_i))GK (i)) - 0, l'image de ~i#O(TGKOO (_i))GK (i) dans Z' (K, T) est contenue dans ZOO,g (K, T). I1 reste a regarder l'image de TGK rv lim H (K /Kn, TGK). On est alors ramene au cas de la representation triviale et a demontrer que I'application H1(K/KKn, Qp) -- H1(Kn?, Qp)/Hg(Kn, Qp) est injective. Or H'(Kn,Qp) s'interprete comme Homzp(Gal(Knr/K),(Qp) (oUi Knr est la plus grande extension non ramifiee de K) qui est d'intersection nulle avec Homzp(Gal(KOO/Kn), Qp) car KOO/K est totalement ramifiee. El 1.2. Montrons que le theoreme 0.3 implique le theoreme 0.2. Soit V' = Fil' V comme dans l'introduction et V" = V/V'. La representation V" verifie la condition (N). Donc ZOO,g(K, V") est de torsion. D'autre part, les poids de Hodge-Tate de V' sont strictement positifs. On en deduit que ZOO,g (K, V') = Zco(K, V') (on a en effet H (Kn, T') = H(Kn, T') pour tout entier n). D'autre part, comme V est de de Rham, la suite exacte 0 - T' - T - T" - 0 induit la suite exacte 0 -- T/GKn -+ TGKn -- T/GKn -- H (KnITI) -> HI(Kn,T) -> HI(Kn Tll) Par passage a la limite projective, les trois premiers termes sont nuls (pour n assez grand, les modules du type TGKn sont des Zp-modules de type fini stationnaires et l'application de corestriction est la multiplication par p). On obtient donc la suite exacte 0 - Zoo,g (K, V') Zoo,g (K, V) - Zoo,g (K, V") L'image de Zoo(K, V') dans Zoo(K, V) est contenue dans ZOO,g(K, V) et on a une suite exacte de 7p[[G,] ]-modules 0 + Z00(K, V') + Zoo,g (K, V) _ V/?GK?/VIIGK d'oiu le theoreme 0.2. This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp538 BERNADETTE PERRIN-RIOU Le dernier module contient l'image de VGKoo. Mais la fleche VGKo __ VIIGK,VIGK peut etre ou ne pas etre surjective. Je ne sais pas si ZOO (K, Fil' V) Zoo,g (K, V). 1.3. Montrons que le theoreme 0.2 implique le theor'ene 0.7. On utilise dans ce qui suit les modules filtres de Fontaine DdR(V). Remarquons que Filo DdR(Fill V) = 0. On a alors (Fill V)(1) C Fil'(V(1)): en effet, Filo DdR(Fil' V(1)) = Fil' DdR(Fil' V) c Filo DdR(Fil' V) = 0 . L'image de ZOO,g(K, V) - Z' (K, Fill V) est Z,, (K, Fil' V(1)) qui est contenue dans Z1 (K,Fill(V(1))) = ZO,,g(K,V(1)) (a torsion pres). On peut conjecturer que la conclusion du theoreme 0.7 reste vraie si l'on suppose seulement que V est une representation p-adique de de Rham. On montre de meme que c'est une consequence de la conjecture A. Reciproquement, si le theoreme 0.7 est vrai pour les representations de deRham et si la conjecture A est vraie pour les representations de deRham de poids de Hodge-Tate positifs ou nuls, la conjecture A est vraie pour toute representation p-adique de de Rham: On peut supposer que Fill V = 0. Soit u* - 1 le plus grand poids de Hodge-Tate de DdR(V). On peut supposer que u* > 1. Si u* = 1, la conjecture A est supposee vraie. Montrons l'assertion par recurrence sur uW. Posons W = Fill(V(1))(-1), c'est une sous- representation de V. L'image de ZOO,g(K, V) est contenue dans ZOO,g(K, V(1)) Z' (K, W(1)), ce qui signifie que Z00,g (K, V) est en fait contenu dans Zj (K, W) et meme dans ZO,,g(K, W). Or, Fill DdR(W) = Filo DdR(Fil'(V(1))) = 0, les poids de Hodge-Tate de W sont donc positifs ou nuls. Comme Fill W C Fil' V, Fil' W est nul. On deduit de nouveau que ZOOg (K, W) est de torsion. Ce qui implique la conjecture A. 1.4. Normes universelles. Supposons maintenant pour simplifier que VGKo= 0. I1 en est alors de meme de (V/ Fill V)GKo- et de (V/ Fill V)GK. L'application naturelle Z' (K,V)Gc - H1(K,V) est une injection ([13, 3.2]). On a alors le diagramme commutatif: Z41(K,FillV)G =Z1 4,g(K,V)Gc0 Z1(K-V)G H1(K, Fil' V) H1 (K, V). Le fait que (V/ Fill V)GK - 0 implique que la fleche d'en bas est injective, le fait que (V/ Fill V)GGKI = 0 implique que la fleche d'en haut l'est. On en deduit que le sous-espace de H1(K, V) forme des normes universelles relativement aux H' (K, T) (c'est-a-dire l'image de ZOO ,g(K, V)) est un Qp-espace vectoriel de di- mension [K: Qp] dim Fill V. 2. PRELIMINAIRES 2.1. Un lemme sur les fonctions analytiques. Soit 1 l'algebre des series formelles en une variable x a coefficients dans Qp