Guia 10 - Variables Aleatorias Distribuidas Conjuntamente

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VARIABLES ALEATORIAS ESTADISTICA

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Ingeniera Civil Industrial Facultad de Ingeniera y Ciencias Geolgicas / Escuela de Ingeniera Estadstica Aplicada 1 2 Semestre 2011 1 / 11 Gua de Apoyo 10 Variables Aleatorias Distribuidas Conjuntamente 1. Latas de bebida son llenadas con una maquina cuya desviacin estndar es de 0,5 onzas. Asuma que los volmenes de llenado son variables aleatorias normales e independientes. a) Cul es la desviacin estndar del promedio de llenado de 100 latas? b) Si la media de volumen de llenado es 12,1 onzas, Cul es la probabilidad de que el promedio del volumen de llenado de 100 latas este bajo las 12 onzas? c) Cul debe ser la media de volumen de llenado para que el promedio de llenado de 100 latas est bajo las 12 onzas solo el 0,5% del tiempo? d) Determine el nmero de latas que se necesitan medir para que la probabilidad de que el promedio del volumen de llenado est bajo 12 onzas sea 0,01. 2. Sea el nmero de encomiendas que enva por correo un cliente seleccionado al azar, en cierta oficina de envos. Suponga que la distribucin de es como sigue: a) Considere una muestra aleatoria de tamao n = 2 (dos clientes) y sea X el nmero medio muestral de encomiendas enviadas. Obtenga la distribucin de probabilidad de masa (pmf) de X , es decir, del promedio muestral de encomiendas enviadas por cliente. b) Basndose en el inciso a) Cul es la probabilidad de que el promedio muestral de encomiendas enviadas sea como mximo 2,5 encomiendas? c) Otra vez considere una muestra aleatoria de tamao n = 2, pero ahora concntrese en la estadstica R: rango muestral (diferencia entre el valor mximo y el valor mnimo). Obtenga la distribucin de R. [Sugerencia: calcule el valor de cada resultado y utilice las probabilidades del inciso a)] d) Si se selecciona una muestra aleatoria de tamao n = 4. Cul es P(X 1,5)? 3. Una tienda vende dos tipos distintos de leche A y B. Las ganancias diarias por la venta de leche, se distribuye normalmente en cada caso. Se sabe que la ganancia media diaria por la venta de la marca A es de 600, con una desviacin tpica de 20; y que el 2,28% de las ganancias diarias obtenida por la venta de la marca B son superiores a 800 y que el 96,9% estn comprendidas entre 690 y 800. a) Calcular la media y la varianza de las ganancias diarias obtenidas por la venta de leche de la marca B. b) Cul ser el nmero mnimo de das que tiene que vender leche de la marca A para que la ganancia, por este concepto, supere las 21.900 con una probabilidad del 99,38%? c) Qu distribucin sigue la ganancia semanal (7 das) por la venta de leche? 4. Una fbrica de alfombras confecciona determinados modelos a medida. La superficie de las alfombras que los clientes demandan es una variable aleatoria que sigue una distribucin uniforme entre 3 y 6 m. El mes pasado fabricaron 81 alfombras. a) Si el precio de venta es de 12 el m de alfombra. Calcular la probabilidad de que el valor total de las ventas del ltimo mes supere los 4500 . b) Se desea estudiar el tipo de alfombra que suele solicitar el cliente. Para ello se calcula la media aritmtica de la superficie de las 81 alfombras. Con qu probabilidad estar comprendida entre 4,2 y 4,8 m? 5. Para la medicin de las fallas en un tipo de pieza determinada, una empresa manufacturera ha decidido realizar un estudio de los tiempos de ruptura. El experimento consiste en tomar las piezas y someterlas a dos tipos de esfuerzos con tiempos de ejecucin diferentes, es decir, la pieza se somete a un esfuerzo lateral hasta que presenta la primera fractura e inmediatamente se le aplica, adems, otro esfuerzo longitudinal hasta que colapsa. Para el estudio la empresa ha puesto a disposicin de los investigadores 100 piezas que sern testeadas cada da durante una semana (5 das). Si en promedio se tiene ms de un 22% de fallas bajo los 25 segundos, la empresa deber cambiar su proceso para mejorar la calidad. x 1 2 3 4p X (x) 0,4 0,3 0,2 0,1Ingeniera Civil Industrial Facultad de Ingeniera y Ciencias Geolgicas / Escuela de Ingeniera Estadstica Aplicada 1 2 Semestre 2011 2 / 11 a) Si se sabe que las distribuciones de los tiempos de aparicin de la primera grieta y el tiempo de colapso siguen distribuciones N(10; 0,09) y N(15, 0,25) en segundos, determinar la probabilidad de que la empresa deba cambiar su proceso de produccin. b) Si slo se efecta una medicin (slo se testean 100 piezas), determinar la probabilidad de tener que cambiar el proceso. 6. Una mquina expende bebidas, de manera que la cantidad de bebida suministrada es una variable aleatoria normal, de media 200 ml. y una desviacin tpica de 15 ml. Cul es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 36 bebidas sea, como mnimo 204 ml? 7. Sea la media muestral de una m.a. obtenida de una poblacin normal con varianza 100. Hallar el tamao muestral necesario para que 5 5 0,803P X . 8. Sean 1 16,....,X X e 1 36,....,Y Y dos muestras aleatorias simples de dos poblaciones independientes cuyas distribuciones son 0,4N y 1,3N , respectivamente. Calcular la probabilidad de que la media de la primera muestra supere a la de la segunda. 