Matemática i - Copia

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    21-Nov-2015

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<ul><li><p>Calidad que se acredita internacionalmente</p><p>ASIGNATURA</p><p>MATEMTICA I(TEXTO UNIVERSITARIO)</p></li><li><p> La matemtica como ciencia es una de las ms importantes y poderosas herramientas creada por el ser humano. Es as como la asignatura de Matemtica I, trata de temas bsicos que permite a los estudiantes desarrollar habilidades de aprendizaje y formar las competencias requeridas para seguir estudios en las diversas carreras profesionales. </p><p>Los contenidos propuestos se dividen en tres unidades didcticas:</p><p>- Nmeros reales</p><p>- Funciones</p><p>- Trigonometra analtica</p><p> Para tener xito en el manejo del presente material de teora y ejercicios, se sugiere que el estudiante se familiarice con la parte conceptual haciendo un buen uso de la simbologa y trminos que en ella se imparte y luego desarrollar todos sus ejercicios y problemas propuestos. Es recomendable trabajar en grupo y mantener vivas relaciones de comunicacin con el docente, a fin de esclarecer dudas; as mismo el estudiante deber consultar los otros medios tecnolgicos, como pginas de internet y medios que el docente ponga a su servicio en la plataforma virtual.</p><p>Los autores</p></li><li><p>Asignatura: MATEMTICA I</p><p>PRESENTANCINNDICE Pg.TEMA N 01 : NMEROS REALES.......................................................................................................................................... 09TEMA N 02 : ECUACINES LINEALES.................................................................................................................................. 18TEMA N 03 : ECUACINES CUADRTICAS......................................................................................................................... 26TEMA N 04 : ECUACINES CON RADICALES Y VALOR ABSOLUTO................................................................................ 32TEMA N 05 : INECUACIONES LINEALES.............................................................................................................................. 36TEMA N 06 : INECUACIONES CUADRTICAS..................................................................................................................... 42TEMA N 07 : INECUACIN FRACCIONARIA......................................................................................................................... 50TEMA N 08 : INECUACIN CON VARLO ABSOLUTO.......................................................................................................... 59TEMA N 09 : FUNCIONES...................................................................................................................................................... 64TEMA N 10 : DOMINIO DE UNA FUNCIN............................................................................................................................ 71TEMA N 11 : GRFICA DE FUNCIONES............................................................................................................................... 77TEMA N 12 : GRFICA DE FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES.................................................................................. 94TEMA N 13 : FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES ............................................................................................ 