convergeant sur le disque unite {x c CP tel que IxI < 1} oiu CP est le complete p-adique de Qp. Si p est un reel inferieur a 1, on note if liP = sup1xl=PIf(x)I = suplxlREPRESENTATIONS p-ADIQUES ET NORMES UNIVERSELLES 539 I1 existe un operateur continu lineaire Wo sur N tel que (p(l + x) = (1 + x)P. On verifie facilement que I,I(f) lP= If plPp pour p > p-l/(P-l). En particulier, si pn = p-p'(P-1) , on a I Iw,(f) IlP = I f lP1 Si r c R, on note Nr le sous-K-espace vectoriel de N forme des series F telles que la suite lpnrF I I pn est bornee. On definit alors o (F) (resp. D (F)) comme la borne inferieure (resp. le plus petit si cela existe) des reels r tels que la suite lpnrF Ip tende vers 0 (resp. soit bornee) avec n. Par exemple, 0(logr) = r. On pose NK = KO1t (resp. NK,r = K0(N r) et on etend Wo 'a K par ou-linearite. Lemme 2.1.1. Soient f et g deux e'le'ments de NK. On suppose que (,(f) (p(g) = g avec /t c K. Alors, D(f), resp. o(f), existe si et seulement si D(g), resp. o(g), existe et on a alors 0(f) =ordut + D(g), resp. o(f) =ordut + o(g) De'monstration. On a f n-I f i=O (f En prenant la norme p, on en deduit que pour tout entier n l f| P = Cpn ord ,u g D'oiu, I ipnsf I I = C Ipn(s-ord i)gl IP Par definition de D et de o, le lemme s'en deduit. El Soit +b l'operateur de Qp[[x]] tel que (pob(g) = p-1 E(,,p f (~(1+x)-1), prolonge par or -linearite a HK. Le noyau de fb sur Nr est canoniquement isomorphe a Nr (Goo) Ou Nr (Goo) = Zp [Gal(Ki /K)] 0 1r (Gal(Koo /Ki)) avec NHr(Gal(Koo/Ki)) ={ZEan(Y - 1)n avec EanXn C Hr} n n et -y un generateur topologique de Gal(K I/K1 )), l'isomorphisme Nr (Goo) + H'=` est induit par T F- T (1 + x) = (1 + x)X(T), nous le noterons h F-* h. (1 + x) (pour prolonger 'a N,(Goo), on montre que si fn,r est le polyn6me d'approximation de f modulo Hl"_0(X-i(YnYn - 1), la suite fn,r (1 + x) converge dans Nr et ne depend pas des choix; c'est par definition f. (1 + x)). L'operateur de derivation D sur N donne par D(g) = (1 + x)g' restreint "a HV`= correspond sur N(G,,) a l'operation de twist T F-4 X(T)T. Rappelons le lemme suivant ([13, 1.3]): Lemme 2.1.2. Soit f C Nr. Supposons que f( -1) = 0 pour toute racine de l'unite' d'ordre une puissance de p. Alors, il existe g c ,1- tel que f = glog(l+x). Nous dirons dans ce cas que f est divisible par log(l + x) (dans N). This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp540 BERNADETTE PERRIN-RIOU 2.2. Un lemme de determinant. Soit W un K-espace vectoriel de dimension finie d. Lemme. Soient gl, ..., gd des elements de 1tK OK W. On suppose que pour tout entier n, il existe une filtration decroissante exhaustive et separee Fil' Wn de Wn = Kn OK W avec Fill Wn = 0 telle que 1) les entiers hj = dimKn Fili Wn - dimKn Filj+1 Wn ne dependent pas de n; 2) pour tout entier j < 0 et toute racine de l'unite cn d'ordre pn, -3(g,)(n - 1) C Fili W3 Alors det(gl,... , gd) (calcule dans une base de W) est divisible par log-tH (1 + x) ol tH = E jhj est le degre de la filtration. Demonstration. I1 est clair que rj = dim Fili Wn ne depend pas non plus de n et on a hj = rj-rj+1. Posons F = det(gl,... ,gd). Fixons un entier n et ( une racine de l'unite d'ordre pn. I1 s'agit de demontrer que D2(F)(( - 1) = 0 pour tout entier i avec 0 < i < -tH. Or Di(F)( - 1) C E>i ki=j Ai=_ Fil Wn = Fil A Wn. Comme Ad Wn a un unique poids de Hodge tH, Di (F) est divisible par log(l + x) tant que j 1. Soit tN(Dp(V)) = Zrc( r dimK Dp (V)r oiu Dp(V)r est le sous-espace de Dp(V) stable par (o de pente r (cf. [8]), c'est le degre de Newton du (p-module filtre Dp(V). Le (p-module filtre Dp(V) est faiblement admissible au sens de Fontaine, ce qui signifie que 1) tH(Dp(V)) = tN(Dp(V)) 2) pour tout sous-p-module A de Dp(V), tH(A) < tN(A). De plus, si A est un sous-espace de Dp(V) stable par (o tel que tH(A) = tN(A), A est admissible, c'est-a-dire qu'il existe une sous-representation V1 de V telle que DP(VI) = ([4, 4 .5]). On dit que V verifie la propriete (Nj) pour un entier j si V n'admet pas de sous- representation W non nulle telle que Fit' Dp(W) = 0. Autrement dit, V verifie (Nj) si et seulement si V(j) verifie (N). En termes de