EJERCICIOS RESUELTOS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

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    06-Jan-2017

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  • GestinAeronutica:EstadsticaTericaFacultadCienciasEconmicasyEmpresarialesDepartamentodeEconomaAplicadaProfesor:SantiagodelaFuenteFernndez

    EJERCICIOS RESUELTOS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

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    GestinAeronutica:EstadsticaTericaFacultadCienciasEconmicasyEmpresarialesDepartamentodeEconomaAplicadaProfesor:SantiagodelaFuenteFernndez

    EJERCICIOS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

    Ejercicio 1.- El 30% de un determinado pueblo ve un concurso que hay en televisin.Desde el concurso se llama por telfono a 10 personas del pueblo elegidas al azar.Calcular la probabilidad de que, entre las 10 personas, estuvieran viendo el programa:

    a) Ms de ocho personas

    b) Algunas de las diez personas

    c) Calcular la media y desviacin tpica

    Solucin:

    Se trata de una distribucin binomial con n 10 y p 0,3 , es decir,

    b(10, 0,3) b(10, k , 0,3) con k xitos : k n kn

    P(X k) . p . qk

    Llamando X = "nmero de personas que estn viendo el programa"

    a) 9 10 010 10P X 8 P X 9 P X 10 0,3 . 0,7 0,3 . 0,79 10

    9 1010.0,3 .0,7 0,3 0,000144

    10 10! 10 . 9! 10 109 9! (10 1)! 9! . 1! 1

    n n!k k! (n k)!

    10 10! 1 1 110 10! (10 10)! 0! 1

    b) 0 10 1010P X 0 1 P X 0 1 0,3 . 0,7 1 0,7 0,9720

    c) Media: n . p 10 . 0,3 3

    Desviacin tpica: n. p.q 10.0,3.0,7 2,1 1,45

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    Ejercicio 2.- El jefe de recursos humanos de una empresa realiza un test de diez temsa los aspirantes a un puesto, teniendo en cada tems cuatro posibles respuestas, de lasque slo una es correcta. Suponiendo que los aspirantes teniendo la misma probabilidadde responder. Se pide hallar las probabilidades para el aspirante:

    a) Conteste todos los tems mal

    b) Conteste al menos cuatro tems bien

    c) Conteste entre cuatro y seis tems bien

    d) Conteste todos los tems bien

    e) Conteste menos de tres tems bien

    Solucin:

    Sea X = "contestar tems bien en el test", la variable sigue una distribucin binomial

    k 10 k101n 10 , p 0,25 , b(10, 0,25) , P(X k) .0,25 .0,75 k 0,1, ,10k4

    a) 0 10 0 1010

    P(X 0) .0,25 .0,75 0,25 .0,75 0,05630

    b) P(X 4) 1 P(X 4) 1 P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X 3)

    0 10 1 9 2 8 3 710 10 10 101 .0,25 .0,75 .0,25 .0,75 .0,25 .0,75 .0,25 .0,750 1 2 3

    1 0,0563 0,1877 0,2816 0,2503 0,2241

    c) P(4 X 6) P(X 4) P(X 5) P(X 6)

    4 6 5 5 6 410 10 10.0,25 .0,75 .0,25 .0,75 .0,25 .0,75 0,1460 0,0584 0,0162 0,22064 5 6

    d) 10 010

    P(X 10) .0,25 .0,75 010

    e) P(X 3) P(X 0) P(X 1) P(X 2)

    0 10 1 9 2 810 10 10.0,25 .0,75 .0,25 .0,75 .0,25 .0,75 0,0563 0,1877 0,2816 0,52560 1 2

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    Ejercicio 3.- Una compaa de seguros garantiza plizas de seguros individuales contraretrasos areos de ms de doce horas. Una encuesta ha permitido estimar a lo largo deun ao que cada persona tiene una probabilidad de cada de mil de ser vctima de unretraso areo que est cubierto por este tipo de pliza y que la compaa aseguradorapodr vender una media de cuatro mil plizas al ao.