9. Se sabe que los sbados por la noche, el porcentaje de personas que conducen con mayor grado de alcohol en sangre que el permitido por la ley es del 70%. Sin embargo esta cifra se reduce el 40% los domingos por la noche. Durante un fin de semana, la polica de una determinada ciudad quiere realizar un control de alcoholemia y comparar los resultados de los dos das. Si decide elegir al azar 40 vehculos de los que circulan el sbado por la noche y 35 del domingo, calcular la probabilidad de que la proporcin muestral de conductores que superan el nivel de alcohol en sangre permitido por la ley haya descendido ms de un 10% del sbado al domingo. 10. Un inspector federal de pesos y medidas visita una planta de empacado para verificar que el peso neto de las cajas sea el indicado en stas. El gerente de la planta asegura al inspector que el peso promedio de cada caja es de 750g con una desviacin de 5g El inspector selecciona, al azar, 100 cajas y encuentra que el peso promedio es de 748g bajo stas condiciones, a) Qu tan probable es tener un peso de 748g o menos? b) Qu actitud debe tomar el inspector? 11. Se tiene una mquina de llenado para vaciar 500 gr. de cereal en una caja de cartn. Supngase que la cantidad de cereal que se coloca en cada caja es una v.a. normalmente distribuida con media 500 gr. y desviacin 20 gr. Para verificar que el peso promedio de cada caja se mantiene en 500 gr., se toma una muestra de 25 de stas en forma peridica y se pesa el contenido de cada caja. El gerente de la planta ha decidido detener el proceso y encontrar la falla cada vez que el valor promedio de la muestra sea mayor de 510 gr. o menor de 490 gr. Obtener la probabilidad de que el proceso se detenga. (R: 0,0124) 12. Supngase que el nmero de barriles de petrleo crudo que produce un pozo diariamente es una v.a. con una distribucin no especificada. Si se observa la produccin en 64 das, seleccionados de forma aleatoria, y se conoce la desviacin del nmero de barriles por da que es 16 Cul es la probabilidad de que la media muestral se encuentre a no ms de cuatro barriles de la produccin promedio diaria? (R: 0,9544) 13. Una compaa mantiene tres oficinas en cierta regin, cada una manejada por dos empleados. La informacin de salarios anuales (miles de dlares)es la siguiente: Oficina 1 1 2 2 3 3 Empleado 1 2 3 4 5 6 Salario 19,7 23,6 20,2 23,6 15,8 19,7 a) Suponga que dos empleados se seleccionan al azar de entre los seis (sin reemplazo). Determine la distribucin muestral del salario medio muestral . b) Suponga que una de las tres oficinas se selecciona al azar y denote por X1 y X2 los salarios de los dos empleados. Determine la distribucin muestral de . Ingeniera Civil Industrial Facultad de Ingeniera y Ciencias Geolgicas / Escuela de Ingeniera Estadstica Aplicada 1 2 Semestre 2011 3 / 11 14. Suponga que X1 y X2 tiene una distribucin normal bivariada de parmetros (1, 2, 1, 2, ) tal que 21 23, 7 0,15|E XX X , 12 10, 4 0, 6|E X XX y que 2 13, 64|V X X . Determine la media y varianza de X1 y X2. 15. Las edades de los futuros padres que van a tener a sus hijos en un determinado hospital pueden ser aproximadas por una distribucin normal bivariada con parmetros x = 28,4, x = 6,8, y = 31,6, y = 7,4 y = 0,82 (los parmetros con el ndice X se refieren a la edad de la mujer embarazada y los que tienen el ndice Y a los de su esposo). a) Determinar la proporcin de embarazadas de ms de 30 aos. b) Hallar la proporcin de hombres casados de 35 aos cuyas mujeres tienen ms de 30 aos. 16. Usted llega a la cola de un banco que cuenta con dos cajas para la atencin de clientes (el tiempo de atencin en cada caja es exponencial con media 4 minutos). Si ambas cajas estn ocupadas y usted es el segundo en la cola: a) Encuentre la funcin densidad de probabilidad para el tiempo que le tomar salir del banco. b) Cunto tiempo espera estar en el banco? c) Cul es la probabilidad de que espere en la cola ms de 10 minutos? d) Cul es la probabilidad de que transcurran menos de 20 minutos antes de que se retire del banco? e) Cul es la probabilidad de que usted se demore ms en la cola (tiempo de espera) que en su atencin (tiempo de servicio)? f) Cul es la probabilidad de que la persona que estaba antes que usted en la cola salga del banco despus que usted? 17. Usted llega a la fila de un banco que cuenta con dos cajas para la atencin de clientes (el tiempo de atencin en cada caja es exponencial con media 4 minutos). Si ambas cajas estn ocupadas y usted es el segundo en la fila: a) Encuentre la funcin densidad de probabilidad para el tiempo que le tomara en salir del banco. b) Cunto tiempo espera estar en el banco? c) Cul es la probabilidad de que espere en la fila ms de 10 minutos? d) Cul es la probabilidad de que transcurran menos de 20 minutos antes de que se retire del banco? 