Límites y continuidad - ?· x) x x 2 x x 4 x2 x c) x2x 2x 2 4 x 8.III. ... y g(x) y esboza sus ...…

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42 SolucionarioSolucionarioACTIVIDADES INICIALES8.I. Simplifica las expresiones siguientes.a) x2 x27x 912 c) x2 x36xx 5b) xx3284 d)a) x2 x27x 912 (xx33))((xx34)) xx43b) xx3284 x2 x 2x2 4c) x2 x36xx 5 x((xx11))((xx51)) x(xx51)d) (x x3)(2x2 1)8.II. Racionaliza y simplifica:a) xx11 b) 4x(xx21x) c)a) xx11 xx11 xx11 (x 1x)(1x 1) x 1b) 4x(xx21x) 4x(xx21x)xx22xx 4x2 xc) x2 2x2 4 x8.III. Factoriza los siguientes polinomios.a) P(x) x3 2x2 x 2b) Q(x) x4 5x3 3x2 9xa) P(x) (x 1)(x 1)(x 2)b) Q(x) x(x 1)(x 3)2EJERCICIOS PROPUESTOS8.1. Calcula, operando en las expresiones originales y formando una tabla de valores, los siguientes lmites.a) limx0x3 5xx2 x c) limx1xx11 e) limx2(x 1)x2b) limx93x 1 d) limx0xx211 f) limx2x2 x 3x2 2a) 1 c) 2 e) 1b) 2 d) 1 f) 1x2 2x 4 xx2 2x 4 xx 2x2 2x 4 x4x(x 1)x2 xx(x 1)x 2x2 2x 4 x(x 2)(x 3)(2x 1)(x 2)(x 2)(x 2)(x 3)(2x 1)x2 4(x 2)(x2 2x 4)(x 2)(x 2)(x 2)(x 3)(2x 1)x2 48 Lmites y continuidad107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 42Solucionario 438.2. Calcula, si existen, los siguientes lmites.a) limx0f(x) para f(x) xxb) limx2f(x) para f(x) c) limx0f(x) para f(x) a) No existe limx0f (x). Aunque s los lmites laterales limx0f (x) 1 y limx0f (x) 1b) limx2f (x) 5c) No existe limx0f (x). Aunque s los lmites laterales y limx0f (x) 2 y limx0f (x) 18.3. Sabiendo que limxaf(x) 3 y limxag(x) 0, calcula los siguientes lmites cuando x a de las siguientes fun-ciones.a) 2f 3g d) (f g)2 g) f gb) (3f)2 e) (f g)2 h) (1 g)fc) gf f) g f1 i) g1fa) 6 d) 0 g) 1b) 81 e) 9 h) 1c) 0 f) 3 i) 08.4. Se sabe que las funciones f y g tienen lmite en el punto x a. Adems limxa(f(x)g(x)) 1. Di si las siguientesafirmaciones son ciertas o falsas.a) limxaf(x) 0b) Si limxag(x) 2 limx1(f(x))g(x) 4.c) limxa gf((xx)) es un cuadrado perfecto.a) Falsa, sera imposible que el producto valiera 1.b) Verdadera, porque entonces el lmite de f valdra 12.c) Verdadera, porque como limxaf (x) , siempre al sustituir obtenemos el cuadrado del lmite de una funcin.8.5. Calcula, haciendo una tabla, los siguientes lmites.a) limx1x4x14 c) limx3x2 x 4x3 3b) limx1x2 x 2x1 1 d) limx3x22x2 x 11a) 4 c) No existe, pues limx3x2 x 4x3 3 limx3x2 x 4x3 3b) 0 d) 321limxag(x)x2 2 si x 03x 1 si x 0x2 1 si x 23x 1 si x 2107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 4344 SolucionarioSolucionario8.6*. Calcula, operando en las expresiones originales:a) limx02xx323xx2 c) limx5xx2275xx162b) limx1xx221x d) limx1 x 11 4xx223xx3 32xa) limx02xx323xx2 limx0x2x((2xx13)) 0b) limx1xx221x limx1(x x(x1)(x1)1) 12c) limx3xx2275xx162 limx3((xx23))((xx34)) 11 1d) limx1 x 1 1 4xx223xx3 32x limx1 01 . Hacemos, por tanto, los lmites laterales.limx1 x 1 1 4xx223xx3 32xlimx1 x 1 1 4xx223xx3 32x8.7. Halla el valor de los lmites siguientes.a) limxx2 x3x390 c) limx222xxb) limx1xx11 d) limx3x x 123 3a) limxx2 x3x390 limx limx0 1 0 00 0b) limx1xx11 limx1xx11xx11 limx1(x 1x)(1x 1) 12c) limx222xx 2 02 . Hacemos, por tanto, los lmites laterales:limx222xxlimx222xxd) limx3x x 123 3 limx3x x 123 3xx112233 limx3 6(x 3)(x 12 3)x 31x x12 9x031 x33x3 4x2 4x 2(x 1)(x 2)107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 44Solucionario 458.8. Halla todas las asntotas de f(x) y g(x) y esboza sus grficas.Empecemos con f (x).Lmites infinitos: asntota vertical x 1limx1xx212 limx1xx212Como xx212 (x 1) x 31, la