Funciones Analiticas y Armonicas

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    10-Apr-2016

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Funciones analticasFunciones armnicasAnlisis Matemtico IVFunciones analticas-Funciones armnicasRaquel Crescimbeni11Departamento de MatemticaFacultad de Economa y AdministracinUniversidad Nacional del Comahueraquel.crescimbeni@faea.uncoma.edu.arSegundo cuatrimestre 2014R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasEsquema de la clase1 Funciones analticasDefinicin y ejemplosPropiedades2 Funciones armnicasDefinicinArmnica conjugadaR. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicin y ejemplosPropiedadesFunciones analticasDefinicinSea U C abierto y f : U C diremos que f es analtica en U siexiste la derivada de f en todo punto de U.Observaciones Otra denominacin posible es funcin holomorfa. En particular f es analtica en un punto z0 si es analtica en unentorno abierto de z0. Cuando hablemos de una funcin analtica en un conjunto S queno es abierto se entender que la funcin en analtica en algnabierto que contiene a S.DefinicinUna funcin analtica en todo C se dice entera.R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicin y ejemplosPropiedadesEjemplos1 f (z) = 1z es analtica en todo punto z C {0}.2 f (z) = |z|2 no es analtica en ningn punto.3 Los polinomios complejos son funciones enteras.4 f (z) = z2 es entera.ObservacionesSea D un dominio Si f es analtica en D entonces f es continua en D. Recproca no vale, por ejemplo f (z) = |z|2. Si f es analtica en D entonces valen las ecuaciones deCauchy-Riemann en D. Recproca no vale, por ejemplo f (z) = |z|2.(Vale C-R en z = 0pero no es analtica en ese punto).R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicin y ejemplosPropiedadesPropiedadesProposicinSi f y g son analticas en D dominio entonces las funciones f g es analtica en D. fg es analtica en D. f/g es analtica en D, si g(z) 6= 0 para todo z D. Si h es analtica en S = f (D) luego h f es analtica en D.Ejemplos1 Si P(z) y Q(z) son polinomios complejos, entonces P(z)Q(z) es analtica encualquier abierto que no contenga ceros de Q.2 Si f (z) = z2 y g(z) = ex(cos y + i sin y) (ambas enteras) entoncesf (z)g(z) es entera.3 f (z) = z + 1z y g(z) =rei2 , r > 0, (pi, pi), g f es analtica?R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicin y ejemplosPropiedadesDesarrollo ejemplo- La funcin g f est bien definida en cualquier dominio cuyaimagen bajo f caiga en el plano r > 0, pi < < pi.- Si D = {z C : Imz > 0, |z| > 1} luegof (D) = {z C : Imz > 0} = U(veremos ms adelante). Dibujo- En este conjunto U la funcin g est bien definida.- g(z) es analtica en U, porque cumple con las hiptesis delTeorema (condicin suficiente) de Cauchy-Riemann en cadapunto de U (hacerlo). Adems g(z) =12g(z)en U.- Luego g f es analtica en D y(g f )(z) = g(f (z))f (z) = 12g(f (z))(1 1z2)R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicin y ejemplosPropiedadesTeoremaSea D C un dominio (abierto y conexo) y f : D C analtica talque f (z) = 0 para todo z D. Luego f en constante en D.Observaciones Veremos ms adelante que si f es analtica en D entonces u y vson funciones C en D. Si D no es conexo, pero D tiene componentes conexas, bajo lasmismas hiptesis del Teorema se obtiene que f es constante encada componente conexa.CorolarioSi f , g son funciones analticas en D dominio y tal que f (z) = g(z)para todo z D y adems f (z0) = g(z0) para algn z0 D luegof (z) = g(z) para todo z D.R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicin y ejemplosPropiedadesPrueba (Teorema)Sea f (z) = u(x, y) + iv(x, y), por ser f analtica existe f (z) en D y lasfunciones componentes satisfacen las ecuaciones deCauchy-Riemann, entoncesf (z)derivada= ux + ivxCR= vy iuyhiptesis= 0 y as obtenemos queux = uy = vx = vy = 0 en cada punto de D.Por ser u y v funciones C1 (ver observacin) integrando en la variableadecuada tenemosu(x, y) = h(y) y tambin u(x, y) = g(x) = u(x, y) = C constante.De igual manera se prueba que v(x, y) = D constante. Asf (z) = C + iD = M.R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicinArmnica conjugadaDefinicinUna funcin real h(x, y) se dice armnica en un dominio R2 sih C2() y h(x, y) = hxx(x, y) + hyy(x, y) = 0TeoremaSea f (z) = u(x, y) + iv(x, y) una funcin analtica en un dominio Dentonces sus funciones componentes u y v son armnicas en D.PruebaSi f es analtica en D u, v satisfacen C-R en D. Es decir ux = vy yuy = vx.Derivando ambas ecuaciones respecto de x y de y (al ser analtica porla observacin u y v son C).uxx = vyx, uyx = vxx, uxy = vyy, uyy = vxy. Como u Cen particular es C2 se tiene