18. Tres alumnos estn rindiendo una prueba de alta complejidad. El tiempo que le toma a cualquier alumno terminar su prueba es exponencial con media 3 horas. La prueba dura como mximo tres horas y media, por lo que el profesor le quitara la prueba a los alumnos que no la hayan terminado hasta ese momento. a) Encuentre la funcin densidad de probabilidad para el tiempo de duracin de la prueba. b) Cul es la probabilidad de que la prueba dure tres horas y media? [Responda esta pregunta usando la funcin antes encontrada y tambin respndala usando la distribucin binomial y compare los resultados] 19. Supngase que constituyen una muestra aleatoria de una distribucin normal con media y varianza . Suponiendo que el tamao muestral es 16, determine el valor de las siguientes probabilidades: a) ( ( ) ) b) ( ( ) ) 20. Supngase que constituyen una muestra aleatoria de una distribucin normal con media y varianza y sea . Determine los valores ms pequeos de para los cuales se satisfacen las siguientes relaciones: a) 221,5 0,95P . b) 2 2 21 0,82P . Ingeniera Civil Industrial Facultad de Ingeniera y Ciencias Geolgicas / Escuela de Ingeniera Estadstica Aplicada 1 2 Semestre 2011 4 / 11 21. Supngase que constituyen una muestra aleatoria de tamao 2 de una distribucin normal con media 0 y varianza . Determine el valor de [( )( ) ]. Sugerencia: ( ) [( ( ) ) ( ( ) ) ] 22. La duracin en horas de un electrodomstico comprado a la empresa A, XA, es una variable aleatoria 21200, AN . El 95% de los electrodomsticos duran entre 1180 y 1220 horas. Si se extraen 100 m.a.s de 7 electrodomsticos cada una: a) Qu probabilidad existe de que la media muestral supere las 1196 horas al menos en 90 de las 100 muestras? b) Cul es la probabilidad de que desviacin estndar muestral supere el valor de 13 horas en 20 muestras como mximo? 23. Se sabe que en una determinada ciudad, la cantidad mensual de gasolina utilizada por cada vehculo sigue una distribucin normal con media 160 litros. Si se toma una muestra de nueve observaciones y se obtiene una varianza muestral de 81 2l , cul es la probabilidad de que la media muestral est comprendida entre 155,224 y 164,776? 24. Un fabricante de cigarrillos asegura que el contenido promedio de nicotina, en una de sus marcas, es de 0,6 mg por cigarrillo. Una organizacin independiente mide el contenido de nicotina de 16 cigarrillos de esta marca y encuentra que el promedio y la desviacin son de 0,75 y 0,175 mg, respectivamente, de nicotina. Si se supone que la cantidad de nicotina de estos cigarrillos es una v.a. normal, qu tan probable es el resultado muestral dado supere el dato proporcionado por el fabricante? (R: Muy poco P (T > 3,429) < 0,005)) 25. Para una muestra aleatoria simple de tamao 4 de la variable X que sigue distribucin N ( , 2) calcular: a) La probabilidad de que la media muestral se diferencie de la terica en ms de 1 unidad. b) La probabilidad de que la varianza muestral sea menor de 2,37. 26. Un fabricante de cuerdas elabora stas a base de fibras de nylon. Cada fibra tiene una resistencia media de 5 kg. con una desviacin tpica de 300 gramos. Se pretende que las cuerdas soporten 1.000 kg., al menos, sin romperse. a) Con cuntas fibras debe formarse cada cuerda para garantizar esa resistencia en el 99% de los casos? b) El fabricante decide utilizar 225 fibras en la composicin de cada cuerda. Cul es la probabilidad de que, al experimentar con 36 cuerdas, stas no soporten, por trmino medio, ms de 1.123 kg.? 27. Se supone que el peso, en kilogramos, de las personas se distribuye segn una v.a. de tipo N(70; 102). En un establecimiento comercial se dispone de un ascensor cuyo peso mximo soportado es de 800 kg, estando fijado en 600 kg el peso mximo admisible, por razones de seguridad. a) Calcular la probabilidad de que se infrinjan las normas de seguridad si se suben ocho personas al ascensor. b) Si suben 10 personas al ascensor: i. Cul es la probabilidad de que el peso medio de esas personas no supere los 65 kg? ii. Cul es la probabilidad de que la desviacin del peso, para esas personas, no supere los 9 kg? c) Cuntas personas podrn subir al ascensor, como mximo, para poder afirmar, con probabilidad 0,95, que no se superar el peso mximo admisible?. Idem para el peso mximo soportado. 28. En la factura de telfono de un cliente aparece el consumo medio durante los aos que lleva con contrato (37 euros) y la desviacin de ese consumo (6 euros). a) Cul es la probabilidad de que ese cliente gaste entre 30 y 44 euros en el prximo mes? b) Qu consumo puede armar con una seguridad del 75% que no superar en la prxima factura? c) Si ahora le dicen que el consumo sigue distribucin normal, qu consumo puede armar con una seguridad del 75% que no superar en la prxima factura? 29. El seor Armando Mesa se jacta por sus habilidades como carpintero frente a sus amigos, afirmando lo siguiente: soy tan hbil como carpintero que soy capaz de construir una mesa de madera en un poquito ms de una hora. Un poco indignado y envidioso, uno de sus amigos le responde lo siguiente: lo que t dices es una mentira porque Ingeniera Civil Industrial Facultad de Ingeniera y Ciencias Geolgicas / Escuela de Ingeniera Estadstica Aplicada 1 2 Semestre 2011 5 / 11 la desviacin estndar del tiempo que te demoras en construir la mesa es bastante grande, por lo que es muy posible que a veces te demores mucho ms que una hora. Frente a esta afirmacin, Don Armando responde: Tengo un sobrino que estudia Ingeniera Civil Industrial en la UCN. Le pediremos a l que nos entregue el valor mximo que podra asumir la desviacin estndar de los tiempos