funcin tiene una asntota oblicua de ecuacin y x 1.Continuemos con g(x).Lmites infinitos: asntota vertical x 0 y x 5limx03x2x2x5x1 limx03x2x2x5x1 limx53x2x2x5x1 limx53x2x2x5x1 Lmites en el infinito: asntota horizontal y 3limx3x2x2x5x1 3 limx3x2x2x5x1 3Como tiene asntotas horizontales, la funcin carece de asntotas oblicuas.8.9. Puede tener una curva dada por un cociente de polinomios asntotas horizontales y oblicuas?No, porque para que haya asntotas horizontales, el grado del numerador debe ser menor o igual que el del de-nominador. En cambio, para que haya asntotas oblicuas, el grado del numerador debe ser mayor en una unidadque el del denominador.8.10. Calcula la asntota oblicua de f(x) . Tiene asntotas verticales esta funcin?Efectuando la divisin obtenemos que f (x) xx32xx211 x x2 1 x x1.Luego la asntota oblicua tiene ecuacin y x.La funcin no tiene asntotas verticales, pues el denominador no se anula nunca.8.11. Esboza la grfica de f(x) .Como limx0x(x x21)2 0, x 0 no es asntota.Como limx1x(x x21)2 , x 1 es asntota vertical.Horizontal limxx(x x21)2 limxx(x x21)2 0; as pues, asntota horizontal de ecuacin y 0.x2x(x 1)2x3 x2 1x2 x 13x2 x 1x2 5xx2 2x 1OYX11OYX21OYX11107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 4546 SolucionarioSolucionario8.12. Son continuas en todo las siguientes funciones?a) f(x) c) f(x) b) f(x) d) f(v) a) S, pues el denominador no se anula.b) No, es continua en R {1}, porque la funcin no est definida en el 1 aunque los lmites laterales coinciden.c) No, es continua en R {4, 3} por anularse el denominador.d) No, es continua en R {1, 2}.8.13. Dnde es discontinua f(x) ? En x 2 y x 1, ya que en esos puntos se anula el denominador.8.14. Es continua f(x) en x 1? No, porque f (1) no existe.8.15. Decide si la funcin f(x) es continua en x 0. Y en x 3?Si nos acercamos al cero por la izquierda, el valor de la funcin se aproxima a 1, que es el valor de f en 0. Sinos aproximamos al cero por la derecha, los valores de la funcin se aproximan a 1; as pues, la funcin no escontinua en x 0.Tanto si nos acercamos por la izquierda como por la derecha al 3, la funcin se aproxima a 2, que es el valor def (3), luego la funcin es continua en x 3.8.16. Determina cunto debe valer a para que la siguiente funcin sea continua en todo R.f(x) f es continua en R {1} por tratarse de polinomios. En x 1 debemos estudiar los lmites laterales y debencoincidir.limx1(x3 a) 1 a y limx1(x2 a) 1 a. Por tanto, 1 a 1 a, es decir, a 0.8.17. El nmero de individuos de una poblacin en un instante t viene dado por la funcin:N(t) 300tert si t 0donde r es una constante.Estudia el comportamiento a largo plazo de la poblacin en los casos: r 0, r 0 y r 0.Caso r 0: limt300tert ; es decir, la poblacin crece indefinidamente.Caso r 0: limt300tert 0; es decir, la poblacin tiende a 0.Caso r 0: limt300tert ; es decir, la poblacin crece indefinidamente.x3 a x 1x2 a 1 xx 1 si x 0x 1 si 0 x 32x 4 si 3 xx 1x2 8x 7x 5x2 3x 2x2 1x2 3x 2x3 1x 1x2 16x2 x 123x 1x4 1107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 46Solucionario 478.18. El tipo impositivo del impuesto sobre la renta de un pas est estructurado en funcin de la renta anual dela siguiente forma: Renta anual inferior a 20 000 euros: 10%. Renta entre 20 000 y 40 000 euros: 20%. Renta superior a 40 000 euros: 40%.Representa grficamente esta funcin y estudia su continuidad.f (x) No es continua ni en x 20 000 ni en x 40 000.EJERCICIOSLmites de funciones8.19. Considera la