p-modules filtres, V verifie (Nj) si et seulement si pour tout sous-p-module filtre non nul A de Dp(V) verifiant Filt A = 0, on a tH (A) < tN (A) (on dira aussi que Dp(V) verifie (Nj)). This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jspREPRESENTATIONS p-ADIQUES ET NORMES UNIVERSELLES 541 2.4. Comportement par produit tensoriel. Nous aurons besoin de resultats de Totaro sur le comportement des degres des p-modules filtres par passage au produit tensoriel ([17], voir aussi [15]). Si A est un p-module filtre non nul de dimension dA, posons A(A) = (tH(A) - tN(A))/dA. Soit c JR. On dit qu'un p-module filtre D est de pente < c (resp. < c) si pour tout sous-p-module filtre/ A non nul de D, on a A(A) < c (resp. A(A) < c). Ainsi, un p-module filtre faiblement admissible est un p-module filtre D de pente < 0 tel que A(D) = 0. Proposition 2.4.1 (Totaro). Soient Di pour i = 1,2 deux (p-modules filtre's de pente < ci. Alors D1 0 D2 est un (p-module filtre' de pente < cl + c2. Corollaire 2.4.2. 1) Soit D un (p-module filtr' de pente < c, alors Don et An D sont des (p-modules filtre's de pente < nc. 2) Soit D un (p-module filtre' de pente < 0, alors A n D est un (p-module filtre' de pente < 0. De'monstration de 2). On applique le 1) au sous-p-module filtre An D de Do3 en prenant pour c le maximum des A(A) pour A sous-p-module filtre non nul de D. Comme il y en a un nombre fini, c est strictement negatif. D] On peut reecrire le corollaire de la maniere suivante: si D est un p-module filtre tel que tH(A) < tN(A) pour tout sous-p-module filtre/ A non nul de D, alors pour tout entier v et tout sous-p-module filtre non nul A' de AV D, on a tH(A/) < tN(A'). 2.5. Mise en route de la demonstration. On pose IH(Dp(V)) = -u,.... u*- 1}. Soit J un sous-ensemble de IH(Dp(V)). On note Jc le complementaire de J dans IH(Dp(V)). Soit x c -H(Gco) 0 Z' (K, T). Definition 2.5.1. Soit * c {e, f,g}. On dit ici que x est (J,*)-convenable si la projection de x dans H1(Kn, V(k)) appartient a H*(Kn, V(k)) pour tout entier n > 0 et pour tout k C J. Si x est (J, g)-convenable, il existe un element f c Zp[[Goj]], non diviseur de zero, tel que fx soit (J, e)-convenable. Aussi suffit-il d'etudier les elements (J, e)- convenables. Nous devons rapidement rappeler la theorie de [13]. Nous y avons construit un homomorphisme v,, de 7H(Gc,)-modules N'=j 0KDp(V) >1R(Goo)jZ' (K, T). Grace a la loi explicite de reciprocite demontree par Colmez ([2], voir aussi [14, ?5]), on peut demontrer le theoreme suivant: on pose _logx(7y)-jy - - log+ y 3 log XQ(Y) log X(Y) ou 7y est n'importe quel element d'ordre infini de G(o. TheorZeme 2.5.2. Soit x c 7H(Gc,) 0 Z' (K,T). nl existe un e'le'ment ?(x) c R = K Dp(V) tel que Qv,u(L(x))= 7J L - x This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp542 BERNADETTE PERRIN-RIOU et on a o,p(L(x)) = o(x) + u* - 1 et D,C(L(x)) = 0(x) + u* - 1. Si de plus x est (J, e)-convenable pour J c IH(Dp(V)), il existe I2(x) de NK'OOK Dp(V) tel que Qv,C(Lj(x)) = j * x ijec et on a o,(g) = o(x) + u* - J- 1 et ,(g) = 0(x) + u* -J-1. On a bien sfur L(x) = HljcJIj ?J(x). Ici, o,(g) (resp. D,(g)) est la borne inferieure des reels r tels que la suite lprn(i 0 )-ngllpj,n tend vers 0 (resp. est bornee) lorsque n tend vers l'infini. On dit que g est 'a -support dans A si A est un sous-p-module de Dp(V) tel que g appartient a 7aH OK /A et que A est le p-support de g si A est le plus petit sous-p-module de Dp(V) verifiant cette propriete. Donnons les proprietes de g = ?i(x) (avec eventuellement J = 0). Soit G C 'HK OK Dp(V) tel que (1 - prD)(Dr(G)) = Dr(g) pour tout entier r avec = fp O fp (quitte a multiplier g par un element de Zp[[x]], G existe). Comme pour JC Jc, rn,(Qvu(g)) = 0 pour tout entier n > 0 ou 7r,j est la projection de 7-((Go) 0 Z1 (K,T) dans H1(KTh, V(j)), on en deduit par definition de Qv u que 90-n (D-i(G)(( - 1)) c Kn OK Filt Dp(V) pour toute racine de l'unite ' d'ordre pn avec n > 1 (~p est l'extension naturelle de 9p sur Q?p(bpn) &Q, Dp(V) Kn OK Dp(V)). De la relation D-I(G)(- - -1 -1)) = D-D(g)(- 1), on en deduit que pour tout entier n > 2, on a (n (Di(f)() - 1)) c Kn