ECUACIONES EXPONENCIALESclasesdeapoyonuevo.s3. ECUACIONES EXPONENCIALES 1. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales a) 3 −+x 1 =3 +2x 3 Solucin. Exponenciales con igual base, se igualan los exponentes. 3 −+x 1 =3 +2x 3 ⇔−x +1=2x +3 1−3 =2x +x 3 2

  • Published on
    12-May-2018

  • View
    215

  • Download
    3

Transcript

1 ECUACIONES EXPONENCIALES 1. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales a) 3x21x 33 ++ = Solucin. Exponenciales con igual base, se igualan los exponentes. 3x21x33 3x21x +=+= ++ xx231 += 32x:2x3== b) 24333 x = Solucin. Los dos trminos se pueden expresar como exponenciales de igual base. 24333 x = : 5x1 33 =+ : 5x1 =+ : x = 4 c) 1x22x2 5'02 + = Solucin. Los dos trminos se pueden expresar como exponenciales de igual base. 1x22x2 5'02 + = : 1x22x2212+= : ( ) 1x212x2 22 + = ( )1x212x2 22 + = : ( )1x212x2 =+ : 1x22x2 +=+ 21x2x2 =+ : 1x4 = : 41x= d) 1x35 x22511255= Solucin. Los dos trminos se pueden expresar como exponenciales de igual base. 1x35 x22511255= : ( ) ( ) 1x3251x23 555= : ( )1x3251x23555 = 2x65x6555 += : 2x65x6155 ++= : 2x65x61 +=+ 12x65x6 =+ : 15x30x6 =+ : 5x36 = : 365x = e) 17 6x5x2=+ Solucin. Los dos trminos se pueden expresar como exponenciales de igual base. 17 6x5x2=+ : 06x5x77 206x5x2=+=+ ( ) ( )===3x2x:1261455x2 2 f) 224 xx = Solucin. Ecuacin de segundo grado en la variable 2x. 224 xx = : ( ) 0222 xx2 = : ( ) 0222 x2x = Cambio de variable: 2x = t > 0 (por definicin, la exponencial siempre es positiva). 02tt 2 = : ( ) ( ) ( )====2t1t1221411t2 t = 1: No tiene sentido, la exponencial siempre es positiva t = 2: 1x222t 1x ==== g) 2164 xx = Solucin. Los dos trminos se pueden expresar como exponenciales de igual base. 2164 xx = : ( ) ( ) 222 x4x2 = : 222 x4x2 = : 1x4x2 22 =+ 61 x: 1x622 1x6 === h) 081329 2xx =+ + Solucin. Ecuacin de segundo grado en la variable 3x. ( ) ( ) ( ) 0813923:39333339:081329 x2xxx22x2xx2x2xx =+=====+++ ( ) { } ( ) ( ) 91281141818t:081t18t:03t:081318322xx2x ===+>==+ 2x393t 2x ==== i) 01787 1x3x2 =+ ++ Solucin. Ecuacin de segundo grado en la variable 7x. ( ) ( ) 017787343:777777343777:01787 x2xxx11x2xx233x21x3x2 =+=====+++++ ( ) { } ( ) ( ) ===+>==+3432134345656t:01t56t343:0t7:01756734322xx2x=========2x77491t1x7771t:6864256x2x1j) 181232 xx = Solucin. Los dos trminos se pueden expresar como exponenciales de igual base. ( ) ( ) ( ) ( )3x33x22xxx 326 : 326 : 323232 : 181232 ==== 3x66 3x == 3 k) 43131xx =+Solucin. Ecuacin de segundo grado en la variable 3x. 4333 : 43313 : 4313xx1xx1xx =+=+=+ Para quitar el denominador, se multiplica toda la ecuacin por 3x. ( ) ( ) { }t3:03343 : 3433 : 433333 xx2xx2xxxxx ==+=+= + ( ) ( )==========+1x333t0x331t:1231444t:03t4t x1x022 l) 032024 3x1x =+ ++ Solucin. Ecuacin de segundo grado en la variable 2x. ( ) ( ) ( ) 03202824:282222424444:032024 x2xxx33x2xx2x11x3x1x =+======+++++ { } ( )=====3x228t vlidaNo 010t:423204488t:0320t8t4:0t2 x322x m) 896222 1xx1x =++ + Solucin. Ecuacin con la exponencial 2x como factor comn del primer miembro. ( ) 8962212:89622222:222222:896222 x11x1xx1x11xx11x1xx1x =++=++===++ ++ 8x2256728962 : 807227 : 89622121 8xxx ====== ++ n) 433 x1x =+ Solucin. Ecuacin de segundo grado en la variable 3x, es otra forma diferente de la ecuacin k. ===+=+ 1x0x: 4333 : 433xxx1x o) 9602222 4x3x2x1x =+++ Solucin. Ecuacin con la exponencial 2x como factor comn del primer miembro. 