de construccin. Le dir que requerimos que el valor que nos entregue sea tal que nosotros podamos tener un 90% de confianza en su veracidad. Luego de esta conversacin registraron algunos tiempos que Don Armando se demor en construir mesas, los cuales se consideran normalmente distribuidos. stos se muestran a continuacin: 69,5 73,3 75,8 77 79,7 83,7 71,9 73,5 76,1 77,9 79,9 72,6 75,5 76,2 78,1 80,1 73,1 75,7 76,2 79,6 82,2 93,7 Como ya se estar imaginando, usted es el sobrino(a) de Don Armando. Calcule lo que ste le pidi. ( 2 40,236 90% 6,3431 90%P P ) 30. Una empresa agrcola produce ajes en dos campos A y B. Los que produce en campo A tiene un peso N(100, 102), mientras que los de B ~ U(70, 110). Se venden en cajones de 50 unidades. Los ajes de menos de 80 grs. son chicos. a) Cuantos ajes de A y B debern colocarse, en cada caso, para que la probabilidad de que haya ms de 5 pequeos sea apenas inferior al 4%? b) Cul ser el peso y desvo de los cajones en ese caso? c) Si la produccin de A es el 50% del total: Qu porcentaje de produccin no ser envasada y de que campo? 31. Un camin puede transportar hasta 6 toneladas de carga. Si se van a cargar cajas con peso N(50, 2) en Kg. a) Cuntas cajas debern cargarse para tener una probabilidad de 0,1% de superar las 6 toneladas? b) Cul es la probabilidad de que al menos el 70% de las cajas transportadas pesen ms de 52 Kg.? c) Cul ser el peso mnimo que puede asegurarse transportara el camin si se cargan 100 cajas? d) Si al cargar las cajas al camin existe una probabilidad del 5% de daar una caja, Cul es la probabilidad de que resulten daadas al menos 20 cajas? 32. Un inspector federal de pesos y medidas visita una planta de empacado para verificar que el peso neto de las cajas sea el indicado en stas. El gerente de la planta asegura al inspector que el peso promedio de cada caja es de 750g con una desviacin de 5g. El inspector selecciona, al azar, 100 cajas y encuentra que el peso promedio es de 748g bajo stas condiciones, a) Qu tan probable es tener un peso de 748g o menos? b) Qu actitud debe tomar el inspector? 33. En la produccin de cierto material para soldar se sabe que la desviacin de la tensin de ruptura de este material es de 25 libras. Cul debe ser la tensin de ruptura promedio del proceso si, con base a una muestra aleatoria de 50 especmenes, la probabilidad de que la media muestral tenga un valor mayor de 250 libras es de 0,95? (255,82) 34. La variacin en el nmero de unidades diarias de cierto producto, el cual manejan dos operadores A y B, debe ser la misma. Con base en muestras de tamao nA = 16 das y nB = 21 das, los valores calculados de las desviaciones muestrales son sA = 8,2 unidades y sB = 5,8 unidades. Si el nmero de stas, manejado por los dos operadores, por da, son dos v.a. independientes que se encuentran aproximadas, en forma adecuada, por distribuciones normales, existe alguna razn para creer que el operador A produce unidades con menor variabilidad que el operador B? (Dudoso; P(F15,20 > 1,999) = 0,0741). 35. Se considera una v.a. discreta que toma los valores 1, 2 y 3, con probabilidades 1/6, 1/2 y 1/3, respectivamente. Se toman las posibles muestras aleatorias simples de tamao dos. a) Determinar la distribucin en el muestreo de la media muestral. b) Comprobar que la esperanza de la media muestral es igual a la media poblacional. c) Comprobar que la varianza de la media muestral es igual a la varianza poblacional dividida por el tamao muestral. 36. Se considera una v.a. discreta que toma los valores 1, 2, 3 y 4 con probabilidades 1/6,1/4,1/3 y 1/4 respectivamente. Se toman las posibles muestras aleatorias simples de tamao dos. Ingeniera Civil Industrial Facultad de Ingeniera y Ciencias Geolgicas / Escuela de Ingeniera Estadstica Aplicada 1 2 Semestre 2011 6 / 11 a) Determnese la distribucin en el muestreo de la media muestral. b) Comprubese que la esperanza de la media muestral es igual a la media poblacional. c) Comprubese que la varianza de la media muestral es igual a la varianza poblacional dividida por el tamao muestral. 37. Se considera una v.a. discreta que toma valores 1, 2 y 3, con probabilidades 1/6, 1/2 y 1/3, respectivamente. Se toman las posibles muestras aleatorias simples de tamao 3. a) Determnese la distribucin en el muestreo de la varianza muestral. b) Comprubese que la esperanza de la varianza muestral es igual a los dos tercios de la varianza poblacin. 38. El volumen de ventas aleatorio de una empresa oscila diariamente entre 96.500 y 103.500 . Determinar la probabilidad de que en un perodo de 100 das, el volumen de ventas supere la cifra de 10.005.000 , suponiendo que los volmenes diarios de ventas son independientes entre s. (0,4013) 39. Se considera una poblacin representada por una variable X, de media poblacional 25 y varianza 240. Si extraemos muestras de tamao 100 en m.a.s., cul ser la probabilidad de que el estadstico media muestral est comprendido entre 23,55 y 28,1? (0,8010) 40. Un aspecto importante del plan federal para la economa del ao 1981 es que los consumidores ahorrarn una porcin sustancial del ingreso que perciben, debido a una reduccin de los impuestos sobre la renta. Suponiendo que las estimaciones iniciales de la