POLOS Y CEROS EN EL PLANO s - .POLOS Y CEROS EN EL PLANO s Manipulando polos y ceros de función

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  • POLOS Y CEROS EN EL PLANO s

    Manipulando polos y ceros de funcin en plano s puede disearse un circuito con una determinada Z Y.

    Ejemplo: red entre dos etapas de un amplificador.

    I que fluye de la 1 a travs de esta red produce U aplicada a la 2 (corriente de entrada a la 2 despreciable)

    Se busca igual amplificacin desde frecuencia 0 hasta lmite superior (impedancia inter-etapa debe ser igual a todas las frecuencias).

    La inevitable C entre etapas resulta:

    Z(s)= 1/sC (polo en origen)( c ) sera el perfil a lo largo de de una hoja de fina goma sobre s

  • Caracterstica de lZl es incompatible con el objetivo.

    Cmo modificarla?Cmo mover este polo?

    C tiene impedancia infinito a f=0 pero R no. Se prueba con R en paralelo con C.

    RCsCsC

    R

    sZ 111

    11)(

    +=

    += polo en s1=-1/RC

    El plano por no corta en infinito la banda de goma. El polo slo produce impedancia finita en f=0 y a frecuencias superiores el decrecimiento es ms suave.

    Para compensar decrecimientopolo 2cuadrante(e inevitable conjugado)?

  • Sugiere circuito RLC. Se prueba con L en paralelo con C y R.

    Estos polos se acercan o alejan al eje verical variando R y hacia arriba o abajo ajustando L.

    Pero se introdujo un cero en el origen (porque L resulta cero a corriente continua, f=0).

    Una alternativa es poner R en serie con L.

  • El cero ya no est en el origen sino en R/L.

    Al estar a la izquierda de los polos, el efecto de depresin resulta leve al hacer seccin de Z(s) a lo largo del eje .

    El lmite superior de la banda de impedancia relativamente constante es algo superior a la frecuencia natural de la red inter-etapa.

    Valores numricos didcticos para figura (k): L=2H, C=2F, R=1 ohm

    Resulta: so=-1/2 s1,2= (-1+-j SQRT3)

  • Se puede aplanar ms la caracterstica agregando otro capacitor, separado del anterior para crear nuevo polo.

  • CAMBIO DE ESCALA

    La sntesis como mostrada, resalta el valor de la tcnica de ESCALADO.

    Permite disear con la caracterstica apropiada pero dimensionesincorrectas, y luego adaptarlas.

    En nuestro ejemplo puede adaptarse tanto impedancia como frecuencia.

    CAMBIO DE ESCALA DE IMPEDANCIA

    Los elementos tienen impedancias R, sL, 1/sC y cualquier impedancia de red ser su combinacin lineal. O sea que si se multiplican todas las R, L y 1/C por la misma constante el efecto ser multiplicar la impedancia Z(s) por esa constante.

    Multiplicando cada R y L por un factor m y dividiendo cada C por m:

    Z(s)mZ(s)

    P.ej. Si se multiplican por 2 los elementos de la fig.(j) los polos y ceros no cambian, pero el eje vertical de fig (l) queda multiplicado por 2.

  • CAMBIO DE ESCALA DE FRECUENCIASi se quiere cambiar la frecuencia en factor n, como los elementos tienen impedancias R, jL, 1/jC se multiplica la frecuencia por n, L y C se dividen por n y los valores de R quedan iguales. Las impedancias que tena cada elemento a la frecuencia no vara pero queda a una frecuencia n.Si en la fig (j) se divide por 2 cada L y cada C las escalas de las componentes real e imaginaria de s1 y s2 en (k) se duplicaran y al dividir por 2 L y C las impedancias se mantienen, pero al doble de la frecuencia.

    RESUMEN EN NOTACION FUNCIONAL

    Escalado de impedancia:

    Escalado de frecuencia:

    Escalado combinado:

    ),,,(,,, sCLRmZsmCmLmRZ =

    ),,,(,,, sCLRZnsnC

    nLRZ =

    ),,,(,,, sCLRmZnsmnCL

    nmmRZ =

  • APLICACION

    Un probable caso de dos pares de polos y un cero.

    La forma de la interseccin de la lmina elstica depende de muchos factores.

    Dara lugar a una amplificacin relativamente uniforme en una banda de frecuencias, decayendo rpidamente para superiores e inferiores.

  • TRANSMISION: IMPEDANCIA IMAGEN

    Limitaremos la explicacin a redes simtricas.

    Si se caracteriza una red de dos puertos por parmetros A, B, C, D y por ser simtrica A=D:

    V1= A V2 + B I2

    I1 = C V2 + D I2

    La impedancia de entrada es Z1 = V1/I1

    La impedancia externa conectada a la salida Z2 = V2/I2

    El valor de Z1 depende de Z2 y cambiar Z2 modifica Z1.

    La Z2 que produce Z1=Z2 se llama impedancia imagen y se designa Z0.