OiK Fili Dp (V) Ainsi, si x est (J, e)-convenable, pour tout entier n > 2 et j C Jc = IH(DP(V)) - J, les vecteurs o -n(D-i(g)((: - 1)) de Kn OK Dp(V) appartiennent a un sous- espace WnF = o(K = K OK n Fili Dp(V). Les Wn forment une filtration decroissante de Kn OK Dp(V) de poids de Hodge-Tate les hj(DP(V)). Si A est un sous-p-module filtre de Dp(V) et si g C OH"=o OK A, le resultat precedent reste valable en remplacant Dp(V) par A. On est alors amene a definir le module suivant de fonctions analytiques pour D un p-module filtre quelconque: Definition 2.5.3. Soient v un entier tel que IH(D) c -oo, ... , v] et J un sous- ensemble de IH(D). On pose A(r) (D) = {g C OH0= OK D t.q. pour n> 1 ,0p(g) < v + r, D -i (g) (n-1) C Kn OK (pn Fili D pour j < v, D-i(g)((an -1) = 0 pour j C J} . Lorsque v < 0, nous noterons A(r) (D) le sous-ensemble de 1HK OK D defini par les memes conditions (on ne suppose plus que fb(g) = 0, comme les entiers < v sont negatifs, il n'y a pas de problemes pour definir D-3(g)). Les cas particuliers suivants nous interessent particulierement (nous supposerons meme de plus ensuite This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jspREPRESENTATIONS p-ADIQUES ET NORMES UNIVERSELLES 543 que v = 0): Av(D) = A>() (D) - {g c -H=O OK D t.q. DO(g) < v et D-i(g)((,n -1) E Kn OK (p Fili D pour j < v et n > 1} et pour k C IH(D), Av,{k}(D) = {g C H= OK D t.q. pour n > 1 D(g) < v, D -3(g) ((n-1) c Kn K on Fili D pour j < v, D_ k(9)(n-1) = 0}. Remarquons que Av,(D) est stable par multiplication par un element de K 0 7p[[x]]. Les considerations precedentes donnent une description en termes de fonc- tions analytiques des elements de 1t(Goo) 0 Z (K, V) et plus particulierement des elements (J,g)-convenables. Posons A = Zp[[Gjo]. Si J c IH(Dp(V)), on note Z (K, V) le A-module des elements (J,g) convenables de Z' (K, V) et plus generalement (Ht(Goo) 0 Z' (K, V)) r le A-module des elements de 1t(Goo) 0 Z' (K, V) qui sont d'ordre < r et (J, g)-convenables (si J = 0, on le supprime de la notation). Prenons v = sup IH(Dp(V)). On a alors des isomorphismes (apres tensorisation par l'anneau total des fractions Frac(A) de A) induits par x -* ?(x) Z (K,V) Av(Dp (V)), Zclo j, g (K, V) Av , i (Dp (V) ) (NH(G ) 0 ZL (K V))(r) A(r)(D (V)) (7-H(Go) 0 Z (K, V))j(r) A(r) Plus precisement, si par exemple x c Z' j,g(K, V), il existe y3 C A tel que ?(i3x) C Av,J(Dp(V)). On peut deduire de ce qui precede la proposition suivante: Proposition 2.5.4. Soit V une repre'sentation p-adique cristalline de GK et soit v = supIH(Dp(V)). Soit k C IH(Dp(V)) tel que V ve'rifie la condition (Nk). Le the'oreme 0.3 pour V(k) est e'quivalent a la nullite' de Av,,{k}(DP(V)) Par torsion, on peut d'autre part se ramener au cas oiu v = 0, ce qui nous ferons de'sormais. 3. CAS D'UNE REPRESENTATION DE DIMENSION 2 Le cas de dimension 2 contient l'essentiel des arguments, aussi est-il interessant de le faire separement et independamment. On fixe une representation p-adique V cristalline irreductible de dimension 2 dont les poids de Hodge-Tate sont 0 et u > 0. On cherche a montrer le theoreme 0.3 pour la representation V(k) avec -u < k < 0. On pose D = Dp(V). Par la proposition 2.5.4, il s'agit de montrer que Ao{k}(D) = 0 (l'hypothese k > -u ne nous servira pas). This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp544 BERNADETTE PERRIN-RIOU 3.1. Montrons que si A est un sous-p-module strict de D, Ao (A) = 0. Soit g c A0(A) non nul. Alors, comme ,,0(g) < 0, g est d'ordre < r avec -r le poids de Newton de A. D'autre part, necessairement A est de poids de Hodge -u, ce qui implique que pour tout entier n, Di (g) (n - 1) = 0 pour toute racine de l'unite d'ordre pn et pour 0 < i < u - 1. Donc, g est d'ordre > u (en fait divisible par log'(I +x)), ce qui implique sa nullite car r < u (si r = u, la representation V n'est pas irreductible). Ainsi, si g c A4o(D) est non nul, son p-support est necessairement D. 3.2. Montrons maintenant que Ao0,{}(D) = 0. Soit g c Ao0,{}(D) non nul. Soit F le determinant de g et de ((g) dans une base de D. Quitte a passer au complete P de l'extension maximale non ramifiee de