96022222222 : 9602222 4x3x2x1x4x3x2x1x =+++=+++ ( ) 960212121212 : 960222224321x4321x = +++=+++ 15169602 : 96016152 : 961212222 xx423x ===+++ 10x210242 10x === 4 p) 024252 x3xx =+ Solucin. Ecuacin de bicuadrada en la variable 2x. Para transformar la ecuacin se multiplican los dos miembros por 23x, que es el trmino que queremos eliminar. 024252 x3xx =+ : ( ) x3x3x3xx 20224252 =+ 022422522 x3x3x3xx3x =+ : 024252 x3x3x3xx3x =+ +++ 024252 0x2x4 =+ : 014252 x2x4 =+ : 04252 x22x2 =+ ( ) { } 04t5t:0t2:04252 2x2x22x2 =+>==+ Resolviendo la ecuacin de segundo grado se obtienen dos posible valores de t. ===========+1x:x22224t0x:x20221t:04t5t x22x202 q) 117333 1xx1x =++ + Solucin. Ecuacin con la exponencial 3x como factor comn del primer miembro. 117333 1xx1x =++ + : 11733333 1xx1x =++ : ( ) 1173133 1x =++ 11731313x = ++ : 11739313x =++ : 1173133x = : 1173133x = : 1331173x= 273x = : 3x33 3x == r) 0101616 x1x =+ Solucin. Ecuacin de segundo grado en la variable 16x. 0101616 x1x =+ : 010161616xx =+ : xxxx 1601610161616 = + 016101616161616 xxxxx =+ : ( ) 016101616 x2x =+ : ( ) 016161016 x2x =+ { } ( )( )===============+=43x:x4322:22168t41x:x4122:22162t:grado 2 Ecc:016t10t:0t16x43x4x4xx41x4x4x2xs) 198422222 4x23x22x21x2x2 =++++ Solucin. Ecuacin con la exponencial 22x como factor comn del primer miembro. 198422222 4x23x22x21x2x2 =++++ : 1984222222222 4x23x22x21x2x2 =++++ ( ) 1984222212 4321x2 =++++ : 198416181412112 x2 = ++++ : 1984161248162 x2 =++++ 198416312 x2 = : 311619842 x2= : 10242 x2 = : 5x:10x222 10x2 === 5 t) 033283 x)1x(2 =++ Solucin. Ecuacin de segundo grado en la variable 3x. 033283 x)1x(2 =++ : 033283 x2x2 =++ : 0332833 xx22 =+ ( ) { } 03t28t9:0t3:0332839 2xx2x =+>==+ Ecuacin de segundo grado. ========+ 2x3391t 1x33t:03t28t9 x2x2 u) 36333333 4x3x2x1xx =++++ Solucin. Ecuacin con la exponencial 3x como factor comn del primer miembro. 36333333 4x3x2x1xx =++++ : 363333333333 4x3x2x1xx =++++ ( ) 363333313 4321x =++++ : 363811271913113x = ++++ 3638113927813x =++++ : 363811213x = : 121813633x= : 2433x = 5x33 5x == v) 562555 1xx1x =++ + Solucin. Ecuacin con la exponencial 5x como factor comn del primer miembro. 562555 1xx1x =++ + : 56255555 1xx1x =++ : ( )5625155 11x =++ 56251155x = ++ : 5625165x = + : 56251305x =+ : 5625315x = 3155625x= : 25x = Como 2 no se puede poner en base 5, para despejar x hay que tomar logaritmos en ambos miembros de la igualdad y aplicando las propiedades de estos, despejar x. 2log5log25 xx == : 2log5logx = : 5log2logx = w) 43x = Solucin. Teniendo en cuenta que 4 no se puede expresar en base 3, para resolver la ecuacin se toman logaritmos. 