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  • CIENCIA E INGENIERA NEOGRANADINA, VOL 22-2, PP 97 - 109, BOGOT DICIEMBRE DE 2012, ISSN 0124-817097

    CLCULO DE LAS FRECUENCIAS DE CORTE EN FIBRAS PTICAS DE NDICE ESCALONADO, UTILIZANDO MATLAB

    A CALCULATION OF CUTOFF FREQUENCY TO STEP-INDEX OPTICAL FIBERS USING MATLAB

    Henry Arturo Bastidas MoraIng. Electricista, M.Sc., Docente Investigador, Lder grupo Redes e Interconexin.

    Programa Ingeniera de Telecomunicaciones. Universidad Piloto de Colombia, Bogothenry-bastidas@unipiloto.edu.co

    Fabin Barahona Varela Licenciado en Fsica, estudiante de Ingeniera Electrnica y Telecomunicaciones.

    Universidad Catlica de Colombia, Bogotfbarahona46@ucatolica.edu.co

    Fecha de recepcin: 5 de julio de 2012Fecha de aprobacin: 2 de diciembre 2012

    RESUMEN

    El anlisis matemtico de los modos de propagacin y de otros parmetros importantes de operacin de las guas de onda y las fibras pticas se puede encontrar al resolver las cuatro ecuaciones de Maxwell y satisfacer adecuadamente las condiciones de frontera en cada caso analizado de acuerdo con su geometra y los materiales con los cuales est constituido. Sin embargo, estas soluciones resultan muy laboriosas y a veces confusas para los estudiantes que las enfrentan por primera vez. En el presente trabajo se desarroll e implement una aplicacin utilizando la herramienta Matlab que facilita a los estudiantes y docentes, el procedimiento y los clculos que se llevan a cabo para obtener algunos parmetros como la apertura numrica, frecuencia de corte normalizada y frecuencia de corte normal para las fibras pticas de ndice escalonado, partiendo de los ndices de refraccin y el radio del ncleo.

    Palabras clave: apertura numrica, fibra ptica, frecuencia de corte normalizada, frecuencia de corte real, ndice escalonado.

    ABSTRACT

    The math analysis of propagation modes and other relevant operating parameters to waveguides and optical fibers can be found by solving the four equations of Maxwell, and also meeting effectively boundary conditions analyzed for each case according to geometry and materials

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    they are produced with. These solutions however are quite difficult and sometimes confusing for students who use them first time. In this paper we developed and implemented an application using Matlab tool, which provides students and teachers the procedure and calculations carried out to get some parameters, such as numerical aperture, normalized cutoff frequency and actual cutoff frequency to step-index optical fibers based on refractive indices and a core radius.

    Keywords: numerical aperture, fiber optics, normalized cutoff frequency, actual cutoff frequency, step-index.

    INTRODUCCIN

    Las fibras pticas y en general las guas de onda, no pueden transmitir energa electromagntica a frecuencias bajas, a menos que tengan tamaos gigantescos e imprcticos. La transmisin se inicia a partir de una determinada frecuencia, cuyo valor depende de la geometra, tamao y materiales de la fibra. A esta frecuencia mnima a partir de la cual es posible que la energa se propague, se le denomina frecuencia de corte. Por sus magnficas prestaciones: gran ancho de banda y su consecuente velocidad de transmisin de informacin, la inmunidad a perturbaciones electromagnticas, la baja atenuacin con poca dependencia de la frecuencia de trabajo, la alta resistencia mecnica, la flexibilidad y ligereza, entre otros factores, han posicionado a la fibra ptica como uno de los medios de transmisin ms utilizados en la actualidad en telecomunicaciones [1].

    Desde este marco, cobra gran importancia el estudio de las caractersticas de propagacin que se encuentran en una fibra ptica, ya que es a travs de ellas como se podr establecer las frecuencias de trabajo, los anchos de banda proporcionados, las aperturas numricas y otras caractersticas que proporcionarn un aprovechamiento ptimo de la fibra.

    Se pretende aqu, disear e implementar un programa que permita calcular estos parmetros especficamente en una fibra ptica de ndice escalonado, es decir, en la que posee un ndice de refraccin constante en toda la seccin cilndrica del ncleo. Con este objetivo, se utilizar la herramienta Matlab, por considerar que ofrece las caractersticas necesarias para calcular ecuaciones matemticas complejas.