proporcin de los impuestos ahorrados, basadas en una muestra aleatoria de 35 economistas, tuvieron una media de 26% y una desviacin de 12%: a) Cul es la probabilidad aproximada de que una aproximacin de la media muestral, basada en una muestra aleatoria de 35 economistas, resulte desplazada a lo ms en 1% de la media de la poblacin de las estimaciones de todos los economistas? (0,3758) b) Es necesariamente cierto que la media de la poblacin de las estimaciones de todos los economistas es igual al porcentaje ahorrado del impuesto que se obtendr realmente? (No) 41. Cincuenta estudiantes del ltimo curso de la Facultad de CC. Econmicas de La Corua, decidieron vender camisetas para costear un viaje de fin de carrera. Como no estaban muy seguros del xito que iban a tener, adquirieron pocas camisetas; sin embargo, vendieron todas las unidades en tan poco tiempo que optaron por comprar ms. Sabiendo que el promedio de camisetas vendidas por alumno es de 30 y la desviacin de 6: a) Cul es el nmero mximo de camisetas que deben encargar para asegurar la venta total con una probabilidad del 90%? (1.445) b) Si por cada camiseta se obtiene un beneficio de 500 , cul es la probabilidad de que el beneficio global para sta ltima remesa de camisetas supere los 800.000 ? (0,0091) 42. Sean X e Y las desviaciones horizontal y vertical (sobre un plano), respectivamente, de un vehculo espacial tripulado con respecto al punto de aterrizaje de ste en el mar de la tranquilidad. Supngase que X e Y son dos variables aleatorias, independientes cada una, con una distribucin normal bivariada con medias nulas y varianzas iguales. Cul es la mxima desviacin permisible de X e Y, que cumplir con el requisito de la NASA de tener una probabilidad de 0,99, de que el vehculo aterrice a no ms de 500 pies del punto elegido, tanto en direccin vertical como horizontal? (177,94 pies) 43. En un experimento de aprendizaje una rata debe recorrer un laberinto (una red de rutas) hasta localizar una de las tres salidas posibles. En la salida 1 hay una recompensa de comida, lo que no ocurre en las salidas 2 y 3 (Si, por lo general, la rata elige la salida 1, es posible que se haya producido el aprendizaje). Si Yi es el nmero de veces que elige la salida i en recorridos consecutivos, supongamos que la rata elige una salida al azar en cada recorrido. a) Calcule la probabilidad de que n = 6 recorridos den como resultado Y1 = 3, Y2 = 1 y Y3 = 2. b) Calcule la probabilidad de que n = 6 recorridos haya salido por lo menos una vez por cada salida. c) Estime E(Y1) y V(Y1) para toda n. d) Calcule Cov(Y2, Y3) para cualquier n. e) Para cercioramos de la preferencia de la rata entre las salidas 2 y 3 podemos analizar Y2 - Y3. Calcule E(Y2 - Y3) y V(Y2 - Y3) para cualquier n. Ingeniera Civil Industrial Facultad de Ingeniera y Ciencias Geolgicas / Escuela de Ingeniera Estadstica Aplicada 1 2 Semestre 2011 7 / 11 44. Un pedido de 15 impresoras contiene cuatro con una caracterstica de mejoramiento de grficas, cinco con memoria adicional y seis con ambas caractersticas. De este conjunto se eligen al azar cuatro impresoras, sin reemplazo. Sean X, Y y Z las variables aleatorias que denotan el nmero de impresoras en la muestra que tienen mejoramiento de grficas, memoria adicional o ambas caractersticas respectivamente. a) Describa el rango de la distribucin de probabilidad conjunta de X, Y y Z b) Es multinomial la distribucin de probabilidad de X, Y y Z? Explique su respuesta. c) Determine la distribucin de probabilidad condicional de X dado que Y = 2. d) Determine las siguientes probabilidades: i. P(X=1,Y=2,Z=1) ii. P(X =1, Y =1), iii. P(X = 2|Y =1), iv. P(X = 1,Y =2 | Z = 1). e) Determine la distribucin de probabilidad condicional de X|{Y = 0, Z = 3}. f) Determine E(X) y V(X). 45. Supngase que un estudiante seleccionado al azar de una poblacin concreta va a realizar dos pruebas distintas A y B. Supngase, adems, que la calificacin media de la prueba A es 85 con una desviacin tpica de 10, que la calificacin media de la prueba B es 90 con una desviacin tpica de 16 y que las calificaciones de las dos pruebas tienen una distribucin normal divariada con una correlacin de 0,8 entre ellas. a) Si la calificacin del estudiante seleccionado al azar en la prueba A es 80, cul es la probabilidad de que su calificacin en la prueba B sea mayor que 90? b) Cul es la probabilidad de que la suma de las calificaciones del estudiante seleccionado al azar sea mayor que 200? c) Cul es la probabilidad de que el estudiante seleccionado al azar obtenga una mayor calificacin en la prueba A que en la B? 46. El tiempo medio que los alumnos de Ingeniera Industrial emplean para completar sus estudios es de 8 aos con una desviacin tpica de un ao. El jefe de carrera, interesado por la estadstica, selecciona, de forma aleatoria, a 36 alumnos. a) Cul es la probabilidad de que la duracin media de sus estudios est comprendida entre 7 y 9 aos? b) El jefe de carrera plantea un estudio ms ambicioso. A cuntos alumnos tendra que seleccionar, como mnimo, para garantizar, al 99%, que entre todos los alumnos seleccionados, sumen ms de 500 aos de permanencia en la carrera? c) En otra carrera de la misma universidad, la duracin media