que uxy = uyx y vxy = vyx, entoncesuxx + uyy = 0 y vxx + vyy = 0. Es decir u y v son armnicas.R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicinArmnica conjugadaEjemplos1 f (z) = z2 = x2 y2 + 2xyig(z) = ex(cos y + i sin y) son enteras entonces f (z)g(z) es entera.Re(f (z)g(z)) = ex((x2 y2) cos y 2xy sin y) es armnica enR2?SI, por ser la parte real de una funcin analtica.Moraleja: La parte real de una funcin analtica siempre esarmnica, y la parte imaginaria de una funcin analtica tambines armnica.2 u(x, y) = x2 y2 y v(x, y) = ex cos y son armnicases f (z) = u(x, y) + iv(x, y) analtica?NO , porque no satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.Moraleja: Si u y v son armnicas no necesariamente f = u + ives analtica.R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicinArmnica conjugadaDefinicinSi u y v son funciones armnicas definidas en D R2 y satisfacen lasecuaciones de Cauchy-Riemann en D diremos que v es la armnicaconjugada de u.CorolarioSi f (z) = u(x, y) + iv(x, y) es analtica en D v es la armnicaconjugada de u.Prueba(=) Si f es analtica en D = (por Teorema anterior) u y v son armnicasy existe f en cada punto de D = (por Teorema de Condicin necesaria deC-R) las funciones componentes satisfacen Cauchy-Riemann. Luego v es laarmnica conjugada de u.(=) Como v y u son armnicas = son C2 y satisfacen C-R en cada puntode D = (por el Teorema de Cauchy-Riemann condicin suficiente) existef (z) para todo z D = f es analtica en D.R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicinArmnica conjugadaEjemplos1- u(x, y) = x2 y2 y v(x, y) = 2xy son armnicas y v es laarmnica conjugada de u. Pero..... u no es la armnica conjugadade v (basta ver que g(z) = v(x, y) + iu(x, y) no es analtica).2- Veremos (ms adelante en aplicaciones de la integral) que si u esarmnica en D luego u tiene armnica conjugada v. Cmohallarla?3- Sea u(x, y) = y3 3x2y es una funcin armnica. Calculemos suarmnica conjugada.Esta es v(x, y) = 3xy2 + x3 + C.Para calcularla.....ux = 6xy = vy = v(x, y) = 3xy2 + (x).uy = 3y2 3x2 = vx = 3y2 (x). Por lo tanto(x) = 3x2 = (x) = x3 + C.Luego f (z) = y3 3x2y + i(3xy2 + x3 + C) es analtica en C.R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicinArmnica conjugadaPropiedadesProposicin1 Si u es armnica conjugada de v y v es armnica conjugada de u u y v son funciones constantes.2 v es la armnica conjugada de uu es la armnicaconjugada de v.3 f (z) es analtica en Dif (z) es analtica en D.4 La funcin armnica conjugada es nica salvo constante.R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicinArmnica conjugadaDemostracin Proposicin1 ( =)v armnica conjugada de u u armnica conjugada de vux = vy vx = uyuy = vx vy = uxLuego ux = ux y uy = uy = ux = uy = 0uC2= u = Cte.De igual manera se prueba que v = Cte.(=) Trivial.2 Observar ambas condicionesv armnica conjugada de u u armnica conjugada de vux = vy vx = (u)y = uyuy = vx vy = (u)x = ux3 Observar simplemente que if (z) = v(x, y) iu(x, y) y usar el item anterior.4 Sean v y w armnicas conjugadas de u luego ux = vy = wy = (v w)y = 0,uy = vx = wx = (v w)x = 0. Como v y w son C1 entonces v w = CR. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicinArmnica conjugadaPropiedadesProposicinSea D un dominio y f analtica en D son equivalentesa) Re(f (z)) es constante en D.b) Im(f (z)) es constante en D.c) La funcin compleja conjugada f es analtica en D.d) f es constante en D.e) |f | es constante en D.R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicinArmnica conjugadaDemostracin Proposicind) = a, b, c, e). Triviala) = d) f (z) = ux + ivxCR= ux iuy. ComoRe(f (z)) = u(x, y) = C = f (z) = 0 para todo z D = f = Cte. en Db) = d) f (z) = ux + ivxCR= vy + ivx. ComoIm(f (z)) = v(x, y) = C = f (z) = 0 para todo z D = f = Cte. en D.c) = d) f y f son analticas = f + f = 2Ref es analtica. AdemsIm(Re(f (z)) = 0 luego por b) d) se tiene que Ref = Cte. y as pora) d) se obtiene que f = Cte.e) = d) Supongamos que |f | = = f (z)f (z) = 2.Si = 0 entonces f 0 y as constante.Si 6= 0 entonces f no se anula en ningn punto = f (z) = 2f (z) es analticaen D y por c d se tiene que f = Cte.R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicinArmnica conjugadaEjercicios1 Probar que si u y v armnicas = u + v es armnica.2 Es cierto que si u y v armnicas = uv es armnica.? Cundo losern?3 Si f (z) = u(x, y) + iv(x, y) es analtica en D probar que2uv3 2u3v es armnica en D.R. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasFunciones armnicasDefinicinArmnica conjugadaVolverR. Crescimbeni Anlisis Matemtico IVFunciones analticasDefinicin y ejemplosPropiedadesFunciones armnicasDefinicinArmnica conjugada