102TEMA N 14 : FUNCIN PAR E IMPAR .................................................................................. .............................................. 107TEMA N 15 : TRANSFORMACIN DE FUNCIONES ........................................................................................................... 111TEMA N 16 : EJERCICIOS DE TRANSFORMACIN DE FUNCIONES .............................................................................. 122TEMA N 17 : CUADRTICAS, MXIMOS Y MNIMOS ........................................................................................................ 131TEMA N 18 : MODELACIN DE FUNCIN ......................................................................................................................... 143TEMA N 19 : COMBINACIN DE FUNCIONES ................................................................................................................... 155TEMA N 20 : FUNCIONES DE UNO A UNO INYECTIVAS ................................................................................................. 160TEMA N 21 : FUNCIN INVERSA ....................................................................................................................................... 166TEMA N 22 : FUNCIONES POLINOMIALES ....................................................................................................................... 174TEMA N 23 : FUNCIONES RACIONALES .......................................................................................................................... 187TEMA N 24 : FUNCIONES EXPONENCIALES, LGISTICA Y LOGARTMICA ................................................................ 203TEMA N 25 : APLICACIN DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES .............................................................................. 211TEMA N 26 : FUNCIN LOGSTICA ................................................................................................................................... 218TEMA N 27 : FUNCIONES LOGARTMICAS ...................................................................................................................... 226TEMA N 28 : ECUACIONES EXPONENCIAL Y LOGARTMICAS ..................................................................................... 235TEMA N 29 : MODELADO DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS ...................................................... 242TEMA N 30 : FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ............................................................................................................. 252TEMA N 31 : GRFICA TRIGONOMTRICAS .................................................................................................................. 260TEMA N 32 : FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y TRIGONOMETRA ANALTICA........................................................ 271</p></li><li><p>Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 9</p><p>Matemtica I</p><p>Nmeros Reales1. SabereS PrevioS</p><p>AproximAcn de nmeros decimAles Se pueden aproximar nmeros decimales por truncamiento o por redondeo. Para redondear un nmero decimal hasta un </p><p>ordeen n se escriben las cifras anteriores a ese orden. El valor de la cifra de orden n tendr los siguientes valores.</p><p>Se deja igual si la cifra es menor que 5 Se aumenta en una unidad si la cifra siguiente es igual a mayor que 5.