funcin f(x) Calcula, si existen, los siguientes nmeros: f (2), limx2f(x), f (4), limx4f(x), f (5), limx5f(x).f (2) 4; limx2f (x) no existe; f (4) no est definida; limx4f (x) 9; f (5) 8 y limx5f (x) 8.8.20. La grfica de f(x) es la de la figura. Existen limxa1f(x), limxa2f(x), y limxa3f(x)?limxa1f (x) y limxa3f (x) s existen.limxa2f (x) no existe ya que no valen lo mismo los lmites laterales.8.21. A partir de la grfica de f dada en la figura, cal-cula, si existe, limx4f(x), limx7f(x), limx9f(x) y limx12f(x).limx4f(x) 2, limx7f(x) 4, limx9f(x) y limx12f(x) no exis-ten, al ser distintos los lmites laterales.x2 si x 22x 1 si 2 x 4x 13 si 4 x0,1x si x 20 0000,2x si 20 000 x 40 0000,4x si 40 000 xOY4000800012 00020 000 40 00016 00020 000XO XYa1 a2 a311O XY107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 4748 SolucionarioSolucionario8.22. Haz un esquema para ilustrar que:Si f(x) g(x) h(x) y limxaf(x) b limxah(x), entonces limxag(x) b.8.23. (TIC) Con ayuda de tu calculadora, obtn los siguientes lmites:a) limx2(ln (x 2))x2 b) limx0xxa) 1 b) 18.24. Razona por qu no existen los lmites:a) limx2 b) limx3a) Porque el denominador vale 0 en el lmite y los lmites laterales del cociente dan por la izquierda y porla derecha. b) Porque el denominador vale 0 en el lmite y los lmites laterales del cociente dan por la derecha y porla izquierda. 8.25. Calcula, si existen:a) limx0f(x) para f(x) b) limx1f(x) para f(x) c) limx2f(x) para f(x) a) Existe y vale 0.b) Existe y vale 1.c) No existe porque los lmites laterales son distintos.8.26. Dibuja la grfica de la funcin f(x) y determina para qu valores de a existe limxaf(x).limxaf (x) limxa(2x) 2alimxaf (x) limxa(x2 15) a2 15Por lo que a2 15 2a, es decir, a 5 o a 3.x 1 si x 02x si 0 x ax2 15 si a x2 x2 si x 2x 2 si x 2x2 si x 1x 2 si x 2x si x 0x si x 02xx2 9x2x 2OYX11 abfghOYX11107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 48Solucionario 498.27. Si la funcin f(x) verifica que 3x 1 f(x) x2 4x 1 para todo nmero x, haz un bosquejo de la gr-fica f(x) en las cercanas de x 1 y calcula limx1f(x).Como 4 limx1(3x 1) limx1f (x) limx1(x2 4x 1) 4, entonces limx1f(x) 4Propiedades de los lmites8.28. Si limxaf(x) b y limxag(x) c, calcula:a) limxa 2g(x) c) limxa (f(x) g(x))2b) limxa(f(x) g(x)) d) limxa a) limxa f(3x) 2g(x) b3 2cb) limxa(f (x) g(x)) b c. Si c 0, y no existe si c 0c) limxa(f (x) g(x))2 (b c)2d) limxa g(xf)(x) 1 c b 1 si c 1. Si c 1 y b 0, vale , y si c 1 y b 0, es una indetermi-nacin.8.29. Si limxaf(x) b y limxag(x) c, hay algn valor de b o c para el que no existan los siguientes lmites?a) limxa g(xf)(x)1 d) limxa (f(x) g(x))2b) limxa(f(x) g(x)) e) limxa (g(xf))(2x) 1c) limxa(f(x))g(x) f) limxa gf((xx))bca) Si c 1 y b 0, vale , y si c 1 y b 0, es una indeterminacin.b) Si c 0c) Si b c 0, es una indeterminacin.d) Existe siempre.e) Existe siempre.f) Siempre es una indeterminacin.8.30. Si limxa(f(x) g(x)) b y limxaf(x) c, calcula limxa2g(x).Como limxag(x) b c, entonces limxa2g(x) 2(b c)f(x)g(x) 1f(x)3OYX11107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 4950 SolucionarioSolucionario8.31. Si limxaf(x) b y g(x) coincide con f(x) excepto en x a, qu puedes decir sobre limxag(x)?Que limxag(x) limxaf (x) b8.32. Si no existe limxaf(x) ni limxag(x), no existe necesariamente limxa(f(x) g(x))?Puede existir. Si, por ejemplo, f (x) x x1, g(x) x2 xx 1, entonces f (x) g(x) x2 x2x y tenemos queno existe limx0f (x) ni limx0g(x) y, sin embargo, s existe limx0f (x) g(x) 