MÉTODO SIMPLEX. Ejemplo de Simplex: Vamos a resolver el siguiente problema: MaximizarZ = f(x 1,x 2 ) = 3x 1 + 2x 2 Sujeto a:2x 1 + x 2 18 2x 1 + 3x 2.

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    21-Feb-2015

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Diapositiva 1 MTODO SIMPLEX Diapositiva 2 Ejemplo de Simplex: Vamos a resolver el siguiente problema: MaximizarZ = f(x 1,x 2 ) = 3x 1 + 2x 2 Sujeto a:2x 1 + x 2 18 2x 1 + 3x 2 42 3x 1 + x 2 24 x 1 0, x 2 0 Diapositiva 3 Se consideran los siguientes pasos: 1. Convertir las desigualdades en igualdades: Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, este caso s 1, s 2, s 3 para convertirlas en igualdades y formar el sistema de ecuaciones estandar. Usando en simplex el siguiente criterio: Signo: Introducir s n Diapositiva 4 FORMA ESTANDAR: 2x 1 + x 2 + s 1 = 18 2x 1 + 3x 2 + s 2 = 42 3x 1 + x 2 + s 3 = 24 Diapositiva 5 2. Igualar la funcin objetivo a cero y despues agregar la variables de holgura del sistema anterior: Z - 3 x 1 - 2 x 2 = 0 Para este caso en particular la funcion objetivo ocupa la ultima fila del tablero, pero de preferencia siempre se devera de colocar como la primer fila Cuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de Fo para convertirlo en negativo y cuando maximizamos tomamos el valor (+) negativo de Fo para convertirlo en positivo. 3. Escribir el tablero inicial simplex: En las columnas aparecern todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la ltima fila con los coeficientes de la funcin objetivo: Diapositiva 6 Tablero Inicial BaseVariable de decisin Variable de holguraSolucin X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 S1S1 2110018 S2S2 2301042 S3S3 3100124 Z-3-20000 Diapositiva 7 4. Encontrar la variable de decisin que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base A. Para escoger la variable de decisin que entra en la base, (FLECHA ROJA PARTE SUPERIOR), observamos la ultima fila, la cual muestra los coeficientes de la funcin objetivo y escogemos la variable con el coeficiente ms negativo (en valor absoluto). En este caso, la variable x 1 de coeficiente - 3. Si existiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la condicin anterior, entonces se elige cualquiera de ellos. Si en la ltima fila no existiese ningn coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solucin ptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicacin del mtodo del simplex, es que en la ltima fila no haya elementos negativos. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color azulado). Diapositiva 8 B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, (FLECHA ROJA COSTADO IZQUIERDO) se divide cada trmino de la ltima columna (valores solucin) por el trmino correspondiente de la columna pivote, siempre que estos ltimos sean mayores que cero. Si hubiese algn elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendramos una solucin no acotada y no se puede seguir. El trmino de la columna pivote que en la divisin anterior d lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, S 3. Esta fila se llama fila pivote (en color azulado). Diapositiva 9 Iteracin No. 1 BaseVariable de decisin Variable de holguraSolucinOperacin X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 S1S1 211001818/2 = 9 S2S2 230104242/2 = 21 S3S3 310012424/3 = 8 Z-3-20000 Diapositiva 10 Si al calcular los cocientes, dos o ms son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base. C.En la interseccin de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3, este indica que la variable de decisin X 1 entra y la variable de holgura S 3 sale. 5. Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero de simplex. Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila por el pivote operacional 3, ya que este se debe convertir en 1. A continuacin mediante la reduccin gaussiana hacemos ceros los restantes trminos de la columna pivote, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la funcin objetivo Z. Diapositiva 11 Resultado de Iteracin No. 1 BaseVariable de decisin Variable de holguraSolucinOperacin X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 S1S1 01/310-2/32f(S 1 ) 2 f(X 1 ) S2S2 07/301-2/326f(S 2 ) 2 f(X 1 ) X1X1 11/300-1/38(1/3) X 1 Z000124f(Z) + 3 f(X 1 ) Diapositiva 12 Como en los elementos de la ltima fila hay un numero negativo, -1, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso: A. La variable que entra en la base es x 2, por ser la columna pivote que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular la variable que sale o la fila pivote, dividimos los trminos de la columna solucin entre los trminos de la nueva columna pivote: y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la fila pivote y la variable de holgura que sale es S 1. C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3. Y se opera de forma anloga a la anterior iteracin Diapositiva 13 Iteracin No. 2 BaseVariable de decisin Variable de holguraSolucinOperacin X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 S1S1 01/310-2/322/(1/3) = 6 S2S2 07/301-2/32626/(7/3) = 78/7 X1X1 11/300-1/388/(1/3) = 24 Z000124 Diapositiva 14 Resultado de Iteracin No. 2 BaseVariable de decisin Variable de holguraSolucinOperacin X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 X2X2 0130-263X 2 S2S2 00-70412f(S 2 ) (7/3) f(X 2 ) X1X1 10016f(X 1 ) (1/3) f(X 2 ) Z003030f(Z) + f(X 2 ) Diapositiva 15 Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso: A. La variable que entra en la base es S 3, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3], 12/4 [=3], y 6:1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es S 2. C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4. Obtenemos la tabla: Diapositiva 16 Iteracin No. 3 BaseVariable de decisin Variable de holguraSolucinOperacin X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 X2X2 0130-26No se toma por ser negativo S2S2 00-7041212/4 = 3 X1X1 100166/1 = 6 Z003030 Diapositiva 17 Resultado de Iteracin No. 3 BaseVariable de decisin Variable de holguraSolucinOperacin X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 X2X2 01-1/20012f(X 2 ) + 2 f(S 3 ) S3S3 00-7/4013(1/4) S 3 X1X1 10-3/4003f(X 1 ) f(S 3 ) Z005/40033f(Z) + f(S 3 ) Diapositiva 18 Tablero Final BaseVariable de decisin Variable de holguraSolucin X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 X2X2 01-1/20012 S3S3 00-7/4013 X1X1 10-3/4003 Z005/40033 Diapositiva 19 Como todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son positivos, hemos llegado a la solucin ptima. Los solucin ptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solucin, en nuestro caso: 33.

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