K, on peut choisir une base (el, e2) de P OK D = Dp telle que ei =- pri ei avec rl, r2 les poids de Newton de D et ecrire g = Ei giei. La condition que D,,0(g) < 0 implique que gi est d'ordre < -ri et donc que F est d'ordre < -rl - r2 = u. D'autre part, D'(F)((n - 1) est nul pour toute racine de l'unite d'ordre pn pour tout entier n et 0 < j < u - 1. Comme log(l + x) divise g, on verifie facilement que D' (F) (n - 1) est nul lui aussi pour toute racine de l'unite d'ordre pn pour tout entier n. On en deduit que F est divisible par log'+1(I + x) et qu'il est donc d'ordre > u + 1. Donc F = 0. On peut alors ecrire que D(g) = ag avec a appartenant au corps des fractions de 7HK. L'element a vaut pri'/v(gi)/gi avec i = 1 ou 2. Soit V = det(g,D(g)) calcule dans la base (el, e2). En utilisant de nouveau les proprietes de g relatives a la filtration et le fait que log(l + x) divise g, on verifie que V est divisible par log'(I + x), donc d'ordre > u. Etudions le comportement de V sous (. On a foV = p-rl1r2 det((D(g), ( (D(g))) p- W9glg2) det(g, D(g)) d'ou w(V) -1 W(9192) V glg2 En utilisant le lemme 2.1.1, on en deduit que -(V) = -1 + D(glg2) REPRESENTATIONS p-ADIQUES ET NORMES UNIVERSELLES 545 que, comme g C Ao,{k}(D), tous les D-k(JDn(g)) sont divisibles par log(l + x) et qu'il existe un entier v tel que les JDn(g) soient combinaisons lineaires a coefficients dans K 0 Frac(Zp[[x]]) des V%(g) pour i < v, ce qui donne beaucoup de relations entre les Di(JV(g)) pour j < -k et i < v et permet d'exprimer les DJ(JD(g)) pour O 2, Z (, ) (Dk -J(ai)Di(gl) + Dk -(bi)Di(g)) + Dk (ai)gi + Dk (bi) g '?g 0 j=1 ce que nous ecrirons k'-1 ,ajDiJ(gi) + bj Di(g) log -a a - big j=1 Ainsi, si H est la matrice colonne a 2(k' - 1) lignes (D(gi),.... )D -(gi), D(g).. D'-()t Cr la matrice colonne a r lignes ((-a-I'gi - bVg)i=2,...?,-+) et si Ar est la matrice (r, 2(k' - 1)) dont la i-ieme ligne (pour i = 2,.. , r + 1) est log)j=,.k'-1, (bi)j=l,.k'-i) on a Ar . H 'l Cr (les gi sont des vecteurs, mais le sens de ce qui precede est clair). De l'existence de Hr, on en deduit que si Br est la matrice de type (r, 2k' - 1) obtenue en juxtaposant Ar et Cr, le determinant J de la matrice carree B2k/1 est divisible par log(1+x). Par construction, J est de la forme Ug, +Vgo = UD(g) +Vg avec U et V appartenant a K 0 Frac(pI[[x]]). Supposons d'abord U et V nuls. Posons rO = 2k' - 1. Les determinants de (A2k'-1I (Dk' (ai))=2,...,ro+) et de (A2k'1, (Dk (bi))t.=2 ro+1) sont nuls. Soit s le plus petit entier tel que les s premieres lignes de A,.o ne soient pas independantes (il existe et est inferieur ou egal a k'). La s-ieme ligne s'exprime donc en fonction This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp546 BERNADETTE PERRIN-RIOU des s - 1 premieres: il existe des fonctions Ai tels que D{(bs = ZEj=2 AjD'(bj), D'(a,+i) = Zj-2 AjD'(aj) pour i = 1, ... , s. En derivant, on en de&duit que E{ =2 D(Aj)D'(bj) = 0, Zi=2 D(Aj)Di(aj) = 0 pour i = 1, .. , s - 1. Le rang de A,-, etant s - 1, on en de'duit que les D(Ai) sont nuls et donc que les Ai sont des constantes. D'oiu une relation du type Ei=2 Ajbj =-Al, { ZJ=2 Aj = Ao avec les Ai constants. Donc s+1 E Aj(i(g) = 0 j=O avec Ai c K. En appliquant un certain nombre de fois l'operateur fb et en utilisant le fait que fb(g) = 0, on en deduit que g = 0. Supposons maintenant U et V non tous deux identiquement nuls. Par construc- tion, ce sont des elements de FRac(Zp[[x]]). I1 existe un element S de Zp[[x]] tel que h = S(UD(g) + Vg) c 1HK OK Dp(V) soit divisible par log(I + x). I1 appartient en fait Na A0,{f}(Dp(V)) et est donc nul grace aux resultats de 3.2. On en deduit que g et 1(g) sont lies. On peut donc poser N(g) = ag. Un fois montre que a c K 0 Frac(Zp[[x]]), le merne raisonnement montre que g est nul. Pour cela, utilisons V = det(g, D(g)). Si V est nul, g = 0 et il n'y a rien a montrer. Si V est non nul, on verifie encore que V est d'ordre < u - 1 et divisible par log- I(x). Donc V = blog- I(I + x) avec b c K 0 Zp[[x]] non nul. D'ou 2 -U+1 ___b_ a = p 'o(b) C K 0 FRac(Zp[[x]]) b On conclut en utilisant le lemme suivant: Lemme 3.3.1. Soit a c Frac(H-K) tel