DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribuciones discretas: Bernouilli, binomial, Poisson y multivariante. Las distribuciones discretas son aquellas.

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    15-Jan-2015

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<ul><li> Diapositiva 1 </li> <li> DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribuciones discretas: Bernouilli, binomial, Poisson y multivariante. Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un nmero determinado de valores: Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un nmero de 1 al 6; en una ruleta el nmero puede tomar un valor del 1 al 9 </li> <li> Diapositiva 2 </li> <li> DISTRIBUCION DE BERNUILLI La distribucin de Bernuilli es el modelo que sigue un experimento que se realiza una sola vez y que puede tener dos soluciones: acierto o fracaso: Cuando es acierto la variable toma el valor 1 Cuando es fracaso la variable toma el valor 0 Ejemplo: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no sale); p robabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten); p robabilidad de acertar una quiniela (o aciertas o no aciertas) </li> <li> Diapositiva 3 </li> <li> Al haber nicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios: A la probabilidad de xito se le denomina "p" A la probabilidad de fracaso se le denomina "q" Verificndose que: p + q = 1 Veamos los ejemplos antes mencionados : Ejemplo 1: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire: Probabilidad de que salga cara: p = 0,5 Probabilidad de que no salga cara: q = 0,5 p + q = 0,5 + 0,5 = 1 Ejemplo 2: Probabilidad de ser admitido en la universidad: Probabilidad de ser admitido: p = 0,25 Probabilidad de no ser admitido: q = 0,75 p + q = 0,25 + 0,75 = 1 Ejemplo 3: Probabilidad de acertar una quiniela: Probabilidad de acertar: p = 0,00001 Probabilidad de no acertar: q = 0,99999 p + q = 0,00001 + 0,99999 = 1 </li> <li> Diapositiva 4 </li> <li> DISTRIBUCION BINOMIAL Las distribucin binomial parte de la distribucin de Bernouilli: La distribucin de Bernouilli se aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tiene nicamente dos posibles resultados (xito o fracaso), por lo que la variable slo puede tomar dos valores: el 1 y el 0 La distribucin binomial se aplica cuando se realizan un nmero"n" de veces el experimento de Bernouilli, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre: 0: si todos los experimentos han sido fracaso n: si todos los experimentos han sido xitos Ejemplo: se tira una moneda 10 veces: cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la variable toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variable toma el valor 10La distribucin de probabilidad de este tipo de distribucin sigue el siguiente modelo: </li> <li> Diapositiva 5 </li> <li> Ejemplo 1: Cul es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? " k " es el nmero de aciertos. En este ejemplo " k " igual a 6 (en cada acierto decamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6) " n" es el nmero de ensayos. En nuestro ejemplo son 10 " p " es la probabilidad de xito, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5 La frmula quedara: Luego, P (x = 6) = 0,205 Es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda. </li> <li> Diapositiva 6 </li> <li> Ejemplo 2:Cul es la probabilidad de obtener cuatro veces el nmero 3 al lanzar un dado 8 veces? " k " (nmero de aciertos) toma el valor 4 " n" toma el valor 8 " p " (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0,1666) La frmula queda: Luego, P (x = 4) = 0,026 Es decir, se tiene una probabilidad del 2,6% de obtener cuatro veces el nmero 3 al tirar un dado 8 veces. </li> <li> Diapositiva 7 </li> <li> Ejemplos La probabilidad de que cierta clase de componentes sobreviva a una prueba de choques es . Encuentre la probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 de los 4 componentes que se prueben. Sol 27/128 </li> <li> Diapositiva 8 </li> <li> ejemplo Las posibilidades de que un bit transmitido a travs de un canal se reciba con error es de 0.1. Suponga adems que los ensayos de transmisin son independientes. Sea x el numero de bits con error en los siguientes 4 bits transmitidos, determine la probabilidad de que lleguen 2 bits con error 0.0486 </li> <li> Diapositiva 9 </li> <li> APLICACIONES Todo experimento que tenga resultados binarios (xito/fracaso, defectuoso/no defectuoso, enfermo/sano, mujer/hombre, etc.) y cuyos ensayos sean independientes. Ejemplos: Medicina: frmacos, cura/no cura Militares: misiles dan en el blanco/no dan. Comunicaciones: error de una cadena de bits. </li> <li> Diapositiva 10 </li> <li> MEDIA Y VARIANZA La media y varianza de la distribucin binomial, es: = np Varianza = npq Ejemplo: en el de 4 bits, = 4 x 0.1=.4 Varianza= 4 x 0.1x0.9= 0.36 </li> <li> Diapositiva 11 </li> <li> Distribucin Poisson. Las distribucin de Poisson parte de la distribucin binomial: Cuando en una distribucin binomial se realiza el experimento un nmero "n" muy elevado de veces y la probabilidad de xito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribucin de Poisson: Se tiene que cumplir que: " p " &lt; 0,10 " p * n " &lt; 10 La distribucin de Poisson sigue el siguiente modelo: </li> <li> Diapositiva 12 </li> <li> Vamos a explicarla: El nmero "e" es 2,71828 " l " = n * p (es decir, el nmero de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de xito en cada ensayo) " k " es el nmero de xito cuya probabilidad se est calculando Veamos un ejemplo: La probabilidad de tener un accidente de trfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, cual es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribucin de Poisson. Luego, P (x = 3) = 0,0892 Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de trfico en 300 viajes es del 8,9% </li> <li> Diapositiva 13 </li> <li> Otro ejemplo: La probabilidad de que un nio nazca pelirrojo es de 0,012. Cul es la probabilidad de que entre 800 recin nacidos haya 5 pelirrojos? Luego, P (x = 5) = 4,602 Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recin nacidos es del 4,6%.. </li> </ul>