Investigacion Metodos Numericos

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INVESTIGACION

METODOS NUMERICOS

Contenido5.- SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES25.1 METODOS EXPLICITOS E IMPLICITOS PARA RESOLVER ECUACION DE CALOR35.2.- METODO PARA RESOLVER LA ECUACION DE ONDAS4ECUACION DE ONDA EN DOS DIMENCIONES55.3 ECUACION DE POISSION Y UNA INTRODUCCION ALOS ELEMENTOS FINITOS6INTRODUCCION ALOS ELEMENTOS FINITOS6UNIDAD 6.- REGRECION Y APROXIMACION96.1.- REGRECION LINEAL96.2 REGRECION POLINOMIAL10

5.- SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

Se abordara el problema de la solucin de una ecuacin de onda unidimensional que corresponde a la forma: La solucin de la ecuacin existe en un palo general espacio-tiempo. El valor de la variable dependiente Y se determina entonces en todos los puntos de la red sobre el intervalo deseado.El procedimiento numrico comienza utilizando los valores conocidos de la condicin inicial y se procede a partir de ah en una progresin rengln por rengln conforme avanza el tiempo, satisfaciendo siempre las condiciones de frontera especificadas conforme a la solucin progresa.

Anlisis numrico red para la solucin.Se debern sustituirse dos ecuaciones de derivacin parcial numricas de acuerdo a lo establecido en el mtodo de las diferencias finitas, en particular

De la susticion resulta

Despejando la incgnita

Donde C:

El valor de es importante cuando se considera la solucin numrica de una ecuacin diferencial parcial. Se obtiene una solucin inestable para la ecuacin de onda cuando C > 1 y la solucin es estable cuando C =< 1.

5.1 METODOS EXPLICITOS E IMPLICITOS PARA RESOLVER ECUACION DE CALOR

El mtodo de CrankNicolson se basa en diferencias centrales en espacio y en la Regla del trapecio en tiempo, resultando as en un mtodo con convergencia de segundo orden en tiempo. Por ejemplo en una dimensin, si la ecuacin en derivadas parciales es:

Entonces, tomando:

La ecuacin para el mtodo de CrankNicolson es una combinacin del mtodo de Euler implcito y el mtodo de Euler explcito en la etapa de tiempo n + 1mtodo en s no es simplemente la media de estos dos mtodos, puesto que la ecuacin depende implcitamente de la solucin):

La funcin F debe ser discreteada espacialmente mediante diferencias centrales. se trata de unmtodo implcito: para obtener el valor deuen el "siguiente instante de tiempo", debe resolverse un sistema de ecuaciones algebraicas el sistema de ecuaciones algebraicas tiene asociada unamatriz tridiagonaly puede ser resuelto eficientemente mediante algoritmos adaptados a este tipo de matrices, que son de orden, mientras que los mtodos habituales (para resolucin de sistemas lineales con matrices llenas) son de orden.

5.2.- METODO PARA RESOLVER LA ECUACION DE ONDAS

La ecuacin de onda es el ejemplo prototipo de una ecuacin diferencial parcial hiperblica. En su forma ms elemental, la ecuacin de onda hace referencia a una funcin u(x,t) que satisface:Dondees ellaplacianoy dondees una constante equivalente a la velocidad de propagacin de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20C, esta constante es de cerca de 343 m/s (vasevelocidad del sonido). Para unacuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensin.En este caso,deber ser remplazado por lavelocidad de fase:

Otra correccin comn en sistemas realistas es que la velocidad puede depender tambin de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuacin de onda no lineal:

Esto tambin significa que el comportamiento de una onda se puede analizar al dividir la onda en sus componentes. La transformada de Fourier divide una onda sinusoidal en sus componentes y es til para el anlisis de la ecuacin de onda.