que aN c K 0 FRac(Zp[[x]]) pour un entier N. Alors a c K FRac(pD[[x]]). De'monstration. Quitte a multiplier a par un element de Zp[[x]], on peut supposer que aN c K p [[x]]. Montrons d'abord que a c 'HK. A priori, a = a/ol avec oa et 3 c HK. Si p < 1, a et 3 sont convergentes sur le disque lxl < p, en particulier, 3 a un nombre fini de zeros. En utilisant le theoreme de preparation de Weierstrass sur le disque lxl < p, on en deduit que a s'ecrit dans ce disque al7/N1 avec B1 sans zeros. Donc 1//,3 est analytique sur lxl < p et il en est de meme de a. En faisant varier p, on en conclut que a appartient Na 1K. Alors Ilallp < (IlaNIIP)1/N < 1 est borne independamment de p < 1, ce qui implique que IIa 1 existe et donc que a E K& (8 p[[x]].F Cela termine la demonstration du theoreme 0.3 dans le cas d'une representation irreductible cristalline de dimension 2. This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jspREPRESENTATIONS p-ADIQUES ET NORMES UNIVERSELLES 547 4. DEMONSTRATION GENERALE On prend pour V une representation p-adique cristalline telle que IH(DP(V)) = {-u,... , 0}. I1 s'agit alors de montrer le theoreme pour V(k) avec -u < k < 0 lorsque Dp(V) verifie la condition (Nk): tout sous-p-module filtre/ A de D = Dp(V) tel que Filk A = 0 verifie tH (A) < tN (A). 4.1. Comme dans le cas de dimension 2, la premiere etape est de montrer le theoreme pour V et k = 0. Lemme 4.1.1. Soient A un (p-module filtre de pente < 0 tel que Fill A = 0 et g c Ao(A) tel que g et J?(g) soient lies sur le corps des fractions de NHK. Alors g =0. Demonstration. On peut supposer que A est le p-support de g. Posons D(g) = ag. Si les gi sont les composantes de g dans une base convenable de vecteurs propres de Ap, on a (gi) = agi. Soit V = g A ... A Dd-1l (g). On a D(V) = pdA(dA-l)/2adAV et o(V) = p-dA(dA-1)/2 1 ((gi) Donc, 0(V) < -tN (A) - dA (dA - 1)/2. Par le lemme 2.2, V est divisible par (log(l + x))-tH(A)-dA(d-l)/2 et est donc d'ordre > -tH(A) - dA(dA - 1)/2. Comme tH(A) < tN(A), V est nul. Les composantes de g dans une base de A sont donc liees sur K. Supposons g non nul et ecrivons g = 3,i givi oUi les v- forment un systeme libre de A et oiu les gj sont lineairement independants sur K. Le cardinal de I est strictement inf6rieur a dA. Soit A' le K-espace vectoriel engendre par les vi. Montrons que A' est stable par p. Dans le cas contraire, comme D(g) = E o(gi)Wo(vi) = a E givi c A iCI iCI il existerait des relations non triviales sur K entre les p(gi) et donc entre les gi. On en deduit que le p-support de g est strictement contenu dans A, ce qui contredit l'hypothese faite sur A. Donc g est nul. D] Lemme 4.1.2. Soit A un so-module filtre tel que Fill A = 0 et de pente < 0. Alors, Ao((A) est nul. Demonstration. Soit g c Ao(A), non nul. On peut supposer que le W-support de g est A. Soit F = g A ... A bd -l(g). C'est un element de Ao(AdA A) qui est d'ordre < -tN(A) = -tN (Ad/ A) et d'ordre > -tH (A), par le lemme 2.2. Comme tH (A) < tN (A), F est nul. Soit v le plus petit entier tel que (g, (g),... ., v-1l(g)) forment un systeme libre sur IC. Posons f = g A 4(g) A ... A v-l(g). I1 est non nul et verifie (D(f) = af avec a dans le corps des fractions de 1HK. La proposition 2.4.1 implique que le (-support A' c Av A est de pente < 0. I1 verifie donc les hypotheses du lemme 4.1.1 (avec A remplace par A'). Donc, f = 0, ce qui contredit la definition de f. D] This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp548 BERNADETTE PERRIN-RIOU 4.2. Soit maintenant g un element de A0,foo (D). Nous allons construire un nou- veau p-module filtre D tel que D soit de pente < 0 et tel que g c Ao (D). En utilisant le lemme 4.1.2, on en deduira que g = 0, ce qui demontrera le theoreme 0.3 pour V. Notons D le p-module D muni de la filtration suivante: Eu3 D {Fili D si j < 0, o sij > 0. On a donc hj(D) si j < -1, hjD h (= D) + ho(D) si j = -1, hj (D) sij > 0. On a tH(D) = tH(D) - ho(D). On en deduit que tH(D) < tN(D) puisque ho(D) est suppose non nul. De plus, pour tout sous-p-module filtre/ A de D, soit ho(A) ; 0, soit tH (A) < tN (A). Donc dans tous les cas, tH(D) < tN(D) et D est de pente < 0. D'autre part, comme par hypothese g((n - 1) = 0 pour tout entier n, g appartient "a Ao (D). Remarques. 