    Se pide hallar las siguientes probabilidades:

    a) Que el nmero de retrasos cubiertos por la pliza no pase de cuatro por ao

    b) Nmero de retrasos esperados por ao

    c) Que el nmero de retrasos sea superior a dos por ao

    d) Que ocurran doce retrasos por ao

    Solucin:

    Sea X = "nmero de retrasos por ao", la variable sigue una distribucin binomial

    1n 4000 , p 0,001 , b(4000, 0,001)1000

    con lo que, k 4000 k4000

    P(X k) .0,001 .0,999 k 0,1, ,4000k

    Es necesario buscar una distribucin que sea una buena aproximacin de sta. Ladistribucin de Poisson es una buena aproximacin de la binomial b(4000, 0,001) , yaque p 0,001 es muy pequea y n.p 4000.0,001 4 5 .

    Por tanto, X b(4000, 0,001) X P( n.p 4) k

    44P(X 4) .ek!

    a) P(X 4) P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X 3) P(X 4)

    0 1 2 3 4

    4 44 4 4 4 4 .e 1 4 8 10,667 10,667 .e 0,62890! 1! 2! 3! 4!

    b) El nmero de retrasos esperado por ao es la media x 4

    c) P(X 2) 1 P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1) P(X 2)

    0 1 2

    4 44 4 41 .e 1 1 4 8 .e 1 0,381 0,76190! 1! 2!

    d) 12

    4 44P(X 12) .e 0,035.e 0,0006412!

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    Ejercicio 4.- Para El tiempo empleado, en horas, en hacer un determinado productosigue una distribucin N(10, 2) . Se pide la probabilidad de que ese producto se tarde enhacer:

    a) Menos de 7 horas

    b) Entre 8 y 13 horas

    Solucin:

    a) tipificando

    x 10 7 10P x 7 P P z 1,5 P z 1,5 0,06682 2

    a) tipificando

    8 10 x 10 13 10P 8 x 13 P P 1 z 1,52 2 2

    P 1 z 1,5 P z 1 P z 1,5

    P 1 z 1,5 P z 1 P z 1,5 P z 1 P z 1,5

    P z 1 1 P z 1

    P 1 z 1,5 P z 1 P z 1,5 P z 1 P z 1,5 1 P z 1 P z 1,51 0,1587 0,0668 0,7745

    Ejercicio 5.- El 7% de los pantalones de una determinada marca salen con algndefecto. Se empaquetan en caja de 80 pantalones para diferentes tiendas. Cul es laprobabilidad de que en una caja haya entre 8 y 10 pantalones defectuosos?

    Solucin:

    Sea X = "nmero de pantalones defectuosos en una caja"

    Se trata de una distribucin binomial (los pantalones son o no son defectuosos), es decir,una binomial con n 80 y p 0,07 : b(80, 0,07) , donde:

    n . p 80. 0,07 5,6 n . p . q 80 .0,07 . 0,93 2,28

    Advirtase que se dan las condiciones para aproximar la distribucin discreta binomial auna distribucin continua normal:

    p 0,07 0,5 y n.p 80. 0,07 5,6 5

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    con lo que, b(n, p) N n. p , n.p.q b(80, 0,07) N 5,6, 2,28

    Para utilizar correctamente la transformacin de una variable aleatoria discreta X(distribucin binomial) en una variable aleatoria continua z (con distribucin normal) esnecesario hacer una correccin de continuidad:

    TIPIFICANDON(5,6 ; 2,28)TRANSFORMACIN

    P 8 X 10 P 7,5 X ' 10,5

    7,5 5,6 X ' 5,6 10,5 5,6P P 0,83 z 2,152,28 2,28 2,28

    P z 0,83 P z 2,15 0,2033 0,0158 0,1875

    Ejercicio 6.- Un servicio dedicado a la reparacin de electrodomsticos recibe portrmino medio 15 llamadas diarias. Determinar la probabilidad de que reciba un da msde 20 llamadas.