2.Clculo de lmites e indeterminaciones8.33. Utiliza las propiedades de los lmites para determinar el valor de los siguientes:a) limx2xx31 c) limx0 2xx2 ++14 e) limx5 2xx2253x g) limx52xx74b) limx32xx31 d) limx1(x 3)2x1 f) limx2x2 24 h) limx3(x 5)x3a) 5 c) 2 e) 2250 74 g) 33 1b) 0 d) 21 12 f) 14 h) 18.34. Halla los siguientes lmites indeterminados.a) limx2xx224 c) limx2e) limx0x23xx g) limh0(3 hh)2 9b) limx5x2 x27x2510 d) limx05 xx 5 f) limx9x2 x10x3 9 h) limx11xxx2a) limx2(x x2)(x2 2) 4b) limx5((xx25))((xx55)) 130c) limx22x(2 2 x)(2x x) 116d) limx05 xx 5 55xx55 limx0x(5 xx 5) 215 105e) limx0x(x3x1) 13f) limx9 limx0 418g) limh0h(6h h) 6h) limx11xxx2 11xxxxxx22 limx1 3 (1 x)x(1 x)(x2 x 1)(x x2)(1 x)x 9(x 1)(x 9)(x 3)(x 3)(x 3)(x 1)(x 9)(x 3)1x 124 x2107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 50Solucionario 518.35. Calcula limx2f(x) con f(x) limx2f (x) limx2(3x 7) 13 y limx2f (x) limx2(x2 9) 13, luego limx2f (x) 138.36. Calcula los siguientes lmites en el infinito.a) limx3xx2211 e) limx 32x 2x3 1b) limxx2 3 x x1 f) limxx2x 34 1c) limxx2 1x x 11 g) limx 4xx52d) limvx3 2xx3 1 h) limx(x 1 x)a) limx3xx2211 13 e) limx 32x 2x 3 1 0b) limxx2 3 x x1 0 f) limxx2x 34 1 0c) limxx2x2x 1 g) limx4xx52 2d) limxx3 2xx3 1 2 h) limx limxx 11 x 0 8.37. Halla limxf(x) y limxf(x) para f(x) .Como f (x) se tiene que limxf (x) limxxx21 1 y limxf (x) limxxx12 1.8.38. (TIC) Utiliza la calculadora para conjeturar el valor de limx01 x2x 1 y comprueba posteriormente si tuconjetura es correcta.limx01 x2x 1 limx01 x2x 1 1122xx11 limx0x(1 2x2x 1) 1xx12 si x 2xx21 si x 2x 2x 1x 2x 1(x 1 x) (x 1 x)x 1 x3x 7 si x 21 si x 2x2 9 si x 2x 1 0,1 0,01 0,0011 x2x 1 1,36603 1,04772 1,00498 1,0005107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 5152 SolucionarioSolucionario8.39. (TIC) Utiliza la calculadora para hallar limx2x3x.Haciendo una tabla para algunos valores vemos claramente que limx2x3x 0.8.40*.Calcula los siguientes lmites.a) limx1 x2 21 x2x1 c) limx1 x2 21 x2x1b) limx1 x2 31 x2x1 d) limx5 x2 x25 x 15a) limx1 x2 2 1 x 2x 1 limx1 2 x22x(x 1 1) limx1 2 x22x2 12x b) limx1 x2 3 1 x 2x 1 limx1 3 x22x(x 1 1) limx1 3 x22x2 12x c) limx1 x2 2 1 x 2x 1 limx1 2 x22x(x 1 1) limx1 2 x22x2 12x d) limx5 x2 x 25 x 1 5 limx5 x x2 (x 255) limx5 x2 525 Estudiamos los lmites laterales: limx5x2525 , limx5x2525Por tanto, no existe el lmite. Asntotas8.41. Calcula las asntotas verticales y horizontales de la funcin f(x) xx12 y esboza la grfica de sta.Vertical x 2: limx2f(x) ; limx2f(x) Horizontal y 1: limxf (x) limxf (x) 18.42. Tiene asntotas verticales la funcin f(x) 13xx2?No, pues su denominador no se anula nunca.x 10 50 1002x3x 0,9766 1,1 1010 7,8 1025OYX11107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 52Solucionario 538.43. Di de qu tipo son las asntotas de cada una de las funciones dadas por las siguientes grficas, y da suecuacin si sta resulta evidente.a) Asntota horizontal y 1b) Asntota horizontal y 0, asntotas verticales en x 1, x 2c) Asntota horizontal y 0d) Asntota vertical x 2, asntota oblicua y x 18.44. De una cierta funcin f sabemos que limx2f(x) y limx3f(x) . Escribe una posible frmula para f(x).En x 2 y en x 3 hay asntotas verticales, luego debe anularse el denominador. ste puede ser, por ejemplo,(x 2)(x 3). El numerador se elige para que el signo sea el adecuado. Escribiendo la funcin como f (x) (x 2x2)(x5 3) comprobamos que se verifican las condiciones.8.45. Obtn las asntotas oblicuas de las siguientes