    Para una red terminada en su impedancia imagen: Z1=Z2=Z0

  • Puede obtenerse a partir de los parmetros A,B,C:

    ACZBAZ

    AIICZBIIAZ

    AICVBIAV

    IVZ

    ++

    =++

    =++

    ==22

    222222

    2222

    111

    Para la impedancia imagen: ACZBAZZ

    ++

    =000

    Resolviendo para Z0:CBZ =0

    Suele expresarse tambin en trminos de la impedancia de cortocircuito (Z1cc) y de la impedancia de circuito abierto (Z1ab):

    ccZabZZ 1.10 =

  • FUNCION TRANSFERENCIA IMAGEN

    Cuando una red simtrica de dos puertos termina en su impedanciaimagen, se simplifican muchas relaciones. Como:

    I2=V2/Z0 y

    V1=A V2 + B V2/Z0

    Dividiendo por V2 y sustituyendo hallamos la funcin transferencia:

    BCAVV

    +=21

    Como BC=AD-1 y D=A resulta BC=A2-1

    121 2 += AAVV

    Hacemos dos cambios basados en frmulas de trigonometra hiperblica:

    senhxxexsenhx

    x +=

    =

    cosh1cosh2

  • Se introduce un smbolo arbitrario (gama) definido por:

    Con lo cual

    A=cosh

    12 = Asenh

    senhVV

    += cosh21

    eVV

    =21

    Sustituyendo:

  • FILTROS ELECTRICOS

    Segn American Standards Association (ASA): es una red selectiva que transmite libremente ondas elctricas con frecuencias dentro de una o ms bandas y que atena sustancialmente ondas de otras frecuencias.

    Los circuitos resonantes podran clasificarse como filtros con gran selectividad:, lo que es bueno p.ej. para extraer una frecuencia de radio del poblado eter pero indeseable cuando quiere transmitirse una banda de frecuencias ms altas.

    La excesiva selectividad por ejemplo puede reducir la fidelidad en la reproduccin de msica.

  • FILTRO IDEAL

    Se muestra como red de 2 puertos entre fuente de impedancia RF y carga RL

    Transmite libremente frecuencias en su banda de paso y bloquea las frecuencias en su banda de atenuacin.

    El filtro ideal estara compuesto de elementos reactivos, para no disipar la energa que se quiere transmitir a la carga.

    La seal transmitida por un filtro ideal debera recibirse sin distorsin.

    Esto requiere las relaciones de fase adecuadas entre sus armnicas.

    Altamente importante para transmisin de imgenes, no para sonido pues el odo no distingue la fase relativa de componentes de onda.

  • DISEO EN BASE A PERDIDA DE INSERCION

    V2: tensin en la carga con el filtro

    V0: la tensin en la carga antes de insertar el filtro, con la misma E

    Relacin de insercin de tensiones = V2/V0

    Relacin de insercin de potencias= (V2/V0)2

    En filtro ideal V2/V0 debera ser 1 en en la banda de pase y lo ms pequeo posible en la banda de atenuacin.

    Se muestra curva ideal y real de filtro pasabajos y probables polos y ceros:

    El diseo depende fuertemente de RF y RL y se simplifica si pueden tomarse iguales a la impedancia imagen.

  • DISEO PARA ATENUACION IMAGEN

    Es un mtodo simple.

    Si el filtro termina en su impedancia imagen Z0:

    La cada de tensin de insercin ser igual a la atenuacin del filtro

    V1=V0 y

    V2/V1=V2/V0

    Se trabaja con la funcin transferencia imagen: V1/V2=e

    Es la recproca de la mostrada en la figura.

  • Si pensamos en lV2/V1l como superficie sobre el plano s la curva es el perfil a lolargo del eje .

    La caracterstica del filtro ideal puede conseguirse si se asume que la red del filtro no termina en una impedancia fija sino en una impedancia imagen Z0 que vara con la frecuencia.

    Es irreal porque requerira cambiar la impedancia para cada frecuencia pero facilita el tratamiento matemtico y puede verse cmo no se aparta demasiado de la realidad (ver Skilling, Electrical Engineering Circuits, Cap 19).

    La lmina de goma que dara lugar a la forma deseada:

  • Se demuestra que puede llegarse a este tipo de relaciones mediante el uso de redes T :

    Era:

    Para los circuitos T y y sustituyendo por los valores de la figura:

    y reemplazando:

    121 2 += AAVV

    LCsZYA 2211

    211 +=+=

    1)211()

    211(

    21 222 +++= LCsLCsVV

  • que si se designa como c2=4/LC

    2

    2

    2

    121

    ++=

    CC

    ssVV

    y reemplazando s por j:

    Donde para valores de menores que C el radical es real y V1/V2 es un complejo con mdulo:

    1121

    2

    2

    2

    2

    2

    =

    +

    =

    CCVV

    o sea que para esas frecuencias lV2l = lV1l

    Esta ser la banda de pase y ser un filtro pasabajos con frecuencia de corte c.A frecuencias superiores, el radical es raz de un nmero negativoIMAGINARIOEs el rango de frecuencias de la banda de atenuacin, V1/V2 es un nmero real mayor que 1 por lo que V2 es menor que V1 y opuesto en fase.

    2

    2

    2

    121

    +=

    cc

    jVV