de los estudios es de 6 aos, con una desviacin tpica de 0,8 aos. Seleccionada una muestra de 49 alumnos, Cul es la probabilidad de que la diferencia en la duracin media de los estudios entre ambas muestras sea inferior a medio ao? 47. Un conocido producto de repostera es empaquetado, en fbrica, en grupos de 12 unidades, que se disponen en una cajita de cartn. El peso del producto, en grs., de una cajita es N(495; 282) y el peso del cartn con el que est hecha la cajita es exactamente de 5 grs. Para el transporte se utilizan pequeos contenedores de plstico, cuyo peso unitario, en gramos, es N(200; 132), y que contienen 9 cajitas con el correspondiente producto. a) Qu probabilidad hay de que un contenedor listo para el transporte pese ms de 4,5 kgs.? b) Cul es la probabilidad de que el peso de 16 contenedores completos, dispuestos para el transporte, supere los 75,54 kgs.? c) La mercanca se traslada en una furgoneta que admite hasta 900 kgs. de peso. Cuntos contenedores (con su correspondiente producto) pueden cargarse, como mximo, para no superar ese peso con una confiabilidad del 99%? d) Se elige al azar una muestra de 16 cajitas completas, cul es la probabilidad de que el peso medio por cajita est comprendido entre 493 y 507 grs.?; cul es la probabilidad de que la dispersin del peso, en esa muestra, supere los 35 grs.?. Si se desconoce la verdadera varianza de las cajitas, y en esta muestra resulta la desviacin tpica 30 grs., cul es la probabilidad que la media muestral sea menor a 480 grs.? Ingeniera Civil Industrial Facultad de Ingeniera y Ciencias Geolgicas / Escuela de Ingeniera Estadstica Aplicada 1 2 Semestre 2011 8 / 11 48. El nmero medio de entradas diarias que se venden en una sala de cine es 100 con una desviacin tpica de 50. El dueo quiere cerrar la sala para remodelarla. Los gastos asociados a esta remodelacin ascienden a 17.000 . a) Si el precio de cada entrada es de 4 y los costos fijos diarios son 100 , qu probabilidades tiene el propietario de recuperar el dinero invertido en un plazo de dos meses sin subir el precio de la entrada? b) Cuntos das necesitara el propietario para recuperar la inversin hecha, teniendo una probabilidad de ocurrencia de al menos 97,5%? 49. La cantidad promedio diaria de litros de cerveza demandada en el bar de Ruperto es 100, con una desviacin tpica de 25 litros. Si Ruperto en este instante cuenta con el dinero suficiente para hacer una gran inversin en litros de cerveza, y especficamente piensa en hacer una inversin para cubrir la demanda de los prximos 50 das, cuntos litros de cerveza debe comprar, si desea tener una probabilidad no mayor al 2,5% de quedarse en stockout? 50. Un jabn para lavavajillas de cierta marca se vende en tres tamaos: de 25, 40 y 65 onzas. Veinte por ciento de los compradores seleccionan la caja de 25 onzas, 50% la de 40 onzas y 30% la caja de 65 onzas. Sean X1 y X2 los tamaos de caja seleccionados por dos compradores independientes. a) Determine la distribucin de muestreo de X , calcule E X y comprela con . b) Determine la distribucin de muestreo de la varianza de muestral S2, calcule E(S2) y comprelo con 2. 51. Una empresa de transporte tiene tres tipos de camiones. El nmero medio de litros de combustible que llenan a los camiones de tipo A es de 300 litros, con una desviacin estndar de 40; los de tipo B, 250 de media y desviacin de 30; los de tipo C, 175 y 25. a) Si en una empresa llenan 51 camiones de tipo A, 42 de tipo B y 40 de tipo C. Cul es la probabilidad de que el nmero total de litros utilizados est entre 32500 y 33500 litros? b) Si la empresa planea destinar al consumo de los camiones tipo A durante otra semana un milln quinientas mil pesos, cul es el nmero mximo de camiones tipo A que podrn llenar, con una probabilidad del 95%, sabiendo que esa semana el combustible estar a 100 $/lt.? 52. Una empresa de alquiler de vehculos es rentable si el nmero total de coches alquilados en los 80 primeros das del ao es superior al nmero de motos alquiladas en todo el ao (360 das). Al da, el nmero de coches que esa empresa alquila es de 10, 11, 12, 13 y 14 con unas probabilidades de 0,2; 0,1; 0,4; 0,1 y 0,2 respectivamente y el nmero de motos alquiladas, tambin al da es de 1, 2, 3 y 4 con probabilidades de 0,2; 0,3; 0,3 y 0,2 respectivamente. Calcular la probabilidad de que el negocio sea rentable. 53. Se seleccionaron dos muestras aleatorias e independientes del nmero de puestos de trabajo creados en el ltimo mes por diferentes empresas de dos sectores econmicos (A y B). La informacin suministrada por las muestras es la siguiente: Empresas 1 2 3 4 5 6 N de empleados (Sector A) 13 14 21 19 15 15 N de empleados (Sector B) 18 19 20 22 31 26 Suponga que la distribucin del nmero de empleos creados en cada sector es normal. a) Como se desea estimar el verdadero promedio de puestos de trabajo creados para cada sector, se le pide que estime un valor, para cada sector, con el cual podemos afirmar, que por lo menos el verdadero promedio de puestos de trabajo creados es al menos dicho valor, con una confianza del 99%. A partir de sus clculos, en qu sector podramos afirmar que existe una tendencia a la mayor creacin de puestos de trabajo? b) Le parece corrector