funciones.a) f(x) xx211 c) f(x) 2x3x2 x2 1b) f(x) x2 2xx 1 d) f(x) x 3 1xa) Como f (x) xx211 x 1 x 21, la asntota es y x 1. b) Como f (x) x2 2xx 1 x 2 1x, la asntota es y x 2.c) Como f (x) 2x3x2 x2 1 2x x52x21, la asntota es y 2x.d) Como f (x) x 3 1x, la asntota es y x 3. O XY22d)b)O XY11O XY121 XY22a) c)107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 5354 SolucionarioSolucionario8.46. Encuentra, sin operar, la asntota oblicua de cada una de las siguientes funciones.a) f(x) x 4 1x c) f(x) 3x 12 x 52b) f(x) x 2 3x d) f(x) x 1 x 32a) y x 4 c) y 3x 12b) y x 2 d) y x 1 8.47. Considera la funcin f(x) a x bc siendo a, b y c nmeros reales. Calclalos sabiendo que: La grfica de f presenta en una asntota horizontal de ecuacin y 2. La grfica de f presenta en x 1 una asntota vertical. El punto (6, 3) pertenece a la grfica de f.Como limxf (x) a, debe ser a 2. 1 c 0, luego c 1. f (6) 2 6 b1 3, luego debe ser b 5. As pues, la funcin es f (x) 2 x 51.8.48. Obtn las asntotas horizontales y verticales de la funcin f(x) (x (x1)(x5)23) y esboza la grfica de f. Asntotas verticales x 1, pues limx1f (x) ; limx1f (x) x 3, pues limx3f (x) ; limx3f (x) Horizontal y 1, pues limxf (x) limxf (x) 18.49. Si f(x) 2x2xx2 1, demuestra que f (x) se puede escribir como f (x) 2x 5 x 92. Tiene algunaasntota horizontal f (x)? Y vertical? Y oblicua?Al dividir 2x2 x 1 entre x 2 obtenemos de cociente 2x 5 y de resto 9, luego f (x) 2x 5 x 92.f(x) no tiene asntotas horizontales, pues limxf (x) ; limxf (x) .Tiene una asntota vertical en x 2, pues limx2f (x) ; limx2f (x) . y 2x 5 es asntota oblicua, pues limx(f (x) (2x 5)) limxx 92 0;limx(f (x) (2x 5)) limxx 92 0.OYX11107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 54Solucionario 55Continuidad8.50. Seala los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y di de qu tipo son.a) x 3 de salto finito, x 1 evitable y x 4 de salto infinitob) x 3 de salto finito y x 3 de salto infinito8.51. Calcula, si los hay, los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones y clasifcalos.a) f(x) xx31 c) f(x) b) f(x) d) f(x) xx2 24a) x 1. De salto infinito c) Es continua siempreb) x 2. Evitable d) x 2. Evitable8.52. Si f y g son funciones continuas con f (2) 7 y limx2(3f(x) 2g(x)) 1, calcula g(2).limx2g(x) 10, y como g es continua en x 2, entonces g(2) 10.8.53. Explica por qu las funciones dadas son discontinuas en el punto cuya abscisa se seala:a) f(x) xx224 en x 2b) f(x) en x 1c) f(x) en x 2a) Porque no existe f (2).b) Porque no coincide limx1f (x) 3 con f (1) 0. c) Porque no existe limx2f (x), ya que limx2f (x) 1 y limx2f (x) 1.xx22 si x 20 si x 2xx311 si x 10 si x 1xx224 si x 20 si x 2xx224 si x 24 si x 2O XY11a)XY11b)107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 5556 SolucionarioSolucionario8.54. Halla el valor de a para el que la funcin f(x) sea continua en todos los puntos.Se debe verificar que el lmite de f (x) cuando x tiende a 1 exista, por lo que los lmites laterales deben coin-cidir:Por tanto, a 2 a 2. Resolviendo la ecuacin, se tiene que a 2.Para a 2, la funcin queda as: f (x) Para a 2, limx1f (x) 0, al igual que f (1), por lo que limx1f (x) f (1) y la funcin es continua.8.55. (PAU) Representa la siguiente funcin y estudia su continuidad en el punto x 0.f(x) No es continua en x 0 al presentar una discontinuidad de saltofinito.8.56. Dibuja una posible grfica de una funcin continua f tal que f (0) 1 y f (4) 8, y comprueba si existe al-gn nmero c entre 