Elementos de geometría: Una introducción

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    25-Jul-2016

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El curso Elementos de Geometra ha sido concebido para los estudiantes que inician su formacin en la geometra en el programa de Licenciatura en Matemticas de la Universidad Pedaggica Nacional (Colombia). El curso pretende complementar la formacin secundaria ampliando la visin del conocimiento geomtrico y llenando posibles vacos conceptuales, con el propsito de preparar a los alumnos para acceder significativamente al estudio formal de la geometra euclidiana en un curso posterior. No se busca construir un sistema axiomtico deductivo formal, sino proporcionar, en un ambiente activo y constructivo, las herramientas necesarias para la formacin de nociones y conceptos, para el establecimiento de propiedades geomtricas a partir de la exploracin, y para el uso efectivo de mtodos y tcnicas geomtricas.

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  • DE GEOMETRAELEMENTOS

    CARMEN SAMPERSCAR MOLINAARMANDO ECHEVERRY

    ARMANDO ECHEVERRY

    Licenciado en Matemticas y Fsica de la Universidad del Tolima, especialista en Edu-cacin Matemtica de la Universidad Peda-ggica Nacional, magster en Docencia de las Matemticas de la misma universidad. Se ha desempeado como docente de educa-cin bsica y media en los aos 2002 a 2004. Docente de tiempo completo de la Universi-dad Pedaggica en el perodo 2005-2010. Es autor de un artculo publicado en la Revista EMA. Hace parte del grupo de investigacin Aprendizaje y Enseanza de la Geometra (G) de la Universidad Pedaggica Nacio-nal, con el cual ha realizado 13 publicaciones en memorias de eventos nacionales e inter-nacionales. Actualmente es catedrtico de la Universidad Pedaggica Nacional y profesor de la Secretara de Educacin Distrital.

    Matemtica de la Universidad de Ottawa (Canad) y magster en Matemticas de la Universidad de Maryland (EU). Profe-sora titular de la Universidad Pedaggica Nacional durante los aos 1975 a 1985 y desde 1995 hasta la fecha. Profesora del Colegio Nueva Granada, en Bogot, desde 1985 hasta 1995. Coautora de las series de textos escolares Alfa, Espiral y Delta y autora del texto escolar Geometra de la Editorial Norma. Coautora de 3 libros que reportan resultados de investigacin. Ha publicado 13 artculos en revistas de circulacin nacional e internacional, 15 en memorias de eventos nacionales e in-ternacionales, y 2 en publicaciones no cientficas, todos ellos relacionados con la demostracin en geometra. En el 2003 le fue otorgado el premio Pedagogo de Exce-lencia de la Universidad Pedaggica Na-cional. Actualmente hace parte del grupo de investigacin Aprendizaje y Enseanza de la Geometra (G) de la Universidad Pedaggica Nacional.

    SCAR MOLINA

    Licenciado en Matemticas con nfasis en Computacin y magster en Docencia de las Matemticas, de la Universidad Pedaggica Nacional. En el ao 2004 trabaj como pro-fesor de secundaria. Durante el ao 2005 y 2008 fue profesor catedrtico en la Univer-sidad Pedaggica Nacional y en el periodo 2006 - 2007 fue profesor ocasional en la mis-ma institucin. En el ao 2008 fue profesor ocasional en la Universidad Distrital Francis-co Jos de Caldas. Desde el ao 2009 es pro-fesor de planta de la Universidad Pedaggica Nacional. Ha publicado 16 artculos, uno de ellos en la Revista TED y los dems en memo-rias de eventos nacionales e internacionales sobre temas de clculo, teora de conjuntos, trigonometra y didctica de la geometra. Ac-tualmente hace parte del grupo de investiga-cin Aprendizaje y Enseanza de la Geometra ( G) de la Universidad Pedaggica Nacional.