    Solucin:

    Sea X " nmero de llamadas recibidas al da"

    La variable aleatoria X P 15 : k

    1515P X k . ek!

    15 10 : P N 15, 15

    15 (20 0,5) 15P 20 P P z 1,16 0,123015 15

    Ejercicio 7.- En una fbrica se sabe que la probabilidad de que r artculos sean

    defectuosos es k 44 . eP X kk!

    . Determinar la probabilidad de que en 100 das el

    nmero de artculos defectuosos est comprendido entre (400, 600)

    Solucin:

    Se trata de una distribucin de Poisson k

    P X k . ek!

    , 4 , 4 2

    En 100 das: 1 2 100X , X , , X P n. , n. P 100.4, 100.4 P 400, 20

    2 x

    E X n. 100 . 4 400

    V X n. 100 . 4 400 400 20

  • 6

    n. 400 10 : P n. N 400, 400 N 400, 20

    400 400 400 600 400P 400 600 P P 0 z 1020 20 20

    P z 0 P z 10 0,5

    Ejercicio 8.- Una compaa area observa que el nmero de componentes que fallanantes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si elnmero promedio de fallos es ocho. Se pide:

    a) Cul es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?

    b) Cul es la probabilidad de que fallen menos de dos componente en 50 horas?

    c) Cul es la probabilidad de que fallen por lo menos tres componentes en 125 horas?

    Solucin:

    Sea la variable aleatoria discreta X = "n componentes que fallan antes de 100 horas"

    El parmetro E X 8

    a) Considerando ciertas condiciones de regularidad, se puede asumir que la variable:U= "n componentes que fallan antes de 25 horas" sigue una distribucin de Poisson de

    parmetro u8E U 24

    k

    2u u2

    2 22P U k . e P U 1 . e 0,27067k! 1! e

    b) Anlogamente, la v.a. V = "n componentes que fallan antes de 50 horas" sigue una

    distribucin de Poisson de parmetro v8E V 42

    0 1

    4 4 4 44 4P V 2 P V 0 P V 1 . e . e 1 4 . e 5 . e 0,09160! 1!

    c) La v.a. Z = "n componentes que fallan antes de 125 horas" sigue una distribucin dePoisson de parmetro 10

    P Z 3 1 P Z 3 1 P Z 0 P Z 1 P Z 2

    0 1 2

    10 10 10 1010 10 101 . e . e . e 1 1 10 50 . e 0,99720! 1! 2!

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    Ejercicio 9.- Un tcnico realiza un test de cien tems a unos doscientos opositores.Suponiendo que las puntuaciones X obtenidas por los opositores siguen una distribucinnormal de media 60 puntos y desviacin tpica 10 puntos. Se pide obtener:

    a) P(X 70) b) P(X 80) c) P(X 30)d) P(X 46) e) P(39 X 80) f) P(80 X 82,5)

    g) P(30 X 40) h) P( X 60 20) i) P( X 60 20)

    j) Nmero de opositores que obtuvieron 70 puntos

    Solucin:

    La variable aleatoria X = 'puntuacin obtenida en el test' sigue una distribucin N(60, 10) ,

    luego su variable tipificada ser X 60z10

    con distribucin normal N(0, 1)

    a) X 60 70 60P(X 70) P P z 1 0,158710 10

    b) X 60 80 60P(X 80) P P z 2 1 P z 2 1 0,0288 0,977210 10

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    c) X 60 30 60P(X 30) P P z 3 P z 3 0,0013510 10