</p><p> Ejm: Aproximamos el siguiente nmero decimal a:</p><p>Dcimos Centsimos Milsimos</p><p>3,84777... 3,84777...</p><p>3,8</p><p>3,84777...</p><p>3,85</p><p>3,84777...</p><p>3,848</p><p> Completa la siguiente tabla:</p><p>Dcimos Centsimos Milsimos</p><p>9,88992</p><p>1,37344...3,84777...</p><p>3,8</p><p>3,84777...3,85</p><p>3,84777...</p><p>3,848</p><p>GenerAtriz de un nmero decimAl La generatriz de un nmero decimal es la fraccin irreducible, obtenida al dividir el numerador entre el denominador.</p><p>Decimal exacta Decimal peridico puro Decimal perodico mixto</p><p>abca,abc</p><p>1000=</p><p>a0,aaa... 0,a</p><p>9= =</p><p> ab0,abbb... 0,ab</p><p>90= =</p><p>Exacto Peridico puro Peridico mixto</p><p>2515,25 15</p><p>1001</p><p>154</p><p>614</p><p>= +</p><p>= +</p><p>=</p><p>191,19 1</p><p>9999 19</p><p>9911899</p><p>= +</p><p>+=</p><p>=</p><p>315 32,315 2</p><p>990312</p><p>2990</p><p>382495</p><p>= +</p><p>= +</p><p>=</p><p> Completa la siguiente tabla:</p><p>Resolucin Fraccin Generatriz</p><p>3,32</p><p>4,312</p><p>Semana 01PRIMERA UNIDAD</p></li><li><p>Matemtica I</p><p>Pg. 10 Calidad que se acredita internacionalmente</p><p>operAciones con frAcciones Simplifica la siguiente expresin numrica</p><p>1 / 23 3 33 3 1 7 7 2 275 2 2 5 5 5 8</p><p> + + + </p><p>27 27125 8</p><p>98 27</p><p>8125 8</p><p>+ + +1 / 2</p><p>1 / 227 988</p><p>125 125 + + </p><p>1 / 21258</p><p>125 + </p><p>1 / 2{9} 9 3</p><p> Resuelve: 1 / 33 23 5 1 1 2 2 4</p><p>4 4 4 4 5 64 25</p><p> + + + </p><p>2. NmeroS realeSesquemA</p><p>NmerosReales ( )</p><p>NmerosRacionales ( )</p><p>NmerosIrracionales (I)</p><p>NmerosEnteros </p><p>NmerosFraccionarios </p><p>m;m,n n 0</p><p>n </p><p>Positivos o+ </p><p>Cero</p><p>Negativos</p><p>o+ </p><p> propiedAdes de los :</p><p>Propiedad Ejemplo Descripcin</p><p>Propiedades Conmutativas</p><p>a+b = b+a</p><p>ab = ba</p><p>8 + 5 = 5 + 8</p><p>6 . 3 = 3 . 6</p><p>Cuando se suman o multiplican dos nmeros no importa el orden.</p><p>Propiedades Asociativas</p><p>(a+b)+c=a(b+c)</p><p>(ab)c=a(bc)</p><p>(3+7)+9=3+(7+9)</p><p>(6.4).3=(4.3)</p><p>Cuando se suman tres nmeros, no importa cuales dos se suman primero. Cuando multiplicamos tres nmeros no importan cuales dos se multiplican primero.</p><p>Propiedades Distributiva</p><p>a(b+c)=ab+ac</p><p>(b+c)a)ab+ac</p><p>4(3+8)=4.3+4.8</p><p>(3+8).4=4.3+4.88</p><p>Cuando se multiplica un nmero por una suma de dos nmeros se obtienen el mismo resultado al multiplicar el nmero por cada uno de los trminos y luego suman los resultados.</p><p> rectA reAl: Cuando en la recta numrica se representa los nmeros racionales y los irracionales se obtiene la recta real.</p><p>a b</p><p>0 Reales positivosReales negativos</p><p>Orden ascendente</p><p>+</p></li><li><p>Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 11</p><p>Matemtica I</p><p> Dados dos nmeros reales a y b ubicados en la recta numrica ser menor el que se encuentre a la izquierda del otro.</p><p> Ejm.:</p><p>- Representamos en la recta real los nmeros: -3, -0,8, 0, 2 , 52</p><p>, , 4</p><p>0-1-2-3 1 2 3 42</p><p>1,41</p><p>5/2 0,8</p><p>2</p><p>Ubica los puntos en la recta numrica.</p><p>a) 5 ; -3/4; -2/3; 2,51; 3</p><p>0</p><p>b) 3,8; -4/5; 3 ; 4/2; </p><p>2,14 ; 2,14052</p><p>0</p><p>c) 0,2</p><p>; 3/9; 7 ; -2; 1,73</p><p>; 1,73206.</p><p>0</p><p> intervAlos Un intervalo es la representacin de un subconjuntos de los nmeros reales, cuyos elementos estn comprendidos entre dos </p><p>extremos a y b que pueden estar incluidos o no.