43x = : 4log3log x = : 4log3logx = : 3log4logx = x) 28e 2x4 = Solucin. Para resolver la ecuacin se toman logaritmos neperianos, que son en base e, y permiten eliminar la exponencial del primer miembro. 28e 2x4 = : 28lneln 2x4 = : ( ) 28lneln2x4 = : ( ) 28ln12x4 = 28ln2x4 = : 428ln2x+= 6 y) ( )341x2 2e = Solucin. Para resolver la ecuacin se toman logaritmos neperianos, que son en base e, y permiten eliminar la exponencial del primer miembro. ( )341x2 2e = : ( ) 431x2 2lneln = : ( ) 2ln43eln1x2 = : ( ) 2ln4311x2 = 42ln31x2 = : 82ln34242ln31x+=+= 2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales: a) ==+ +33965158076253yx1yx Solucin. Se resuelve por cambio de variable (5x = t; 6y = s). ==++33965158076253y1x1yx : ==+ 3396551580766253yx1y1x : ==+33965511580761253yxyx : ==+33965511580761253yxyx==+33965380761253yxyx : Cambio de variable:>=>=0s60t5yx: ==+339st3807s12t3 Se resuelve el sistema (Por eliminacin, restando las ecuaciones se elimina t). ( )3613468s : 468s13: 468s13 / :339st3807s12t3 ======+ Conocido el valor de s se sustituye en la segunda ecuacin y se despeja t. 1253375 t: 3753t : 33936t3 ==== =========2y636s63x5125t52y3x b) ==+255255yx3yx Solucin. ==+====++2yx6yx5555:2552552yx6yxyx3yx El sistema resultante se resuelve por eliminacin, sumando se despeja x, restando y. ====+2y4x:2yx6yx 7 c) ==++ 24333633yxyx Solucin. Se resuelve por cambio de variable (3x = t; 3y = s). ==+>=>===+===++ 243st36st:0s30t3:24333363324333633yxyxyxyxyx Sistema no lineal. ( ){=======+====+27936s:9t92736s:27t:0243t36t:243t36t:t36s:243st36st 2 ( )========2 ,3:2y339s3x3327ty2x3 ( )========3 ,2:3y3327s2x339ty3x2 d) ==++ 32428522)yx(2y2x2 Solucin. Se resuelve por cambio de variable (22x = t; 22y = s). ==+====+===++ 324st85st:s2t2:32422852232428522y2x2y2x2y2x2)yx(2y2x2 Sistema no lineal de ecuaciones. Se resuelve por sustitucin. ( ){=======+====+48185s:81t81485s:4t:0324t85t:324t85t:t85s:324st85st 2 ==========2log281logy:81log2logy2:2log81log:281t1x:2x2224ty2y2x22 o viceversa 8 ECUACIONES LOGARTMICAS 1. Calcular Los logaritmos que se indican a continuacin a) 9log3 b) 1024log 2 c) 9log31 d) 1251log5 e) 6log 216 f) 93log 27 Solucin. Aplicando la definicin de logaritmo se transforma en una exponencial. xayxlog ya == a) 2x33 : 93x9log 2xx3 ==== b) 10x22 : 10242x1024log 10xx2 ==== c) ( ) 2 x: 2x33 : 33 : 931x9log 2x2x1x31 ====== d) ( ) 6x : 32x55 : 55 : 12515x1251log 32x3x21x5 ====== e) ( )31 x: 1x366 : 66 : 6216x6log 13xx3x216 ====== f) ( )21 x: 23x333 : 33 : 333 : 9327x93log 23x3221x3221x3327 ======= 2. Hallar la base de los logaritmos en las siguientes igualdades a) 24loga = b) 29log a = c) 3125'0log a = d) 3015625'0log a = e) 3001'0log a = f) 54x ln = g) x64log3 = Solucin. Aplicando la definicin de logaritmo se transforma en una exponencial. xayxlog ya == a) 24a : 4a24log 2a ==== b) 39a : 9a29log 2a ==== c) 21810'125a : 125'0a3125'0log 333a ===== d) 