afirmar que existe una mayor variabilidad en la creacin de puestos de trabajo en el sector B que en el sector A, si consideramos que una mayor variabilidad significa que la desviacin estndar de los puestos de trabajo creados en el sector B es ms del doble que los de A? Ingeniera Civil Industrial Facultad de Ingeniera y Ciencias Geolgicas / Escuela de Ingeniera Estadstica Aplicada 1 2 Semestre 2011 9 / 11 54. Las edades de los futuros padres que van a tener a sus hijos en un determinado hospital pueden ser aproximadas por una distribucin normal bivariada con parmetros x = 28,4, x = 6,8, y = 31,6, y = 7,4 y = 0,82 (los parmetros con el ndice X se refieren a la edad de la mujer embarazada y los que tienen el ndice Y a los de su esposo). a) Determinar la proporcin de embarazadas de ms de 30 aos. b) Hallar la proporcin de hombres casados de 35 aos cuyas mujeres tienen ms de 30 aos. 55. Un inversionista planea invertir en acciones de General Motors (GM) y en oro. El asume que los retornos (cambio porcentual en el dinero invertido) de estas inversiones en cualquier da dentro del prximo ao dependen del estado de la economa. l identifica cuatro estados posibles en la economa: depresin, recesin, normal y auge. Gracias a la informacin recopilada, ha determinado que estos cuatro estados posibles ocurren con probabilidad 0,05; 0,30; 0,50 y 0,15. Para cada estado posible de la economa, tambin ha estimado los retornos en las acciones de GM y en oro. Esta informacin se resume a continuacin: Estado Economa Prob. Retorno GM Retorno Oro Depresin 0,05 -20% 5% Recesin 0,30 10% 20% Normal 0,50 30% -12% Auge 0,15 50% 9% Esta tabla nos muestra por ejemplo, que si en un da en particular el estado de la economa es de depresin, el inversionista estima que el precio de las acciones de GM disminuirn en un 20%, mientras que en el caso del oro aumentar en un 5%. a) Calcule la covarianza entre los retornos en las acciones de GM y del oro. Interprete. Qu podemos afirmar sobre el grado de asociacin lineal entre el retorno de las acciones de GM y del oro? b) Si el inversionista desea invertir US $10.000 en acciones, de los cuales el 60% lo har en acciones de GM, y el resto en oro, cunto dinero es de esperar que me retorne en un da en particular mi portafolio (cartera de acciones)? y cunto es la desviacin estndar de ste? c) Continuando con la informacin entregada en el inciso b), cul es la probabilidad que el inversionista, durante un ao (365 das), gane en promedio ms de US $1.500? [Sugerencia: Qu supuestos son necesarios?] 56. En la tcnica de evaluacin y revisin de programas (PERT, Program Evaluation and Review Technique) el inters est puesto en el comportamiento del tiempo total necesario para completar un proyecto, el cual es comprendido por un gran nmero de subproyectos. Sean X1, X2 , X3 tres variables aleatorias independientes que representan el tiempo de tres subproyectos. Si estos subproyectos estn en serie (es decir, es necesario que el primer subproyecto termine para que recin pueda comenzar el segundo, etc.), entonces el inters caer sobre la variable aleatoria Y = X1 + X2 + X3. Si los subproyectos estn en paralelo (es decir, pueden realizarse simultneamente), el inters caer sobre la variable aleatoria W = mx {X1, X2 , X3}. Si cada una de las tres variables aleatorias se encuentra distribuida segn la pdf 2 , 0 1 Xf x x x , con x expresado en meses. Determine: a) Si los tres subproyectos estn en serie, cul es la probabilidad de que el proyecto se termine como mximo en un mes ms? b) Si los tres subproyectos estn en paralelo, cul es la probabilidad de que el proyecto se termine como mximo en medio mes ms? 57. Un sistema electrnico est formado por tres componentes mayores (A, B y C) conectados en serie. Como se ve, el sistema electrnico slo funciona si los componentes A, B y C funcionan a la vez. El componente A es nico y su duracin es aleatoria y regida por una distribucin Weibull con parmetros y (en horas). El componente B est conformado por tres subcomponentes que son puestos en funcionamiento una vez que el anterior haya fallado, o sea, B1 funciona primero y cuando deja de hacerlo entra en funcionamiento B2, de la misma forma B3 funciona cuando B2 deja de hacerlo. Se sabe que B1 tiene un tiempo de duracin promedio de 6 Ingeniera Civil Industrial Facultad de Ingeniera y Ciencias Geolgicas / Escuela de Ingeniera Estadstica Aplicada 1 2 Semestre 2011 10 / 11 horas, pero B2 y B3, al ser backups de B1 solo tienen un tiempo de duracin promedio de una hora (considere que los tiempos de duracin de B1, B2 y B3 son exponenciales). El componente C est formado de dos subcomponentes que funcionan al mismo tiempo. C1 y C2 estn en etapa de experimentacin y slo se sabe que no duran ms de 8 horas. En todo caso, de C2 se ha dicho que muchas veces ha durado slo 6 horas. a) Qu porcentaje del tiempo el sistema electrnico durar ms de 6 horas? b) Luego de experimentos, se descubri que los tiempos de duracin de C1 y C2 son exponenciales y con media 5 horas. i. Cmo est distribuido (encuentre la pdf) el tiempo de duracin del componente mayor C? ii. Cmo cambia su respuesta a la pregunta anterior si C2 entra en funcionamiento una vez que C1 falla? 