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    CARMEN SAMPER

    El curso Elementos de Geometra ha sido concebido para los estudiantes que inician su formacin en la geometra en el programa de Licenciatura en Matemticas de la Universidad Pedaggica Nacional (Colombia). El curso pretende complementar la formacin secundaria ampliando la visin del conocimiento geomtrico y llenando posibles vacos conceptuales, con el propsito de preparar a los alumnos para acceder significativamente al estudio formal de la geometra euclidiana en un curso posterior. No se busca construir un sistema axiomtico deductivo formal, sino proporcionar, en un ambiente activo y constructivo, las herramientas necesarias para la formacin de nociones y conceptos, para el establecimiento de propiedades geomtri-cas a partir de la exploracin, y para el uso efectivo de mtodos y tcnicas geomtricas. Sin perder de vista que en cursos posteriores se pretende que los estudiantes adquieran un conocimiento formal de la geometra, en el curso Elementos de Geometra se combina la rigurosidad del lenguaje geomtrico con un acercamiento informal que invita a los alumnos a hacer conjeturas basados en la exploracin de situaciones especialmente diseadas y a dar justificaciones de stas, de manera intuitiva, propiciando el desarrollo de las habilidades de razonamiento que son indispensables en el estudio de la matemtica avanzada.

  • DE GEOMETRAELEMENTOS

    carmen samperscar molinaarmando echeverry

  • Catalogacin en la fuente Biblioteca Central de la Universidad Pedaggica Nacional.

    Samper, Carmen Elementos de Geometra: aprendizaje y enseanza de la geometra (AE, G) / Carmen Samper, scar Molina, Armando Echeverry. 2. ed. -- Bogot : Fondo Editorial Universidad Pedaggica Nacional. Departamento de Matemticas, 2013 112 p. : figuras

    Incluye bibliografa y anexos ISBN : 978-958-8650-46-3

    Geometra Aprendizaje. 2. Geometra - Enseanza Formacin Profesional de Maestros 4. Geometra Aparatos e instrumentos I. Echeverry, Armando II. Molina, scar. III. Tt.

    516.1 cd. 21 ed.

  • DE GEOMETRAELEMENTOS

    carmen samperscar molinaarmando echeverry

    Aprendizaje y Enseanza de la Geometra ( . G)

    departamento de matemticas

    Universidad pedaggica nacional

  • Universidad Pedaggica NacionalJuan Carlos Orozco CruzRector

    Edgar Alberto Mendoza ParadaVicerrector Acadmico

    Vctor Manuel Rodrguez SarmientoVicerrector de Gestin Universitaria

    Universidad Pedaggica Nacional Carmen Samper scar Molina Armando Echeverry

    ISBN: 978-958-8650-46-3

    Segunda edicin, 2013

    Preparacin EditorialUniversidad Pedaggica NacionalFondo Editorial

    Vctor Eligio Espinosa GalnCoordinador Fondo Editorial

    Alba Luca Bernal Cerquera Editora

    Mauricio Esteban Surez BarreraDiseo y diagramacin

    Impresin Xpress Estudio Grfico y DigitalBogot, Colombia, 2013

    Esta publicacin puede ser distribuida, copiada y exhibida por terceros si se muestra en los crditos. No se puede obtener ningn beneficio comercial. No se pueden realizar obras derivadas.

  • Introduccin 7

    Captulo 1. Visualizacin 111.1 Observar y comprobar 121.2 Qu ve en la figura? 141.3 Qu de lo observado es cierto? 141.4 Observar para resolver 15

    Tareas complementarias 17Nota histrica 20

    Captulo 2. Lenguaje y definiciones 23

    2.1 Qu se interpreta? 242.2 Descubrir caractersticas esenciales 242.3 Cul es la definicin ms adecuada? 262.4 Anlisis de definiciones 272.5 Construir definiciones 292.6 Transformacin de una definicin 312.7 Definiciones con geometra dinmica 322.8 Deducciones con definiciones 34

    Tareas complementarias 36Nota histrica 42

    Captulo 3. Construcciones geomtricas 45

    3.1 Construccin de segmentos congruentes 463.2 Fracciones construibles 483.3 ngulos congruentes y rectas paralelas 493.4 Rectas perpendiculares y otros nmeros construibles 543.5 Media geomtrica y semejanza 553.6 Ms nmeros construibles 59