    d) X 60 46 60P(X 46) P P z 1,4 P z 1,4 1 P z 1,410 10

    1 0,0808 0,9192

    e) 39 60 X 60 80 60P(39 X 80) P P 2,1 z 210 10 10

    P z 2,1 P z 2 P z 2,1 P z 2 1 P z 2,1 P z 2

    1 0,0179 0,0228 0,9593

  • 9

    f) 80 60 X 60 82,5 60P(80 X 82,5) P P 2 z 2,2510 10 10

    P z 2 P z 2,25 0,0228 0,0122 0,0106

    g) 30 60 X 60 40 60P(30 X 40) P P 3 z 2 P 2 z 310 10 10

    P z 2 P z 3 0,0228 0,00135 0,02145

    h) P( X 60 20) P 20 X 60 20 P 40 X 80

    40 60 X 60 80 60P P 2 z 2 P z 2 P z 210 10 10

    P z 2 P z 2 1 P z 2 P z 2 1 2.P z 2 1 2.0,0228 0,9544

  • 10

    i) X 60 20 X 80

    X 60 20X 60 20 X 40

    X 60 80 60 X 60 40 60P X 60 20 P X 80 P X 40 P P10 10 10 10

    P z 2 P z 2 2.P z 2 2.0,0228 0,0456

    j) P X 70 0,1587

    En consecuencia el 15,87% de los opositores obtuvieron una puntuacin superior a 70,esto es, aproximadamente 32 opositores.

  • 11

    Ejercicio 10.- Una agencia ofrece un premio entre los distribuidores si vendentrescientos veinte o ms paquetes de viajes por da. Sabiendo que el nmero depaquetes de viajes vendidos al da por los distribuidores A y B siguen una ley normal dela forma siguiente:

    Distribuidor Media Desviacin tpicaA 290 paquetes de viaje 20 paquetes de viajeB 300 paquetes de viaje 10 paquetes de viaje

    Se pide:

    a) Porcentaje de los das que obtendr premio el distribuidor A

    b) Porcentaje de los das que obtendr premio el distribuidor B

    c) A qu distribuidor beneficia la decisin de la agencia

    d) Si se asocian los dos distribuidores, qu porcentaje de das obtendran premio?

    Solucin

    a) Sea X = "nmero de paquetes de viajes vendidos por el distribuidor A al da"

    La variable aleatoria X N(290, 20) . El porcentaje de los das que obtendr premio eldistribuidor A ser el correspondiente a la probabilidad:

    X 290 320 290P X 320 P P z 1,5 0,068820 20

    es decir, el 6,68% de los das obtendr premio el distribuidor A

    b) Anlogamente, la variable aleatoria

    Y = "nmero de paquetes de viajes vendidos por el distribuidor B al da"

    sigue una ley normal Y N(300,10) con lo que

    Y 300 320 300P Y 320 P P z 2 0,022810 10

    es decir, el 2,28% de los das obtendr premio el distribuidor B

    c) De los apartados anteriores se observa que el distribuidor A resulta beneficiado conla decisin de la agencia.

    d) Siendo X N(290, 20) e Y N(300,10) , se tiene que la nueva variable U X Y

    sigue una distribucin normal 2 2U N (290 300), 20 10 N 590, 22,4

    con lo cual, U 590 320 590P U 320 P P z 12,05 P z 12,05 122,4 22,4

  • 12

    El resultado indica que si se asociaran los distribuidores A y B prcticamente todos losdas obtendran premio.

    Ejercicio 11.- La utilizacin de la tarjeta VISA en operaciones comerciales, en lapoblacin de una gran ciudad, sigue en porcentajes una distribucin normal de media4,5 y desviacin tpica 0,5. Se pide calcular las siguientes probabilidades:

    a) Que un ciudadano tomado al azar utilice la tarjeta ms del 5% en sus operaciones

    b) Tanto por ciento de la ciudad que utiliza la tarjeta menos del 3,75%

    c) Porcentaje de operaciones con tarjeta que utiliza el 20% ms alto de la poblacin

    d) Porcentaje de operaciones con tarjeta que utiliza el 10% ms bajo de la poblacin

    e) Porcentaje de operaciones del 80% ms prximo a la media

    Solucin

    a) La variable X = "porcentaje del nmero de operaciones con VISA" sigue unadistribucin N(4,5, 0,5)