</p><p>IntervaloRepresentacin Generalizacin</p><p>Simblica Grfica Simblica Grfica</p><p>Cerrado1 x 2</p><p>[ 1;2] -1 0 1 2</p><p>{x / x ,a x b}[a;b]</p><p>a b</p><p>Abierto1 x 2</p><p>1;2</p><p> &lt; </p><p>+</p><p>a +</p><p>]x 2</p><p>;2</p><p> -1 0 1 2 ]{x / x ,x b}</p><p>;b</p><p>- b</p><p> Completa la tabla</p></li><li><p>Matemtica I</p><p>Pg. 12 Calidad que se acredita internacionalmente</p><p>Intervalo Simblicamente Grficamente</p><p>1;3</p><p>{x / x , 4, x 2} &lt; </p><p>-3 0 1 2-4</p><p>{x / x ,x 12} &gt;</p><p>]17;0</p><p> vAlor Absoluto</p><p> Si x es un nmero real, entonces el valor absoluto de x es: x;x 0|x|x;x 0</p><p>= |-m| ( ) |36| 36|6| 6</p><p>= ( )</p><p> distAnciA entre 2 nmeros reAles</p><p> Si a y b son nmeros reales, entonces la distancia entre los puntos a y b en la recta numrica es: a(a,b)=|ba|</p><p>3. ejercicioS reSueltoSA. bloque i</p><p>1. Marca con un aspa el conjunto al que pertenece cada nmero.</p><p>Conjuntos Nmeros </p><p>0,137</p><p>3,777...</p><p>17</p><p>12...</p><p>2,15252...</p><p>5,191919...</p><p>2. Observa la recta y escribe lo que se te pide.</p><p>0-1-2-3 1 2 3 94 5 6 7 8-4-5-6-7-8-9</p><p>A B C D</p><p> a) Dos nmeros enteros entre A y D.</p><p> b) Cuatro nmeros irracionales entre B y D</p><p> c) Cinco nmeros irracionales entre B y D.</p></li><li><p>Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 13</p><p>Matemtica I</p><p>3. Identifica tres formas de representar intervalos en y completa:</p><p>Inecuacin R. Simblica R. grfica</p><p>9x</p></li><li><p>Matemtica I</p><p>Pg. 14 Calidad que se acredita internacionalmente</p><p> Grficamente:</p><p>0-1-2-3 1 2 3-4</p><p>4. Efectuar:</p><p>20,2</p><p>3 2,30,35 0,21</p><p>2 23</p><p>235 2</p><p>906</p><p>19 9</p><p>21xx</p><p>+ = +</p><p>+</p><p>+ = +</p><p> +</p><p>+</p><p> = ++</p><p> = +</p><p> = +</p><p>+ = + = =</p><p>21 = +</p><p>+ = + = =</p><p>c. bloque iii1. La tapa de una caja de bombones tiene forma de trapecio y sus medidas se indican en el grfico.</p><p>4 2</p><p>cm</p><p>4 2cm</p><p>6cm</p><p>10cm4cm</p><p>4cm</p><p>a) Cuntos centmetros de cinta amarilla se usa para decorar la caja?</p><p> Entonces para determinar la longitud de cinta usamos el permetro del trapecio.</p><p> P 4 2 6 4 2 4 10 (6 4 10) (4 6 4 2)= + + + + = + + + +</p><p> P 20 8 2= +</p><p> P=20+8(1,4)</p><p> P=20+11,2</p><p> P=31,2 cm</p><p>b ) Qu cantidad de cartulina se necesita para confeccionar 8 tapas?</p><p> Para determina la cantidad de cartulina emplearemos el rea del trapecio.</p><p> (B b).hA2</p><p>+= b=6cm B=14cm h=4cm</p><p> (14 6)(4)</p><p>A2</p><p>+=</p><p> A=40cm2 para una tapa , como nos piden 8 tapas: 28 40 320cm = Necesitamos de 320cm2 de cartulina.</p></li><li><p>Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 15</p><p>Matemtica I</p><p>2. Un nafrago se encuentra varado en una isla con slo pan y queso. Un kilo de pan contiene 1000 cal y 25g de protenas, y un kilo de queso contiene 2000 y 100g de protenas.</p><p> Sabiendo que una dieta normal es de al menos 3000 caloras y 100g de proteonas diarias, subraya en qu casos se cumple lo recomendado si el nafrago consume.</p><p>a) 1kg de pan y 1kg de queso b) 3kg de pan 1/8 kg de queso</p><p>c) 1/2 kg de pan y 1/2 de queso d) 4kg pan y nada de queso.