4121216410'015625a : 015625'0a3015625'0log236333a ======= e) 101000a : 1000a : 001'01a : 001'0a1 : 001'0a3001'0log 33333a ======= 9 3. Resolver las siguientes igualdades aplicando la definicin de logaritmo: a) 162 x = b) 93 x1= c) x64log 2 = d) x5'0log16 = e) x00001'0log10 = f) 23125log x = g) 4xlog3 = h) x7log343 = i) x2527log35 = j) 54x ln = k) x64log3 = Solucin. Para resolver este ejercicio hay que tener en cuenta que el logaritmo y la exponencial son operaciones inversas: nalog na = na nloga = a) { } 4 x: 2logx:x2log:61log2log162 42x22x2x ===== b) 21 x: 2x1 : 3logx1 : 9log3log93 233x13x1===== c) 6 x: x2log : x64log 622 === d) ( )41x : 14x : 22 : 22 : 2116x5'0log 1x41x4x16 ====== e) 5x1010 : 00001'010x00001'0log 5xx10 ==== f) ( ) 25555x : 125x23125log 232332323x ======g) 81 x: x34xlog 43 === h) ( )61 x: 21x377 : 77 : 7343x7log 21x321x3x343 ====== i) 3x3535 : 3535 : 2712535 : 1252735x12527log3x133x1xx35 ======j) 4ex : e4x54x ln55 === k) x64log3 = Como los logaritmos en base 3 no estn tabulados ni aparecen en las calculadoras, es necesario hacer un cambio de base. 643x64log x3 == Tomando logaritmos decimales en ambos miembros de la igualdad, se despeja x. ( )aCalculador79,33log64log x: 64log3logx : 64log3log643 xx ==== 10 4. Sabiendo que 3010'02log = , calcular los logaritmos de los siguientes nmeros: a) 5 b) 125 c) 025 d) 4 08'0 e) 3 161 f) 4 25'781 g) 8025'0 h) 3 02'0 i) 4 353800125'064'02'3Solucin. Aplicando las propiedades de los logaritmos, e ideas felices se transforman los logaritmos y se expresan en funcin de log 2. a) 6990,03010,012log10log210log5log ==== b) ( ) ( ) 0970,23010,0132log10log3210log35log35log125log 3 ====== c) 6020,03010,022log22log04log1log41log25'0log 2 ====== d) ( ) ( ) ( ) ( )( ) =+=+=== 10log22log34110log2log41102log41108log08'0log 23234124 ( ) ( ) 2745,0123010,0341122log341 === e) ( )4013,03010,0342log342log21log161log 343143===== f) ( ) ( ) ===== 10log25log74110log5log41105log4110078125log25'781log 2727414 ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 7232,023010,0174122log174122log10log74112210log741 ==== = g) ( ) ( ) === 33213 2log1025log218log1025log8025'0log ( ) ( )( ) = =+=+= 2log313210log2212log310log35log2212log310log5log21 32 ( )[ ] ( )[ ] ==== 2log3232log12log332log12212log332log10log221 704,13010,04212log421 === 11 h) ( ) ( ) ( )( ) =+=+== 10log22log3110log2log31102log02'0log 23123 ( ) ( ) 5663,023010,031122log31 === i) ( ) ( ) ==43452314 353801012510641032log800125'064'02'3log ( ) ( ) ( ) = = 43443526315 52105log102102log ( ) ( ) ( ) =+++= 43443526315 52log10log5log102log102log ( ) ( ) ( ) ( )=+= 52log4310log45log3102log5102log3 42615 ( ) ( ) ( )=+++++= 5log2log4314210log310log2log510log2log3 42615 ( )( ) ( )( ) ( ) = +++++=210log2log44342log10log310log22log6510log12log53 ( ) ( ) ( ) ( ) =++= 2log10log432log44342log13122log65112log53 ( ) ( ) ( ) ( ) =++= 2log1432log342log1322log6512log53 ==++++=4512log41832log431432log342log33102log3032log15 0207,14513010,04183 == 5. Resolver las siguientes ecuaciones logartmicas: a) 472xlogxlog2 = Solucin. 