    1. METODOLOGA

    Se comienza, examinado algunas definiciones y describiendo los tipos de fibra ptica, para seguir con la formulacin comnmente conocida como la ecuacin caracterstica. Luego se definen algunos parmetros importantes para su clculo. La fibra ptica tambin se denomina gua de onda dielctrica, porque a cambio de las guas de onda convencionales no estn constituidas por un conductor sino que estn hechas con material dielctrico. Geomtricamente, las fibras pticas

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    consisten en una barra dielctrica cilndrica delgada y larga llamada ncleo, rodeada de una capa concntrica de otro material dielctrico llamada revestimiento; son fabricadas con vidrio flexible, puro y transparente, cuya materia prima es el dixido de silicio (SiO2), obtenido de la arena del mar. La Figura 1 muestra su estructura en su forma ms elemental.

    1

    1

    ,

    , 1, , 1,

    ,

    Figura 1. Estructura de una fibra ptica

    1.1. TIPOS DE FIBRA PTICA

    Las fibras pticas pueden clasificarse en tres tipos: monomodo de ndice escalonado, multimodo de ndice escalonado y multimodo de ndice gradual. La Figura 2 muestra estos tres tipos de fibra y permite comparar el grosor y el ndice de refraccin del ncleo y revestimiento para cada tipo, as como imaginar la trayectoria de los rayos de luz por los diferentes tipos de fibra.

    1

    1

    ,

    , 1, , 1,

    ,

    Figura 2. Comparacin del grosor e ndice de refraccin del ncleo y el revestimiento en fibras a) monomodo de ndice escalonado, b) multimodo de ndice escalonado, c) multimodo de ndice gradual.

    Fuente: Vela Nery N., [2]

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    La fibra monomodo de ndice escalonado tiene un ncleo angosto con ndice de refraccin uniforme. La fibra multimodo de ndice escalonado tiene un ncleo ms ancho con ndice de refraccin constante. La fibra multimodo de ndice gradual tiene un ncleo ancho cuyo ndice de refraccin va variando gradualmente hasta alcanzar su valor mximo en el centro del ncleo.

    1.2. PROPAGACIN Y ECUACIN CARACTERSTICA DE UNA FIBRA DE NDICE ESCALONADO

    La Figura 3 es una representacin de la fibra de ndice escalonado, objeto de estudio, con el sistema de coordenadas cilndricas que permite formularla.

    1

    1

    ,

    , 1, , 1,

    ,

    Figura 3. Sistema de coordenadas para analizar la propagacin en una fibra ptica con ncleo de radio a

    La ecuacin diferencial para resolver este tipo de fibra ptica, es idntica a la que permitira resolver una gua de onda circular. De conformidad con la formulacin corrientemente conocida para guas circulares y de acuerdo con [2] y [3] es:

    1

    1

    ,

    , 1, , 1,

    ,

    (1)

    En donde,

    1

    1

    ,

    , 1, , 1,

    ,

    (2)

    La variable

    1

    1

    ,

    , 1, , 1,

    ,

    puede representar el campo elctrico Ez o al campo magntico Hz, dependiendo de las condiciones de frontera que se empleen en la solucin. En principio, en las fibras pticas, ninguna de las dos componentes Ez o Hz puede valer cero, lo cual origina la aparicin de modos de propagacin denominados hbridos, designados como HE y EH. Respecto del ncleo, y tomando en consideracin que la permitividad del dielctrico es constante en toda su trayectoria, la solucin de la ec. (1), debe estar en funciones de Bessel de primera clase, as:

    1

    1

    ,

    , 1, , 1,

    ,

    (3)

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    A partir de la ec. (2), se obtiene:

    1

    1

    ,

    , 1, , 1,

    ,

    (4)

    Para que la mayor parte de la potencia sea transmitida a lo largo del ncleo, se requiere que la constante

    1

    1

    ,

    , 1, , 1,

    , sea negativa,

    1

    1

    ,

    , 1, , 1,

    , (5)

    La solucin obtenida para el revestimiento es

    1

    1

    ,

    , 1, , 1,

    , (6)En donde

    (=j)

    1

    1 1

    es la funcin de Bessel modificada de segunda clase, la cual decrece exponencialmente hacia cero mientras

    (=j)

    1

    1 1

    aumenta. Se estima que la propagacin en la fibra, se produce a partir de una cierta frecuencia de corte, cuando

    (=j)

    1

    1 1

    se torne imaginaria pura

    (=j)

    1

    1 1

    . Con este objeto, de la ec. (4), se obtiene, con

    positivo, que:

    (=j)

    1

    1 1

    (7)

    As mismo, de la ec.(5), con

    negativo, se obtiene:

    (=j)

    1

    1 1

    (8)

    Reunie