</p><p>a) 1kg de pan 1kg de queso</p><p> 1000 cal + 2000 cal = 3000 cal</p><p> 25g + 100g = 125g. </p><p>b) 3kg de pan 1/8kg de queso</p><p> 3 x 1000 cal + 1/8 (2000) cal = 3250 cal</p><p> 2 x 25g + 1/8 (100)g = 87,5g</p><p>c) 0 pan y 1 1/2 kg de queso</p><p> 1 1/2 (2000) = 3000 cal</p><p> 1 1/2 (100) = 150g </p><p>d) 4kg pan y 0 de queso</p><p> 4(1000) = 400 cal</p><p> 4(25) = 100g</p><p>e) 1/2 kg de pan y 1/2 kg de queso</p><p>1/2(1000)+1/2(2000)500+1000=1500cal</p><p>1/2 (25)+1/2(100)12,5+50=62,5g </p><p> Obteniendo estos resultados, hacemos la comparacin con las cantidades en caloras y grasas que se debe consumir en una dieta normal.</p><p> Dieto normal 3000 cal100 g de protenas</p><p> Subrayando las alternativas a, c y d.</p><p>3. Una empresa de productos lcteos muestra el siguiente cuadro de produccin de leche evaporada La Vaquita durante un ao.</p><p>01,5</p><p>34,5</p><p>67,5</p><p>9</p><p>ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC</p><p>4,32 3,3 5,45 2,0 6,22 3,6 5,8 4,1 7,24 7,0 5,4 3,72</p><p>a) En qu logr la mayor produccin? En setiembre</p><p>b) En qu mes se tuvo la menor produccin? En abril</p><p>c) Representa con un intervalo el rango de produccin en el primer semestre. [2,00; 6,22]</p><p>d) Representa con un intervalo el rango de produccin en el seguno semestre [3,72; 7,24]</p><p>e) Represente con un intervalo el rango de produccin de todo el ao [2,00: 7,24]</p><p>4. El permetro del rectngulo ABCD es menos que 50cm y el permetro del rectngulo PQRS es mayor que 28cm. Determina el intervalo que representa los valores que puede tener x.</p><p>A</p><p>D C</p><p>B</p><p>x</p><p>20cm</p><p>P</p><p>S R</p><p>Q</p><p>11cm</p><p>x</p><p> a) [3;5] b) [3;5&gt; c) 28</p><p> 2x &lt; 10 2x &gt; 6</p><p> x &lt; 5 x &gt; 3</p><p> 3 &lt; x &lt; 5</p><p> x </p></li><li><p>Matemtica I</p><p>Pg. 16 Calidad que se acredita internacionalmente</p><p>4. ejercicioS ProPueStoSA. bloque i</p><p>1. Si x[2; 5[; a qu intervalo pertenece 2x2?</p><p> a) b) [6; 8] c) [6; 8[ d) e) [6; [</p><p>2. El nmero de cada bloque es el promedio de los nmeros que estan en los dos bloques inferiores. Calcula el valor de "x".</p><p>1,75</p><p>213</p><p> 013</p><p>2</p><p>X</p><p> a) 1/7 b) 1/2 c) 1/8 d) 0 e) 1/2</p><p>3. Calcula el valor exacto:</p><p>22 1 1 32,555... 1,5 4,88... 3,5</p><p>3 2 9 2</p><p> + + + + + + </p><p> a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 1</p><p>4. Calcula el valor de 2M</p><p>21 1 25M 2 (1 1) 2 2 4</p><p>2 4 4 = + + + </p><p> a) 2</p><p>46 b) </p><p>22</p><p>6 c) 5</p><p>36 d) </p><p>54</p><p>6 e) 1</p><p>5. Qu nmero irracional representa cada punto rojo ubicado en la recta numrica?</p><p>0-1-2-3 1 2 3</p><p>21</p><p> a) 8 y 5 b) 2 2 y 3 c) 2 y 3 </p><p> d) 8 y 5 e) 2 2 y 5 </p><p>b. bloque ii1. Simplifica:</p><p>1 11 1</p><p>2 33 2</p><p>1 12</p><p>2 3</p><p>+ +</p><p> a) 5/2 b) 5 c) 5/13 d) 3/5 e) 4/5</p></li><li><p>Calidad que se acredita internacionalmente Pg. 17</p><p>Matemtica I</p><p>2. Determina los valores que puede tomar "a" en cada caso. Luego, suma todos los resultados e indica la respuesta.</p><p> |a| + 7 =13</p><p> |2a1|5=10</p><p> |a+3|+9=20</p><p> a) 1 b) 0 c) 3 d) 9 e) 5</p><p>3. Si: P=]1; 7] { }G x / 4 x 5= </p><p> H=[7;1] y [(PG)H] da como resultado un intervalo b</p><p>2a;3</p><p>. Halla a+b.</p><p> a) 5 b) 5 c) 2 d) 2 e) 3</p><p>4. Halla el valor de A+2B, despus de efectuar las operaciones con aproximacin al centsimo.</p><p>1A 2 0,27 1,8 5</p><p>38</p><p>B 0,38 ( 3 2) ( 1,43)7</p><p>= + +</p><p> = + + </p><p> a) 0,99 b) 1 c) 0,9</p><p> d) 1,9 e) 0,98</p><p>5. Halla el permetro de la figura sombreada con aproximacin al centsimo, si el rea total de las figura es 27cm2.</p><p>l</p><p>...</p></li></ul>