0 y 4 tal que f (c) 3.Crees que la ecuacin x5 2x 1 7 tiene alguna solucin comprendida entre 1 y 2?El problema es equivalente a preguntar si la ecuacinx5 2x 6 0 tiene alguna solucin comprendida entre 1 y 2.La respuesta es s, porque si consideramos la funcin f(x) x5 2x 6vemos que es una funcin continua y que f(1) 7 y f(2) 22, luegosu grfica corta al eje de abscisas entre 1 y 2.x2 1 si x 0(x 1)2 si x 02x 2 si x 12x2 2 si x 1limx1f (x) a 2limx1f (x) a 2ax 2 si x 1ax2 2 si x 1OYX11OYX11107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 56Solucionario 57Lmites en situaciones concretas8.57. Antes de comenzar la produccin en serie, una empresa aeronutica ha fabricado 3 aparatos para vender-los, despus de calcular los gastos de fabricacin, realizar el estudio de mercado, etc., por un total de 9 mi-llones de euros. Una vez efectuado este trabajo, comienza la produccin en serie, siendo entonces de 0,3millones de euros el coste de fabricacin de cada avin. Se representa por x el nmero de aviones fabrica-dos en serie y por f (x) el precio total de un avin para x aviones construidos.a) Explica por qu f(x) 0,x3x39 para x 0.b) Calcula limxf(x) y explica en trminos econmicos el valor obtenido.a) Para fabricar x aviones en serie, primero fabricaron 3 con un coste de 3 millones cada uno, y despus, x avio-nes a 0,3 millones cada uno, luego el precio total de los x 3 aviones ha sido de 0,3x 3 3 0,3x 9millones de euros. As pues, el precio medio por unidad construida en serie es de f (x) 0,x3x39 con x 0.b) limxf (x) limx0,x3x39 0,3. El gasto inicial para la fabricacin de los tres prototipos no encarece el produc-to si posteriormente se fabrica una gran cantidad de aparatos en serie.8.58. En un aparcamiento pblico se cobran 3 euros por la primera hora o fraccin y 2 por cada hora o fraccinsiguiente, hasta llegar a un mximo de 12 euros por un da.a) Dibuja una grfica que refleje el precio de dejar el coche en ese aparcamiento, como funcin del tiempoque permanece all.b) Estudia los puntos de discontinuidad de esta funcin y su significado para alguien que deje su coche enese aparcamiento.La funcin es discontinua en los puntos de abscisa x 1, x 2, x 3, x 4 y x 5. Esto significa que diferencias de pocos mi-nutos pueden hacerte pagar un euro ms si la estancia ha sido pr-xima a un nmero entero de horas.8.59. Las conclusiones de un estudio demogrfico establecen que el nmero de habitantes de una poblacinvendr dado en los prximos aos por la funcin f(t) siendo t el nmero de aos trans-curridos.a) Cul es el tamao actual de la poblacin?b) Si esta funcin fuese vlida indefinidamente, se estabilizara el tamao de la poblacin?a) f (0) 5000 individuos.b) limtf (t) limt 7500. S, se estabilizara en 7500 individuos.8.60. El rendimiento (medido de 0 a 100) de cierto producto en funcin del tiempo de uso (x, en aos) viene dadopor la siguiente expresin: f(x) 8,5 1 3xx2, x 0.Por mucho que pase el tiempo, puede llegar a ser el rendimiento inferior al que el producto tena cuandoera nuevo?No, pues limxf (x) limx 8,5 1 3x x2 8,5, luego se mantendr al menos como a x 0 aos.15 000t 10 0002t 215 000t 10 0002t 2OYX11107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 5758 SolucionarioSolucionarioPROBLEMAS8.61. El nmero de individuos, en millones, de una poblacin viene dado por la funcin f(t) (1t83t)22 donde t esel tiempo medido en aos desde t 0. Calcula la poblacin inicial y el tamao de la poblacin a largo pla-zo cuando el tiempo tiende a