472xlogxlog2 = : 472 10log2xlogxlog = : 472102xlogxlog = 0xx102 : xx102 : 102xx102xlogxlog 247247472472 ==== ====4747471021 x: 01x102 0x:0x1x102 x = 0 no es vlida porque no existe el logaritmo de 0. b) ( ) ( ) 24x3log9x7log 22 =+ Solucin. ( ) ( ) 24x3log9x7log 22 =+ : ( ) ( ) 24x3log29x7log2 =+ ( ) ( )( ) 24x3log9x7log2 =+ : ( ) ( ) 14x3log9x7log =+ : ( ) ( )[ ] 110log4x39x7log = ( ) ( ) 104x39x7 = : 1036x55x21 2 =+ : 026x55x21 2 =+ Resolviendo la ecuacin de 2 grado: 12 ===+2113x2x:026x55x21 2 2113x = no es vlida porque no existen logaritmos de nmero negativos 0421133 : 0921137 13 ( ) ( )4xlog2log24x5log2 +=+ : ( ) ( )4xlog2log4x5log 22 +=+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4x445x : 4x24x54xlog24x5log 22222+=++=++=+ ( )==+==+=++=++2536 x: 036x25 0x:03625x x: 0x36x25 : 16x416x40x25 22 2536x = no es valida porque genera logaritmos negativos. h) ( )41log34log3xx 2 = Solucin. ( ) 33xx33xx241441log4log : 41log34log3xx22=== ( )======= 1 x: 01x 0x:01xx : 0x x: 33xx44 2233xx2 Vlidas las dos soluciones. i) ( )( ) 24x3logx16log 2=Solucin. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222224x3x164x3logx16log : 4x3log2x16log : 24x3logx16log====( )======+=5121024x : 024x10 0x:024-10x x: 0x24x10 : 16x24x9x16 222 j) ( ) 216xlogxlog2 = Solucin. ( ) ( ) ( ) 2222 10log16xlogxlog : 10log16xlogxlog : 216xlogxlog2 === ( )===+=== 80x20x:01600x100 x: 16x100 x: 10016xx100log16xxlog 2222 Las dos soluciones son vlidas k) ( ) 416log5log7x4x 2 =++ Solucin. ( )1610000log5log : 16log10log5log : 416log5log7x4x 7x4x47x4x222===++ ++ 47x4x55 : 6255625log5log 247x4x7x4x7x4x222=+=== +++ ===+3x1x:03x4x 2 Las dos soluciones son vlidas l) ( ) 41250log2log x2x2 =++ Solucin. ( ) ( ) ( ) 1250log10log2log : 41250log2log 4x2x2x2x2 ==+ ++ 3x422 : 82 : 1250100002125010000log2log 23x4x4x4x42222===== 14 1x : 1x 2 == Las dos soluciones son vlidas m) ( )( ) 2x5logx11log2log 2=+ Solucin. ( )( ) 2x5logx11log2log 2=+ : ( ) ( )x5log2x11log2log 2 =+ ( )[ ] ( )22 x5logx112log = ( ) ( )22 x5x112 = : 222 xx105x222 += ===+31x3x:03x10x3 2 Las dos soluciones son vlidas n) 11011x10logxlog 2 =+ Solucin. 11011x10logxlog 2 =+ : 1011x10log10logxlog 12++= 1011x1010x1011x1010logxlog 22+= += : 11x10x 2 += ===11x1x:011x10x 2 Las soluciones se comprueban en la ecuacin: ==+ =+ =10121log11log10111110log11log11011x10logxlog 2211x2( ) 110log10log11log11log10log121log11log 221112122==+===( ) ( ) ==+ =+ =101log1log1011110log1log11011x10logxlog 21x2 ( ) 110log10log1log1log10log1log1log ==+== o) ( ) 2 log 36xlog xlog 2 =+ Solucin. ( ) 2 log 36xlog xlog 2 =+ : ( ) 32 2 log6xlog xlog =+ 86xx2 log6xx log232=+=+ : 48x8x 2 += : ===12x4x:048x8x 2 x = 4 no es valida porque genera un logaritmo negativo p) ( ) 216xlgxlg2 = Solucin. ( ) 216xlgxlg2 = : ( ) 22 10log16xlogxlog = 10016xx100log16xxlog22== : 1600x100x 2 = : ===+80x20x:01600x100x 2 Las dos