58. Un generoso profesor te ha permitido rendir tres veces una prueba, cuyo nota es una v.a. discreta con RX = {1,2, ., 10}. Supongamos que cada nota es igualmente probable de obtener. Determina la pmf de tu nota final. 59. Las facturas cobradas por los servicios tcnicos de reparacin de una empresa, constan de tres conceptos: piezas, transporte y mano de obra. La media del primer concepto es 3,60 , la del segundo concepto es 6 y la del tercer concepto es 12 . Las desviaciones tpicas respectivas son 0,90 , 1 y 1,20 . La relacin entre las cantidades facturadas por los tres conceptos viene expresada por los coeficientes de correlacin: 0,56 (entre piezas y mano de obra), -0,45 (entre piezas y transporte) y 0,85 (entre transporte y mano de obra). a) Calcule la esperanza y varianza de la facturacin total de un servicio. b) Cul es la probabilidad de que con 50 servicios se alcance al menos una facturacin total de 1.050 ? c) Cuntos servicios, por lo menos, deberan realizarse para que la facturacin total fuera de al menos 1.500 con una confiabilidad del 95%? 60. Un sistema de colas tiene dos servidores cuyos tiempos de servicio son variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas con una distribucin exponencial con media de 15 minutos. El cliente X llega cuando ambos servidores estn ociosos. Cinco minutos despus llega el cliente Y mientras que atienden a X. Diez minutos ms tarde, llega el cliente Z y todava atienden a los dos clientes X y Y. No llegan ms clientes durante este intervalo de 15 minutos. a) Cul es la probabilidad de que el cliente X complete su servicio antes que el cliente Y? b) Cul es la probabilidad de que el cliente Z complete su servicio antes que el cliente X? c) Cul es la probabilidad de que el cliente Z complete su servicio antes que el cliente Y? d) Determine el valor esperado y la desviacin estndar del tiempo de espera en el sistema para el cliente Z. e) Si cuando X llega hay cinco personas en el sistema, Cul es la probabilidad de que su atencin comience en menos de 40 minutos? 61. Un banco tiene un nmero de cajas igual a S. Cada cajero es capaz de atender a clientes por hora y el tiempo que le toma en atender a un cliente est distribuido exponencialmente. Al banco los clientes llegan segn un proceso Poisson a una tasa de clientes por hora. Adems usted aprender en un curso ms avanzado de la carrera (Investigacin Operativa II) que la probabilidad de que existen n clientes (en cualquier momento) en el banco est dada por: 001001!! ! 1!nN n SnSn Sn SP n SnP n donde PP n Sn SS SIngeniera Civil Industrial Facultad de Ingeniera y Ciencias Geolgicas / Escuela de Ingeniera Estadstica Aplicada 1 2 Semestre 2011 11 / 11 Tambin aprender que una condicin muy importante debe cumplirse en este tipo de problemas, esta es S > , lo que nos asegura que el banco es capaz de atender a todos los clientes que esperan en la cola. Asuma que la condicin se cumple y que el banco es capaz de tener en la cola una cantidad infinita de personas, es decir, . Sea T el tiempo que un cliente, que acaba de llegar al banco (cuando este llega hay en el banco n clientes), espera en la cola antes de ser atendido. a) Demuestre que la fdp de T es: 001 01 !( )01 !STS S tP tS Sf teP tSb) Demuestre que 0 S tP T t P T e , donde 0P T es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar. 62. Una tienda tiene 3 puertas de acceso, que sirven para la llegada y la salida de sus clientes. Mientras permanece abierta la tienda, la llegada de sus clientes a cada una de las puertas puede considerarse como un proceso Poisson independiente uno del otro con 1 = 5 [clientes/hr.] para la primera puerta, 2 = 4 [clientes/hr.] para la segunda y 3 = 10 [clientes/hr.] para la tercera. a) Si durante una hora, dentro del horario de atencin de la tienda, llegan 20 clientes. Cul es la probabilidad de que 5 hagan llegado por la primera puerta, 8 por la segunda y 7 por la tercera? b) Si durante una hora, dentro del horario de atencin de la tienda, llegan 20 clientes, de los cuales 9 clientes llegaron por la primera puerta. Cuntos clientes se esperan que hayan llegado por la tercera puerta? c) Suponga que el tiempo que demora un cliente en hacer su compra (sin haberla pagado an) sigue una distribucin exponencial con una media de 15 min. Adems esta tienda tiene slo una caja, cuyo tiempo de servicio est distribuido exponencialmente con media de 5 min. Si en este momento se acaba de abrir la tienda, cunto tiempo se espera que trascurra hasta que termine de ser atendido el primer cliente? [Suponga que el primer cliente que llega a la tienda es el primero que pasa por caja] 63. Una sucursal pequea de un banco tiene dos cajas para la atencin de sus clientes. Son las 14:00 hrs. y el banco cierra sus puertas cuando an haban dentro 3 personas. Considere que los tiempos de servicio de cada cajero estn distribuidos exponencialmente con media 3 minutos. a) Calcule, para cada valor posible de n, Pn(t), es decir, la probabilidad de que queden n personas en el banco, cuando ya han pasado t minutos desde el cierre de las puertas. b) Utilice los resultados encontrados en el inciso a), para encontrar la distribucin de probabilidad del nmero de personas que quedan en el banco a las 14:02 hrs.