Ejercicios de distribuciones y probabilidad

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    16-Jan-2016

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Recopilacin de varios ejercicios de probabilidad.

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<ul><li><p>Boletn: Distribuciones de Probabilidad IES de MOS Mtodos estadsticos y numricos </p><p>1 </p><p> Distribuciones discretas. Distribucin Binomial 1. Una urna contiene 3 bolas blancas, 1 bola negra y 2 bolas azules. Consideramos el experimento </p><p>aleatorio que consiste en extraer de la urna 2 bolas. Sea X la variable aleatoria: Nmero de bolas azules extradas. Calcula la funcin de masa de probabilidad de la variable aleatoria X. </p><p>Sol: P(X=0) = 2/5; P(X=1) = 8/15; P(X=2) = 1/15; </p><p>2. Calcula la esperanza matemtica, la varianza y la desviacin tpica de la variable aleatoria X, cuya funcin de probabilidad viene dada por la siguiente tabla: </p><p>xi - 4 -1 2 5 )( ixXp = 0,1 0,5 0,3 0,1 </p><p>Sol: 2,0= ; 76,52 = ; 4,2= 3. Considera la variable aleatoria discreta X cuya distribucin de probabilidad es: </p><p>xi 1 0 a 8 pi = P(X = xi ) 0.2 0.25 0.3 0.25 </p><p>a) Calcula el valor de a, sabiendo que la media () es 2'4 . b) Calcula la desviacin tpica (). Sol: a) a = 2 ; b) 64,112 = ; 41,3= </p><p>4. Considera la variable aleatoria discreta X cuya distribucin de probabilidad es: </p><p>xi 2 0 1.5 b pi = P(X = xi ) 0.25 0.2 0.4 a </p><p>a) Calcula el valor de a. b) Calcula el valor de b, sabiendo que la media () es 0'58 . c) Calcula la desviacin tpica (). Sol: a) a = 0,15 ; b) b = 3,2; c) 76,1= </p><p>5. Sea X el nmero de casos nuevos de SIDA diagnosticados en un importante hospital, durante un da. La funcin de probabilidad para X es </p><p>Casos de SIDA, x i 0 1 2 3 4 5 6 Probabilidad, p i 0.1 0.1 0.1 0.3 0.2 0.1 0.1 </p><p>a) Hallar la probabilidad de que un da cualquiera, por lo menos 3 casos nuevos sean diagnosticados. Sol: 0.7 </p><p>b) Hallar la media de casos diagnosticados al da y la desviacin tpica. Sol: = 3.1, 7,1= 6. La funcin de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es </p><p>x i 0 1 2 3 4 5 P(X = x i) = p i 0.01 a b c 0.1 0.09 </p><p>Calclese a, b, c si la media de X es 2.45 y P( 2 X 3 ) = 0.6. Sol: a = 0.2, b = 0.4, c = 0.2 </p><p>7. Considera la variable aleatoria discreta X cuya distribucin de probabilidad es: </p><p>xi 1 0 a 8 pi = P(X = xi ) b 0.25 0.3 0.25 </p><p>a) Calcula el valor de a y b, sabiendo que la media () es 3. b) Calcula la desviacin tpica (). </p><p>Sol: a) a = 4 ; b) b = 0,2; c) 122 = ; 464,3= </p></li><li><p>2 </p><p>8. Considera una variable aleatoria X cuya funcin de probabilidad viene dada por la siguiente tabla: </p><p>xi -25 -10 0 5 pi = P(X = xi ) a 2a 3a 4a </p><p>a) Deduce el valor de a. b) Halla la funcin de distribucin F c) Calcula la esperanza, la varianza y la desviacin tpica. </p><p>Sol: a) 0,1 ; c) 2,5; 86,25; 9,29 </p><p>Distribucin Binomial </p><p>9. Un vendedor de seguros vende plizas a 5 personas de la misma edad y con buena salud. Segn las tablas actuariales, la probabilidad de que una persona en esas condiciones viva 30 aos o ms es 2/3. Calcular la probabilidad de que, al cabo de 30 aos, vivan a) Las 5 personas. b) Al menos 3. c) Slo 2 personas. </p><p>Sol: a) 0.1317 b) 0.790 c) 0.1646 </p><p>10. Un tirador acierta en el blanco con probabilidad 0'8. Calcula la probabilidad de que al realizar 6 disparos: </p><p>a) No acierte ninguno. b) Acierte exactamente dos. </p><p>Sol: a) 0.26 = 6,410 5; b) 0.01536 </p><p>11. Un jugador de baloncesto tiene un porcentaje en tiros libres del 75%. a) Calcula la probabilidad de que en 4 lanzamientos de tiros libres consiga 2 canastas. b) Calcula la probabilidad de que en 8 lanzamientos de tiros libres consiga 4 canastas. c) Cuntos lanzamientos debe realizar para que el nmero esperado de canastas sea mayor que 7? </p><p>Sol: a) 0.2109 b) 0.0865 c) 10 </p><p>12. Un examen tipo test consta de seis preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas posibles. Slo una de las respuestas es verdadera. Un estudiante responde todas las preguntas completamente al azar. Sea X el nmero de preguntas que responde correctamente. a) Calcular la distribucin de probabilidad de X ( P(X = k), k = 0, 1, ... , 6). b) Calcular la media y la desviacin tpica. c) Si cada pregunta correcta se punta con 4 puntos y cada pregunta incorrecta rebaja la nota en </p><p>1 punto, calcular la probabilidad de tener una nota mayor o igual a 14. (contestando al azar) </p><p>Sol: a) p0=0.178, p1=0.356, p2=0.2966, p3=0.1318, p4=0.033, p5=0.0044, p6=0.0002 b) =1.5 , =1.06 c) 0.0376 13. La probabilidad de que un alumno de 1 de Bachillerato repita curso es de 0,3. Elegimos 20 alumnos </p><p>al azar. Cul es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores? Sol: 13,0)4( ==Xp </p><p>14. Se tiene una moneda trucada de modo que la probabilidad de sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se lanza 6 veces la moneda. Calcula las siguientes probabilidades: </p><p>a) Obtener dos veces cruz. b) Obtener a lo sumo dos veces cruz. </p><p>Sol: a) 0,24 ; b) 0,90 </p></li><li><p>3 </p><p>15. El 20 % de los tornillos de un gran lote son defectuosos. Se cogen tres tornillos al azar y se pide calcular razonadamente: a) La probabilidad de que los tres sean defectuosos. b) La probabilidad de que ninguno sea defectuoso. c) La probabilidad de que solamente uno sea defectuoso. </p><p>Sol: a) 0.008 ; b) 0.512; c) 0.384 </p><p>16. Considrese una v.a. X cuya distribucin es binomial de tipo B(5, p). Sabiendo que su varianza es igual a 5/4, se pide: </p><p>a) Valor de p. b) Calcular P(X 2) Sol: a) p = 0.5; b) 13/16 = 0.8125 </p><p>17. En una distribucin B(10; 0,2), calcula p(X=3), p(X 2), p(X &gt; 2), , . Sol: a) 0.2013; b) 0.6778; c) = 2 ; = 1.265 </p><p>18. Una urna contiene 40 bolas blancas y 60 bolas negras. Sacamos 8 veces una bola, devolvindola, cada vez, a la urna. Cul es la probabilidad de que 5 sean blancas?. Sol: 0.1239 </p><p>19. En un determinado juego se gana cuando al lanzar dos dados se obtiene una suma mayor o igual a 10 puntos. Un jugador tira en 12 ocasiones los dos dados. Se pide: a) probabilidad de que gane exactamente en tres ocasiones, b) probabilidad de que pierda las 12 veces que juega. </p><p>Sol: p = 1/6; a) 0.1974; b) (5/6)12 = 0.112 </p><p> Distribuciones continuas. Distribucin Normal </p><p>20. Sea [ ]6,0con 18</p><p>)( = xxxf . Comprueba que es una funcin de densidad y calcula )52( xp Sol: 7/12 </p><p>21. La funcin de densidad de una v.a. continua viene definida por : </p><p> =</p><p>resto elen 01x0 si 2</p><p>)(x</p><p>xf </p><p>a) Halla la funcin de distribucin. </p><p>b) Calcula la media y la varianza. Sol: 32= ; </p><p>1812 = </p><p>22. Calcula la media, la varianza y la desviacin tpica de una v.a. que tiene como funcin de densidad: </p><p>[ ]5,1con 24</p><p>3)( += xxxf </p><p>Sol: 929= ; 28,12 = ; 13,1= </p><p>23. Sea [ ]5,2con 36</p><p>1)(2</p><p>= xxxf , una funcin de densidad. a) Calcula su funcin de distribucin. </p><p>b) Calcula )43( xp . Sol: 5417</p></li><li><p>4 </p><p>24. Calcula el valor de k para que la funcin kxxf =51)( si [ ]10 ,0x sea funcin de densidad. </p><p>Obtenido el valor de k, calcula la media y la desviacin tpica de la distribucin. </p><p>Sol. k = 1/50 ; media = 3,33; desviacin tpica = 2,36 </p><p>25. La funcin de densidad de una variable aleatoria continua X, es la siguiente , [3, 5]</p><p>( )0 , [3, 5]k x si x</p><p>f xsi x</p><p>= a) Hallar el valor de la constante k y la funcin de distribucin. Sol: k = 1/8 b) Hallar P [ X &gt; 4 ]. Sol: 0.5625 </p><p>26. La funcin de densidad de una variable aleatoria X es </p><p>=</p><p>]5,0[0]5,0[</p><p>)(xsixsixk</p><p>xf </p><p>a) Hallar k y la funcin de distribucin. b) Hallar la media y la varianza de X c) Calcular P(0 &lt; X &lt; ) Sol: a) k = 2/25; b) = 10/3; = 1,1785; c) 4/9 </p><p>27. La funcin de distribucin de una variable aleatoria es </p><p>+</p></li></ul>