infinito.Poblacin inicial f (0) 9 millones de habitanteslimtf (t) limt (1t83)t22 1 milln de habitantes a largo plazo8.62. (PAU) Se ha investigado el tiempo T, en minutos, que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en fun-cin del tiempo de entrenamiento x, en das, obtenindose que:T(x) a) Justifica que la funcin T es continua en todo su dominio.b) Se puede afirmar que cuanto ms se entrene un deportista, menor ser el tiempo en realizar la prueba?Algn deportista tardar ms de 10 minutos en finalizar la prueba?c) Por mucho que se entrene un deportista, ser capaz de hacer la prueba en menos de 3 minutos? Y enmenos de 2 minutos?a) En (0, 30) la funcin es continua, pues en ese intervalo el denominador de x30030 no se anula.Lo mismo ocurre con la funcin (x 1151)2(5x 5) 2, pues los puntos en los que es discontinua (15 y 5) nopertenecen al intervalo (30, ) en los que T toma esa expresin.Veamos qu ocurre en x 0 y x 30. T(0) 10, limx0T(x) limx0x30030 10T(30) 5, limx30T(x) limx30x30030 5 limx30T(x) limx30 (x 1151)2(5x 5) 2 5As pues, T es continua en su dominio.b) Como en ambas expresiones los numeradores son fijos y los denominadores son cada vez mayores y la fun-cin es continua, entonces es decreciente. As pues, el mximo valor lo toma en cero, que es 10.Ningn deportista puede tardar ms de 10 minutos.c) Como limx (x 1151)2(5x 5) 2 2 y la funcin es decreciente, se concluye que entrenando lo suficiente sepuede hacer en menos de 3, pero nunca en menos de 2, aunque s puede quedar muy prximo a 2 minutossi entrena muchsimos das.8.63. La temperatura (en grados centgrados) de un trozo de metal sumergido en una solucin durante 9 horasviene dada por T(t) 10 120t 5t, 0 t 9. Halla:a) La temperatura inicial del metal.b) A cunto asciende la temperatura del metal al final del proceso?a) T(0) 30 Cb) T(9) 33 Cx30030 si 0 x 30(x 1151)2(5x 5) 2 si x 30107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 58Solucionario 598.64. Las prdidas o ganancias de una empresa, expresadas en centenares de miles de euros cuando han trans-currido t aos, vienen reflejadas por la funcin f(t) 2tt24.a) Gana la empresa en los dos primeros aos?b) Cunto gana el 5.o ao?c) Existe lmite para las ganancias? En caso afirmativo, cul es el lmite?a) f (2) 0, luego no gana nada en los dos primeros aos.b) f (5) 0,86 centenares de miles de euros, es decir, 86 000 euros.c) S, y el lmite es limt 2tt24 2 cientos de miles de euros, es decir, 200 000 euros.8.65. (PAU) El precio en euros de x litros de aceite comprados en una almazara viene dado por la funcin P(x) a) Determina el valor de la constante a para que la funcin P(x) sea continua.b) Si se comprasen muchsimos litros de aceite, a cunto saldra aproximadamente el precio de cada litro?a) Como deben coincidir los lmites laterales, 60 400a 2000, que tiene por solucin a 4.b) limx4x2 x2000 2 euros cada litroPROFUNDIZACIN8.66. Hay algn nmero a para el que exista limx2? Si es as, calcula a y dicho lmite.Como x2 x 2 0 si x 2, para que exista el lmite, debe ser 3x2 ax a 3 0 si x 2. Resol-viendo 12 2a a 3 0 obtenemos a 15.limx23x2x215xx218 limx23((xx22))((xx13)) 18.67. Nos dicen que la funcin f(x) es continua en todos los nmeros reales.Cul es el valor de a?Debe ser limx3f (x) limx3f (x) 1. Como x2 (a 3)x 3a (x 3)(x a), tenemos que limx3f (x) limx3(x x3)(x3 a) 3 a y 3 a 1 si a 2.8.68. Si f es continua en a y f (a) 0, es posible que en cualquier intervalo centrado en a se verifique que ftome algn valor