ECUACION DE ONDA EN DOS DIMENCIONES En un espacio de dos dimensiones, la ecuacin de onda es:

Podemos utilizar la teora tridimensional para resolver este problema si consideramos a u como una funcin de tres dimensiones que es independiente de la tercera dimensin. Si:Entonces la frmula de la solucin en tres dimensiones se convierte en:Donde y son las dos primeras coordenadas en la unidad esfrica, y d es el elemento de rea en la esfera. Esta integral puede ser rescrita como una integral sobre el disco D con centro en (x,y) y radio ct:Es evidente que la solucin en (t,x,y) dependa no solo de la informacin en el cono de luz donde:

5.3 ECUACION DE POISSION Y UNA INTRODUCCION ALOS ELEMENTOS FINITOS

Su nombre se lo debe al matemtico, gemetra y fsico francs Simon-Denis Poisson, En matemtica y fsica, la ecuacin de Poisson es una ecuacin en derivadas parciales con una amplia utilidad en electrosttica.La ecuacin de Poisson se encuentra definida como:Dondees eloperador laplaciano, yfy son funciones reales o complejas. En un sistema decoordenadas cartesianastridimensional, toma la forma:Sif= 0, la ecuacin se convierte en laecuacin de Laplace:

INTRODUCCION ALOS ELEMENTOS FINITOS

El mtodo de los elementos finitos (MEF) permite realizar un modelo matemtico de clculo del sistema real, ms fcil y de manera ms econmica, de modificar que un prototipo. Sin embargo no deja de ser un mtodo aproximado de clculo debido a las hiptesis bsicas del mtodo. Los prototipos, por lo tanto, siguen siendo necesarios, pero en menor nmero, ya que el primero puede acercarse bastante ms al diseo ptimo. El mtodo de los elementos finitos como formulacin matemtica es relativamente nueva; aunque su estructura bsica es conocida desde hace bastante tiempo, en los ltimos aos ha sufrido un gran desarrollo debido a los avances informticos.

Han sido precisamente estos avances informticos los que han puesto a disposicin de los usuarios gran cantidad de programas que permiten realizar clculos con elementos finitos.

Carrera: Ingeniera ElctricaNombre: Brandon Casas LedezmaMatrcula: S13004816Experiencia Educativa: Mtodos Numricos.Tema: Unidad VI.- REGRESIN Y APROXIMACIN..

Acadmico: Ing. Claudio Velzquez Acevedo

UNIDAD 6.- REGRECION Y APROXIMACION

6.1.- REGRECION LINEAL

Si empleamos un sistema que conste de coordenadas cartesianas para representar la distribucin bidimensional, obtendremos un conjunto de puntos conocido con el diagrama de dispersin, cuyo anlisis permite estudiar cualitativamente, la relacin entre ambas variables tal como se ve en la figura. El siguiente paso, es la determinacin de la dependencia funcional entre las dos variables x e y que mejor ajusta a la distribucin bidimensional.

La regresin nos permite adems, determinar el grado de dependencia de las series de valores X e Y, prediciendo el valor y estimado que se obtendra para un valor x que no est en la distribucin.Vamos a determinar la ecuacin de la recta que mejor ajusta a los datos representados en la figura. Se denomina error si a ladiferencia yi-y, entre el valor observado yi, y el valor ajustado y= axi+b, tal como se ve en la figura inferior.

Los extremos de una funcin: mximo o mnimo se obtiene cuando las derivadas de s respecto de a y de b sean nulas. Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas del que se despeja a y b.1. Cuando r=1, la correlacin lineal es perfecta, directa.1. Cuando r=-1, la correlacin lineal es perfecta, inversa1. Cuando r=0, no existe correlacin alguna, independencia total de los valores X e Y.

6.2 REGRECION POLINOMIAL

Se lleva a cabo usando una prueba t para 2 = 0. Una estrategia para escoger d consiste en agregar trminos a la funcin media hasta que la prueba t para el termino de mayor grado resulte no significa. Tambin se puede utilizar una estrategia de eliminacin en la que se da un valor mximo para d y se eliminan los trminos en la funcin media.Un caso especial de la regresin polinomial es la regresin cuadrtica. Se tiene un solo predictor, la funcin media polinomial de grado d es:E (Y |X = x) = 0 + 1x + 2xCon el modelo de regresin lineal simple:E (Y |X) = 0 + 1X

Brandon Casas LedezmaPgina 3