    Comentario 60Nota histrica 61

    Tabla de contenido

  • Captulo 4. Elaboracin de conjeturas 65

    4.1 Formular conjeturas 664.2 Cuadrilteros: algunas conjeturas 684.3 Toda conjetura es verdadera? 714.4 Justificacin de conjeturas 734.5 Puntos notables de un tringulo 75

    Tareas complementarias 77Nota histrica 79

    Captulo 5. Acercamiento a los conceptos de congruencia y semejanza 81

    5.1 El tangram 825.2 Los conceptos de semejanza y congruencia 835.3 Uso de semejanza 855.4 El concepto de congruencia 855.5 Uso de congruencias 87

    Tareas complementarias 91Nota histrica 92

    Captulo 6. Transformaciones y teselados 95

    6.1 Cul es el patrn? 966.2 Movimiento orientado 966.3 Un espejo 976.4 Movimiento circular 986.5 Anlisis de propiedades 1006.6 Teselas artsticas 101

    Tareas complementarias 103Nota histrica 105

    Bibliografa 107

    Lista de definiciones y hechos geomtricos 109

    Anexos 110

  • 7El curso Elementos de Geometra ha sido concebido para los estudiantes que inician su formacin en la geometra en el programa de Licenciatura en Matemticas de la Universidad Pedaggica Nacional (Colombia). El curso pretende complementar la formacin secundaria ampliando la visin del conocimiento geomtrico y llenando posibles vacos conceptuales, con el propsito de preparar a los alumnos para acceder significativamente al estudio formal de la geometra euclidiana en un curso posterior. No se busca construir un sistema axiomtico deductivo formal, sino proporcionar, en un ambiente activo y constructivo, las herramientas necesarias para la formacin de nociones y conceptos, para el establecimiento de propiedades geomtricas a partir de la exploracin, y para el uso efectivo de mtodos y tcnicas geomtricas. Sin perder de vista que en cursos posteriores se pretende que los estudiantes adquieran un conocimiento formal de la geometra, en el curso Elementos de Geometra se combina la rigurosidad del lenguaje geomtrico con un acercamiento infor-mal que invita a los alumnos a hacer conjeturas basados en la exploracin de situaciones especialmente diseadas y a dar justificaciones de estas, de manera intuitiva, propiciando el desarrollo de las habilidades de razonamiento que son indispensables en el estudio de la matemtica avanzada.

    Introduccin

  • Introduccin

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    Adems, reconociendo la importancia del uso de herramientas de me-diacin en el proceso de aprender a visualizar matemticamente figuras, explorar situaciones geomtricas, formular conjeturas y construir argumentos que justifiquen ideas, en el curso se introducen dos instrumentos cuyo uso propicia ese aprendizaje: regla y comps y la geometra dinmica. Para lograr este propsito se requiere desarrollar destreza en el uso de estos instrumentos. En el caso de la geometra dinmica esto no solo significa aprender a mani-pular el programa mismo, sino tambin saber interpretar la informacin de la representacin que este proporciona. Un ambiente de geometra dinmica como Cabri permite llevar a cabo actividad matemtica en tiempo real que se convierte en fuente de ideas matemticas, argumentos y conjeturas, favore-ciendo que los estudiantes participen legtimamente y como comunidad en la construccin de conocimiento.

    Para apoyar el desarrollo de un curso que tenga las caractersticas ante-riormente mencionadas, se vio la necesidad de escribir un texto. Este texto se constituye en una propuesta didctica que acoge planteamientos de la comunidad de educadores matemticos segn los cuales el aprendizaje de conceptos, relaciones y dems aspectos geomtricos est ligado a las nociones y experiencias matemticas de quien aprende. Presenta una va de acceso al conocimiento geomtrico formal que difiere de lo usual porque no es un desarrollo secuencial de temticas, sino la presentacin de actividades en torno a conceptos, relaciones y acciones geomtricas en pro del desarrollo de habilidades matemticas como la visualizacin, la comunicacin, la concep-tualizacin, la exploracin, la generalizacin y la deduccin.