soluciones son vlidas 15 6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones logartmicas a) =+=2ylogxlog15yxSolucin. ( ) ( ){ 100y15y:15yx:100yx15yx10logyxlog15yx2ylogxlog15yx2 =++=======+==+====+20155x5y 20y:0100y15y 2 x = 20; y = 5, es la nica solucin vlida. No existen logaritmos negativos. b) ==1ylogxlog11yx 22 Solucin. ( ) 11yy10 : y10x:10yx11yx:10logyxlog11yx222222====== 310x31y11y99 2 m=== c) ( )( )=+=213xlog218ylogyx Solucin. ( )( ) ( )( ) 183xx:3xy18yx3xy18yx213xlog218ylog 2222212yx +=+===+===+=481323y2369x : 09x6 : 189x6xx222 = +====++= d) ==423 2logylogxlog5log35logxlog( ) ( ) =========+=42344234423423 2yx5x2logyxlog5logxlog2logyxlog5log4xlog2logylogxlog5log35logxlog( )62124124242345252y : 52y : 2y5 ==== e) ( ) ( )==+531441log3logxy4logyx2logyx Solucin. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )==========+ +++12xyyx2yx12xyyxyx12xyyxyx332233423log3log4log2log531441log3logxy4logyx2logyx( ) ( ) ( )2312y12y3 : y3x:12xy0y3x12xyyx2yx3322 212xyyx2yx=========+== + Si 6212x2y === Vlida Si 6212x2y === Vlida 16 f) ( )=+=+2592log3logy2logx3log2yxlogSolucin. ( ) ( )( )( )( ) ( )==+==+=+==+=+45yx245yx232log32log3logyxlog32log3log2log3logyxlog2592log3logy2logx3log2yxlog{ ======+ 945xx45x9x45x9x45yx233232:32332:3232:x9y:32323yx =======4y5x:459y:5x3232:3232 5x55x g) ( )( )==+214xlog28ylogyx Solucin. ( )( ) ( )( ) 84xx:4xy8yx4xy8yx214xlog28ylog 2222212yx +==+===+====+( ) 143y3824x : 0x824 : 816x8xx 222 =====++= h) ( ) ( )==++11yx eee33logyxlogyxlogSolucin. Aplicando las propiedades de los logaritmos y exponenciales se transforma el sistema. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]==+===+===++++ 11yxmnmn11yx ee33logyxyxlogaaabalogblogalogeee33logyxlogyxlog ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )=+=+========++ 11yx33yxyxxgxfaaxgxfxglogxflogee33logyxyxlogxgxf11yx Sustituyendo x + y por 11 en la primera ecuacin se obtiene un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitas ( )===+===+=4y7x:reduccinPor :11yx3yx11yx33yx11i) ( ) ( )==+ 000.1yx000.10yxyxlog22 Solucin. ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ==+=+======++ 3yxlogyxlog4yxyxlog000.1logyxlog000.10logyxlog000.1yx000.10yxyxlog22yxlog22 ( ) ( )( ) ( )( )=+=++=3yxlogyxlog4yxlogyxlog Para resolver el sistema se hace un cambio de variable: ( )( ) ( ){ 3a4a:a4b:3ba4ba:yxlogbyxloga====+=+= 17 Ordenando se obtiene una ecuacin de 2 grado que nos permite encontrar la solucin. =======+134b3a314b1a:03a4a 2 ( )( ) ====+==+==495y505x:10yx10yx3yxlog1yxlog:3b1a:Si 31 Vlida ( )( ) ====+==+==495y505x:10yx10yx1yxlog3yxlog:1b3a:Si 13 Vlida j) == ylog4xlog5 ylog xlog 2 Solucin. ( ) ======+====452452210yx10yx 10logyx log10logyx log4ylog xlog5y glo xlogy log4 xlog5y glo xlog 2{ ( ) 101010y1010x : 10x : 10x10x:x10y:10yx10yx 23533 99342525452========= k) ==22 yxylogxxlogySolucin. =======22xy22xy22 yxyxyxylogxlogyxylogxxlogy+= Ryx Por definicin solo existen logaritmos de nmeros positivos

Recommended

View more >