Problemas de propiedades de logaritmos Expresa como un solo logaritmo a 3 3 3 3 3 1 1 log 5 2log log 3log log 2 4 − − + +x y z w Solucin: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 1 1 3 24 2 3 3 3 3 3 3 24

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    12-Feb-2018

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  • Problemas de propiedades de logaritmos

    1) Simplifica 24ln( ) lnx

    exx

    +

    Solucin:

    24ln( ) lnx

    exx

    +

    112

    2 4

    1

    22

    2

    2

    ln( ) ln( )

    1ln( ) ln( )

    4

    1 1ln (ln ln )

    2 4

    1 1 1ln ln ln

    2 4 4

    1 1 2ln ln

    2 4 4

    1 1 1ln ln

    2 4 2

    1

    4

    xex

    x

    x ex

    x e x

    x e x

    x x

    x x

    = +

    = +

    = + +

    = + +

    = + +

    = + +

    =

    2) Expresa como un solo logaritmo, 2log( 1) log

    3 2

    x x+ =

    Solucin:

    2

    2

    1 1

    2 3 2

    3 2

    3 2

    log( 1) log

    3 2

    1 1log( 1) log

    3 2

    log( 1) log

    log 1 log

    1log

    x x

    x x

    x x

    x x

    x

    x

    +

    = +

    = +

    = +

    +=

    3) Expresa como un solo logaritmo, 2 2 2 2log (3 ) log 3 4log log ( )x x xy + =

    Solucin:

    2 2 2 2

    2 2 2 2

    4

    2 2 2 2

    4

    2 2

    5

    2

    4

    2

    log (3 ) log 3 4log log ( )

    log (3 ) 4 log log 3 log ( )

    log (3 ) log (log 3 log ( ))

    log (3 ) log (3 )

    3log

    3

    log

    x x xy

    x x xy

    x x xy

    xx xy

    x

    xy

    x

    y

    +

    = +

    = + +

    =

    =

    =

  • 4) Si log 2 .30b = y log 3 .48b = halla log 216b

    Solucin:

    3 3

    log 216

    log 27(8)

    log 27 log 8

    log 3 log 2

    3log 3 3log 2

    3(.48) 3(.30)

    1.44 .90

    2.34

    b

    b

    b b

    b b

    b b

    =

    = +

    = +

    = +

    = +

    = +

    =

    5) Expresa como una suma de logaritmos a 23ln x y =

    Solucin:

    ( )( )

    23

    1

    2 3

    2

    2

    1

    2 2

    ln

    ln

    1ln

    3

    1(ln ln )

    3

    1 1ln ln

    3 3

    2 1 1ln ln

    3 3 2

    2 1ln ln

    3 6

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    =

    =

    = +

    = +

    = +

    = +

    6) La venta anual de autos est dada aproximadamente por ( ) 1.66 1.91lnf t t= + en millones de

    autos vendidos donde 1t = corresponde a el ao 2001.

    a) Cuntos autos se vendern en 2007?

    b) En que ao se llegar a 6 millones de autos vendidos?

    Solucin:

    a) En el 2007 se vendern aproximadamente

    (7) 1.66 1.91ln 7 1.66 1.91(1.95)

    1.66 3.72 5.38

    f = + = +

    = + =

    b) Hallar el valor de t para el que ( ) 6f t =

    2.27

    1.66 1.91ln 6

    1.91ln 4.34

    4.34ln 2.27

    1.91

    9.67

    t

    t

    t

    t e

    + =

    =

    = =

    =

    Aproximadamente en el ao 2010.

  • 7) Expresa como un solo logaritmo a 3 3 3 3 31 1

    log 5 2 log log 3log log2 4

    x y z w + +

    Solucin:

    ( ) ( )

    3 3 3 3 3

    1 1

    3 24 23 3 3 3 3

    3 243 3

    3 4

    3 2

    1 1log 5 2log log 3log log

    2 4

    log 5 log log log log

    log 5 log

    5log

    x y z w

    z w x y

    z w x y

    z w

    x y

    + +

    = + + +

    =

    =

    8) Expande como una suma de logaritmos a 2

    3log

    x y

    y

    Solucin:

    ( )

    ( ) ( )

    12 12 2 33 2

    3

    2 2

    2

    log log log log log

    1 1 1 1log log log log log

    2 3 2 3

    1 1 1 1log log log log log

    2 2 3 6

    x yx y y x y y

    y

    x y y x y y

    x y y x y

    = =

    = = +

    = + = +

    9) Cul de las siguientes frmulas no es cierta?

    a) ( )ln ln lnxy x y= +

    b) ( )ln ln lnx y x y =

    c) ln lnnx n x=

    Solucin: b) no es cierta

    10) Simplifica a ( ) ( )2 22 2 2log 2 2 2log log 2 2x x x+ + + +

    Solucin:

    ( ) ( )( )( )

    2 2

    2 2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2 22 2

    log 2 2 2log log 2 2

    2 2 2 2log

    2 2log log log 1 0

    x x x

    x x

    x

    x x

    x x

    + + + +

    + + + =

    + = = = =

  • 11) Si ( )2log 5 3 3x + = Cunto es x?

    Solucin:

    ( )2log 5 3 32 2

    5 3 8

    5 5

    1

    x

    x

    x

    x

    + =

    + =

    =

    =

    12) Expande a 2

    3 3

    9log

    x x y

    y

    +=

    Solucin:

    ( )

    2

    2 3

    3 3 3 3 33

    3 3 3

    9log log 9 log log log

    12 2log log 3log

    2

    x x yx x y y

    y

    x x y y

    += + + +

    = + + +

    13) 2 2

    8log 8

    x y+ =

    Solucin:

    2 22 2

    8log 8

    x yx y

    + = +

    14) Simplifica 1

    3ln ln2

    x x =

    Solucin:

    ( )213ln ln 3ln ln 2 ln ln2

    ln

    x x x x x x

    x

    = = =

    =

    15) ( )100log .01 =

    a) 2

    b) 1

    c) 1

    d) no est definido

    Solucin:

    d) no est definido

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