    En el primer captulo el ncleo es la visualizacin y el propsito es de-sarrollar la capacidad de desconfigurar y reconfigurar figuras, interpretar y reconocer la validez de la informacin que provee una imagen en geometra dinmica o en lpiz y papel. Las actividades del segundo captulo tienen dos objetivos. El primero es favorecer la asimilacin de un lenguaje geomtrico comn a partir de la construccin y anlisis de definiciones. El segundo, es introducir unos diagramas, como herramienta didctica con la cual se busca proveer los elementos para identificar el estatus terico de una proposicin en un sistema axiomtico y comprender su uso en un proceso deductivo. En el tercer captulo se introducen las construcciones con regla y comps como

  • Elementos de Geometra

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    herramienta, al igual que la geometra dinmica, para la representacin y exploracin de situaciones geomtricas. A la vez, se introduce el concepto de semejanza. El cuarto captulo se centra en el proceso de formulacin de conjeturas a partir de procesos inductivos. En el quinto captulo se enfatiza en la deduccin informal en torno a la semejanza y congruencia de tringulos. Se escogieron estas dos relaciones dado que son temticas centrales de la geome-tra euclidiana. Finalmente, el sexto captulo se dedica primordialmente a la conceptualizacin, especficamente de transformaciones geomtricas usando como pretexto las teselas del plano. Se escogi esta temtica porque no est incluido en el currculo de otros cursos de la licenciatura, siendo tema de la matemtica escolar.

    Cabe resaltar que la argumentacin es una actividad matemtica trasversal a lo largo del texto. Como se enfatiz en la descripcin del curso, la deduccin se hace en el marco de sistemas axiomticos locales, referidos a un ncleo conceptual, en los cuales algunas de las proposiciones que se incluyen se acep-tan como verdaderas, sin distinguir si corresponden a postulados o teoremas de un sistema axiomtico para la geometra euclidiana. Ellas se denominan hechos geomtricos. Todo esto con el propsito de usar en procesos deductivos las definiciones establecidas.

    Este libro est basado en el texto titulado Elementos de Geometra: una introduccin, escrito por Cecilia Leguizamn, Carmen Samper, Leonor Ca-margo y Alberto Donado profesores de la Universidad Pedaggica Nacional. Con anuencia de los autores del texto original, en este libro solo aparecen como autores los profesores que participaron en su reforma.

    La modificacin del texto original fue necesaria por varias razones: la introduccin del uso de la geometra dinmica en el curso, lo cual implica una transformacin de la dinmica y del contenido temtico que se trata; la inclusin de contenidos geomtricos cuyo tratamiento es indispensable en la formacin inicial de profesores y que no son abordados en otros espacios acadmicos de la licenciatura; la supresin de temticas que estn incluidas en otros cursos; y la introduccin de diagramas que apoyan el proceso de razonamiento deductivo.

  • Introduccin

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    La metodologa para el curso, que propicia el uso de este texto, gira en tor-no a la resolucin de problemas, medio para que los estudiantes descubran, conjeturen y produzcan justificaciones informales. Los estudiantes trabajan generalmente en grupos pequeos para favorecer la interaccin. Luego, a travs de la conversacin entre profesor y alumnos se exponen ante la comunidad del aula, las ideas que estos ltimos tienen se formulan y responden preguntas, se rechazan o aceptan conjeturas, y se establecen definiciones, ganando as cierta familiaridad y comprensin de los objetos geomtricos estudiados. Es as que se logra la construccin social de conocimiento. El papel del profesor es propiciar este tipo de intercambio, guiar su curso para culminar en la cons-truccin de conceptos, relaciones y argumentos matemticamente correctos.

    En el texto, se demarca con conos algunas de las actividades, segn la siguiente convencin:

    Actividades que se deben realizar con regla y comps

    1 Actividades que se deben realizar con geometra dinmica

    1 El uso del logosmbolo del software Cabri ha sido autorizado.

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    No todo lo que se ve es. La evidencia perceptiva no es suficiente para el conocimiento de muchas propiedades de los objetos geomtricos. Visualizar en matemticas es utilizar las imgenes para desentraar propiedades o relaciones entre figuras. La visualizacin provee informacin que se convierte en base para el desa...