    X 4,5 5 4,5P(X 5) P P(z 1) 0,15870,5 0,5

    b) Para hallar el tanto por ciento hay que calcular primero la probabilidad:

    X 4,5 3,75 4,5P(X 3,75) P P(z 1,5) P(z 1,5) 0,06680,5 0,5

    En consecuencia, existe aproximadamente un 6.68% de la poblacin que utiliza la tarjetaVisa menos del 4,5% de las veces en sus transacciones comerciales.

  • 13

    c) Sea x = "nmero de operaciones con tarjeta del 20% ms alto de la poblacin"

    0,20X 4,5 x 4,5P(X x) P 0,20 P(z z ) 0,20

    0,5 0,5

    con 0,20x 4,5z

    0,5

    La probabilidad de 0,20 no se encuentra en las tablas, por lo que no puede encontrarsedirectamente el 0,20z correspondiente. Para calcularlo es necesario interpolar entre losdos valores en que se encuentra.

    Abscisas reas0,2005 0,1977z z 0,2005 0,1977

    0,20 0,1977z z 0,20 0,19770,84 0,85 0,0028

    0,20z 0,85 0,0023

    0,200,20

    0,01 0,0028 0,01.0,0023z 0,85 0,85 0,008 0,842z 0,85 0,0023 0,0028

    As, 0,20x 4,5z 0,842 x 4,5 0,5.0,842 4,921

    0,5

    Es decir, el 20% de la poblacin que ms utiliza la tarjeta lo hace en el 4,921% de lasoperaciones comerciales.

    Cuando los clculos que se pretenden obtener no se muestran muy rigurosos, se puedetomar el rea ms prxima sin necesidad de interpolar.

  • 14

    En este caso, se puede tomar 0,20x 4,5z 0,84 x 4,5 0,5.0,84 4,92

    0,5

    d) Sea x = "nmero de operaciones con tarjeta del 10% ms bajo de la poblacin"

    P(X x) 0,90

    0,90X 4,5 x 4,5P(X x) P 0,90 P(z z ) 0,90

    0,5 0,5

    con 0,90x 4,5z

    0,5

    En las tablas no se encuentra el valor 0,90z . Considerando la simetra de la curva normaltipificada se tiene que 0,90 0,10z z 1,28

    de donde, 0,90x 4,5z 1,28 x 4,5 0,5.1,28 3,86

    0,5

    es decir, el 10% ms bajo de la poblacin utiliza la tarjeta en menos del 3,96% de lasoperaciones comerciales.

    e) El 80% ms prximo a la media es P a X b 0,80

  • 15

    tipificando, 0.90 0,10a 4,5 X 4,5 b 4,5P P z z z 0,80

    0,5 0,5 0,5

    siendo 0,90 0.10z z

    0,10

    0.10 0,10

    0,10

    a 4,5z 1,28 a 4,5 1,28.0,5 3,860,5P z z z 0,80

    b 4,5z 1,28 b 4,5 1,28.0,5 5,140,5

    El 80% ms prximo a la media de la poblacin utiliza la tarjeta ms de 3,86% y menosde 5,14% en las operaciones comerciales.

  • 16

    Ejercicio 12.- En una poblacin de mujeres, las puntuaciones de un test de ansiedad-riesgo siguen una distribucin normal N(25,10) . Al clasificar la poblacin en cuatrogrupos de igual tamao, cuales sern las puntuaciones que delimiten estos grupos?.

    Solucin:

    Siendo la variable aleatoria X = "puntuaciones en un test de ansiedad-riesgo"

    Las puntuaciones que delimitan estos cuatro...