1) La meme demonstration convient pour V(-k) si k est un poids de Hodge-Tate de V: on considere pour D = Dk le p-module D muni de la filtration suivante: (Fili D si j< k, FiliD = Filk+l D si j = k, (Fili D si j > k. On a donc Jhkl(D)+hk(D) sij k. De nouveau, g c Ao(Dk) et Dk est de pente < 0. 2) La meme demonstration montre que A(") (D) est nul pour E < 0 (on change alors la pente de Newton). Ainsi, un element g de Ao (D) soit est nul soit verifie 0(g) = 0. 4.3. Prenons maintenant k < -1 quelconque, V verifiant la condition (Nk). Lemme 4.3.1. On suppose que V ve'rifie (No). Alors Ao,{k}(Dp(V)) = 0. Nous demontrerons ce lemme plus tard. On en deduit le corollaire suivant: Corollaire 4.3.2. Soit W la plus grande sous-repre'sentation de V telle que Filo Dp (W) = 0 Alors A0,{k} (Dp(W)) = A0,{k} (Dp(V)). This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jspREPRESENTATIONS p-ADIQUES ET NORMES UNIVERSELLES 549 Deduisons-en que si V verifie (Nk), alors Ao,{k}(Dp(V)) = 0. On raisonne par recurrence: pour toute representation W verifiant Fill Dp(W) = 0, de dimension strictement inferieure a la dimension de V et verifiant (Nj) pour un entier j < 0, Ao,fjl(Dp'W)) = 0. Si V verifie (No), le lemme 4.3.1 permet de conclure. Sinon, soit W la plus grande sous-representation de V telle que FilE Dp(W) = 0. Elle est de dimension < dim V et on a par le corollaire 4.3.2 Ao,{k}(Dp(W)) = Ao,{k}(Dp(V)). Si kw est le plus grand entier tel que Filkw Dp(W) 78 0, on a necessairement k < kw car V verifie (Nk) et W verifie encore (Nk). Par hypothese de recurrence, Ao,{k}(Dp(W)) = 0, ce qui termine la demonstration. De'monstration du lemme 4.3.1. On suppose que V verifie (No). Soit g un element de Ao,{k}(Dp(V)) suppose non nul. Soit A son p-support. Si A n'est pas faiblement admissible (par exemple si FilE A = 0), A est de pente strictement negative et on peut appliquer le lemme 4.1.2 pour en deduire que g est nul. Supposons maintenant que A est faiblement admissible et que Filo A :\- 0. I1 verifie encore la condition (No). On a donc Ao,{j} (A) = 0. Soit v le plus petit entier tel que g, . . . , (V(g) forment un systeme lie. On a donc (V(g) = E'-= a, (i) i(g). On pose alors v-1 bn(g) = an (iDi (g) i=O pour tout entier n > v. Lemme 4.3.3. Les an(i) appartirennent a K 0 Frac(Zp[[x]]) pour i = O, ... , v -1 et n > v. Demonstration. I1 suffit de le demontrer pour n = v. Soit Fi = g A ... A (i(g) A ... A bvg pour i = 0,... ,v, le terme surligne etant omis. On a Fi = ?av(i)Fv pour i = O, ... , v-1. Par definition de v, Fv est non nul. Soit A' le p-support de F dans Av A . Posons Vi = detA, (Fi, D(Fi), . . . , Dd& -l (Fi)). Alors, on verifie comme en 3.2 que Vi = (log(l + x))-tH(A')-dA(dA-l)/2Bi avec Bi c K (0 Zp[[x]]. Si Bi est nul, Fi est nul, ce qui implique que av (i) est nul. Si Bi est non nul, en appliquant D, on obtient ?p*av(i)dA/ =- p(Bi)/Bi donc av(i)dAI c K 0 Frac(Zp[[x]]) et par le lemme 3.3.1, av(i) appartient a K 0 Yac(Zp[[x]]), ce qui demontre le lemme. El Posons pour simplifier gi = V%(g) pour i > 0 et k' = -k. Tous les Dkl (gj) sont divisibles par log(l + x). Si on derive k' fois la relation donnant gi, on en deduit que pour tout entier i > v, v-1 kl-l kl v-1 Ef E (1 )Dkiu(ai(1))Di(gl) +EDk (ai(1))gjlOg0, 1=0 j=l 1=0 ce que nous ecrirons v-1 k'-1 v-1 aj a(l)Di (g) 'og - E a()kgi 1=0 j=l 1=0 This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp550 BERNADETTE PERRIN-RIOU Donc, si H est la matrice colonne a v(k' - 1) lignes transposee de ((D(gi),... ,Dk (g))1=0,...,v-i) Cr la matrice colonne a r lignes ((iv-' ak'(l))=v... r?v1) et si Ar est la ma- trice de type (r, v(k' - 1)) dont la i-ieme ligne (pour i = v, ... , r + v - 1) est (((a2(f.))j -1)=oC. v-1), on a Ar H ' Cr. De l'existence de Hr, on en deduit que si Br est la matrice de type (r, v(k' - 1) + 1) obtenue a partir de Ar et Cr, le determinant J de la matrice carree Bv(k1-1)+? est divisible par log(l + x). Par construction, J est de la forme Ev-1 U(f)g, = e U(Ev I1(g) avec les U(l) c K 0 Frac(ZI[[x]]). Supposons