negativo?No, pues si en cualquier intervalo centrado en a tomara alguna vez un valor negativo, entonces el limxaf (x) no se-ra positivo y, por tanto, no podra coincidir con f (a), es decir, f no sera continua en a.3x2 ax a 3x2 x 23x si 0 x 20ax2 2000 si x 20si x 31 si x 3x2 (a 3)x 3ax 3107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 5960 SolucionarioSolucionario8.69*.a) Si f es una funcin polinmica de 3.er grado, puedes asegurar que corta alguna vez al eje de abscisas?Justifica la respuesta.b) Considera la funcin g(x) 1f(x)x2 donde f es una funcin polinmica de 3.er grado. Tiene g asntotasverticales? Y oblicuas? Justifica las respuestas.a) S, porque al ser de grado impar, seguro que se verifica que los lmites limxP(x) y limxP(x) tienen distinto sig-no, y al ser continua, si la funcin toma valores positivos y negativos, seguro que debe cortar al menos unavez al eje de abscisas.b) Seguro que tiene al menos una asntota vertical, pues, como vimos en a, f (x) se anula al menos una vez y elnumerador no se anula nunca.Carece de asntota oblicua, pues tiene asntota horizontal, ya que al tener f (x) grado mayor que 2,limx1f(x)x2 limx1f(x)x2 0.8.70. Encuentra una funcin continua f tal que: limxf(x) 0 y f(1010) 10100f (x) x x2k. Como f (1010) 10100, entonces 10110020k 10100, de donde k 10120 1010 y f (x) x 101x202 1010.8.71. Es posible elegir los nmeros a, b, c y d para que limxf(x) siendo f(x) acxxbd?El lmite ser infinito si el grado del numerador es mayor que el del denominador, luego debe ser c 0, y paraque sea positivo, debe ser a 0 y d 0 o a 0 y d 0.8.72. Si f(x) 1 2xx2 71, puedes asegurar que f tiene asntotas horizontales? Y oblicuas? Y verticales?Como limxf (x) limxf (x) 1, f tiene una asntota horizontal de ecuacin y 1 y, por tanto, no tiene asntotasoblicuas. Como D(f ) R, f no tiene asntotas verticales.8.73. Calcula el dominio de la funcin f (x) 3 x 11 3x2 9 y obtn sus asntotas.D(f ) R {1, 3} Como limx1f (x) ; limx1f (x) y limx3f (x) ; limx3f (x) , entonces x 1 y x 3 son las asntotasverticales de la funcin.Como limx 3 x 1 1 3x 2 9 limx 3 x 1 1 3x 2 9 3, y 3 es la asntota horizontal.107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 60Solucionario 618.74. Considera la siguiente funcin a trozos:f(x) a) Calcula los valores de a y b para que sea continua para todo x.b) Haz una grfica de la funcin obtenida en el apartado anterior.a) Para que sea continua en el 2 debe ocurrir que 8 a 1, es decir, que a 9, y para que sea conti-nua en el 1 debe ocurrir que 4 b 3, esto es, b 7. La funcin queda de la forma:f(x) b)8.75. Si la funcin f(x) es continua en todos los nmeros reales, calcula a y b.Para que sea continua se debe cumplir: f (1) a b limx1f (x) limx1(ax b) limx1f (x) limx1(2bx2) 2b y f (3) 18b limx3f (x) limx3(2bx2) limx3f (x) limx3(2x 3) 9Luego se deben cumplir simultneamente las condiciones As pues, a b 12.a b 2b18b 9ax b si x 12bx2 si 1 x 32x 3 si x 3si x 2si 2 x 1si 1 x4x 9x2 57x 34x a si x 2x2 5 si 2 x 1bx 3 si 1 xOYX11107625_SOL_08 30/3/09 13:49 Pgina 61 /ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 100 /GrayImageDepth -1 /GrayImageDownsampleThreshold 1.00000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 100 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.00000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName (http://www.color.org) /PDFXTrapped /Unknown /Description >>> setdistillerparams> setpagedevice

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