d'abord que les U(f) ne sont pas tous identiquement nuls. Par cons- truction, ce sont des elements de K 0 FRac(Zp[[x]]). On a donc trouve (quitte a le multiplier par un element de Zp[[x]]) un element de 1HK OK A divisible par log(l + x). I1 appartient en fait "a A0,{o} (A) et est nul. On en deduit que les J (g) pour f = 0, ... , v - 1 sont lies ce qui est contradictoire avec l'hypothese faite sur v. Donc tous les U(f) sont nuls. Posons ro = v(k' - 1) + 1. Cela signifie que les determinants de (Ar0, (Dk (ai))t,=V.... ,r0+V-1) et de (Aro, (Dk'(bi))t v=...,ro+v-1) sont nuls. Soit s le plus petit entier tel que les s premieres lignes de Aro ne soient pas independantes (il existe et est inferieur a k'): il existe des fonctions Ai tels que s+v-2 Di (as+v_l (f)) = Aj Di(aj (f) j=v pour i = 1,... ,s et pour f = 0, .. ., v- 1. En derivant, on en deduit que s+v-2 E D(Aj)D'(aj (f)) = o j=v pour i= 1,...,s- et pour f = 0,... ,v-1. Le rang de A,-, etant s-1, les D(Aj) sont nuls et les Aj sont des constantes. D'oiu une relation du type s+v-2 E Ajaj(f) =-At j=v pour f = 0, .. ., v - 1 avec les Ai constants. On en deduit que s+v-2 5 Ai (g) - o j=O avec Ai c K. Cela n'est pas possible: en appliquant un certain nombre de fois l'operateur fb et en utilisant le fait que fb(g) = 0 par exemple, on en deduit que g = 0. D'oiu le lemme 4.3.1 LI REFERENCES 1. J. Coates et R. Greenberg, Kummer theory for abelian varieties over local fields, Invent. Math. 124 (1996), 129-174. MR 97b:11079 2. P. Colmez, Theorie d'Iwasawa des representations de de Rham, Annals of Math. 148 (1998), 485-571. CMP 99:07 3. B. Dwork, G. Gerotto et F. J. Sullivan An introduction to G-functions, Annals of Math. Studies 133 (1994). MR 96c:12009 This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jspREPRESENTATIONS p-ADIQUES ET NORMES UNIVERSELLES 551 4. J.-M. Fontaine, Modules galoisiens, modules filtres et anneaux de Barsotti- Tate, dans Journees de Geometrie algebrique de Rennes (III), Asterisque 65 (1979), 3-80. MR 82k:14046 5. M. Hazewinkel, On norm maps for one dimensional formal groups I: the cyclotomic I`- extension, J. Algebra 32 (1974), 89-108. MR 50:2185 6. M. Hazewinkel, On norm maps for one dimensional formal groups II: F-extensions of local fields with algebraically closed residue field, J. reine angew Math. 268/269 (1974), 222-250. MR 55:12732 7. M. Hazewinkel, On norm maps for one dimensional formal groups III, Duke Math. J. 44 (1977), 305-314. MR 55:12733 8. N. Katz, Slope filtration of F-crystals, Journees de Geometrie algebrique de Rennes, Asterisque 63, Soc. Math. 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Totaro, Tensor products in p-adic Hodge theory, Duke Math. J. 83 (1996), 79-104. MR 97d:14032 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES, UMR 8628 DU CNRS, BAT 425, UNIVERSITE PARIS-SUD, F-91405 ORSAY CEDEX, FRANCE E-mail address: bprQgeo .math .u-psud. fr This content downloaded from 91.229.229.111 on Mon, 16 Jun 2014 18:25:50 PMAll use subject to JSTOR Terms and Conditionshttp://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jspArticle Contentsp. 533p. 534p. 535p. 536p. 537p. 538p. 539p. 540p. 541p. 542p. 543p. 544p. 545p. 546p. 547p. 548p. 549p. 550p. 551Issue Table of ContentsJournal of the American Mathematical Society, Vol. 13, No. 3 (Jul., 2000), pp. 467-695Front MatterSemi-Invariants of Quivers and Saturation for Littlewood-Richardson Coefficients [pp. 467-479]Asymptotics of Plancherel Measures for Symmetric Groups [pp. 481-515]Criteria for -Ampleness [pp. 517-532]Reprsentations p-Adiques et Normes Universelles: I. Le Cas Cristallin [pp. 533-551]Generalized Group Characters and Complex Oriented Cohomology Theories [pp. 553-594]Explicit Quantization of Dynamical R-Matrices for Finite Dimensional Semisimple Lie Algebras [pp. 595-609]A Point Set Whose Space of Triangulations is Disconnected [pp. 611-637]A New Proof of the Howe Conjecture [pp. 639-650]Syzygies of Abelian Varieties [pp. 651-664]The Size of the Singular Set in Mean Curvature Flow of Mean-Convex Sets [pp. 665-695]Back Matter

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