Distribuciones de Probabilidad en Hidrología

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    10-Jul-2015

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<p>1</p> <p>DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EN HIDROLOGIA</p> <p>El comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas se describe con la ayuda de Distribuciones de Probabilidad. La variable se designa por mayscula y un valor especifico de ella por minscula. Por P(x = a) se denota la probabilidad de que un evento asuma el valor a; similarmente P(a x b) denota la probabilidad de que un evento se encuentre en el intervalo (a,b). Si conocemos la probabilidad P(a x b) para todos los valores de a y b, se dice que conocemos la Distribucin de Probabilidades de la variable x. Si x es un nmero dado y consideramos la probabilidad P(X x): F(x)= P(X x): y llamamos F(x) la funcin de distribucin acumulada Ejemplo Se tienen las probabilidades de que haya 1, 2, 3, ... etc, das nublados por semana en un determinado lugar, con ellos calcule la distribucin de probabilidades x 0 1 2 3 4 5 6 7 Total0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 # dias nubladosF(x)</p> <p>P(x) 0.05 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10 0.08 0.02 1.01.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 0</p> <p>F(x) 0.05 0.20 0.45 0.65 0.80 0.90 0.98 1.00</p> <p>f(x)</p> <p>2</p> <p>4 # dias nublados</p> <p>6</p> <p>8</p> <p>Si se tiene una variable aleatoria continua, la figura presenta el histograma de 85 aos de registro de caudales de crecientes (mximos instantneos) en el ro Magdalena, agrupados en 9 intervalos de clase.</p> <p>1</p> <p>x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total0.25 0.20</p> <p>P(x) 0.05 0.10 0.15 0.20 0.10 0.10 0.15 0.10 0.05 1.001.20 1.00 0.80 F(x) 0.60 0.40 0.20 0.00</p> <p>F(x) 0.05 0.15 0.30 0.50 0.60 0.70 0.85 0.95 1.00</p> <p>f(x)</p> <p>0.15 0.10 0.05 0.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Qmx instntaneo *10 (m/s)</p> <p>0</p> <p>2</p> <p>4</p> <p>6</p> <p>8</p> <p>10</p> <p>Qmx instntaneo *10 (m/s)</p> <p>Cuando el nmero de observaciones se incrementa, el tamao de los intervalos decrece y se puede tener algo s0.35 0.30 0.25F(x) 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00</p> <p>f(x)</p> <p>0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Qmx instntaneo *10 (m/s)</p> <p>0</p> <p>5</p> <p>10</p> <p>15</p> <p>Qmx instntaneo *10 (m/s)</p> <p>donde f(x) es la llamada funcin de densidad de probabilidades y tiene las siguientes caractersticas i)</p> <p>f ( x)dx = 1</p> <p>2</p> <p>ii) iii)</p> <p>P (a x b) = f ( x)dxa</p> <p>b</p> <p>b</p> <p>b</p> <p>f ( x)dx = 0</p> <p>Lo que implica que las probabilidades se definen solo como AREAS bajo la funcin de densidad de probabilidad (FDP) entre lmites finitos. 1.1 MOMENTOS DE LAS DISTRIBUCIONES</p> <p>Las propiedades de las distribuciones pueden ser definidas completamente en trminos de los momentos. Los momentos en estadstica son similares a los momentos en fsica (rotacin respecto al origen)M r = x r f ( x)dx para la variable continua </p> <p>M r = x r f ( x) para la variable discretaj =1</p> <p>n</p> <p>o respecto a la media (eje de rotacin diferente al origen)M r = ( x ) r f ( x)dx para la variable continua </p> <p>M r = ( x ) r f ( x) para la variable discretaj =1</p> <p>n</p> <p>1.2</p> <p>PARMETROS ESTADISTICOS</p> <p>Los estadsticos extraen informacin de una muestra, indicando las caractersticas de la poblacin. Los principales estadsticos son los momentos de primer, segundo y tercer orden correspondiente a la media, varianza, y asimetra respectivamente.</p> <p>1.2.1 Media :es el valor esperado de la variable misma . Primer momento respecto a la origen. Muestra la tendencia central de la distribucin</p> <p> = x f ( x)dx</p> <p>el valor estimado de la media a partir de la muestra es 1 n x = xi n i =1</p> <p>3</p> <p>1.2.2 Varianza :mide la variabilidad de los datos. Es el segundo momento respecto a la media.</p> <p> 2 = ( x ) 2 f ( x)dx</p> <p>el valor estimado de la varianza a partir de la muestra es 1 n s2 = ( xi x) 2 n 1 i =1 en el cual el divisor es n-1 en lugar de n para asegurar que la estadstica de la muestra no sea sesgada, es decir, que no tenga una tendencia, en promedio, a ser mayor o menor que el valor verdadero. Las unidades de la varianza son la media al cuadrado, la desviacin estndar es una medida de la variabilidad que tiene las mismas dimensiones que la media y simplemente es la raz cuadrada de la varianza, se estima por s. El significado de la desviacin estndar se ilustra en la siguiente figura</p> <p>1.00 0.80 f(x) 0.60 0.40 0.20 0.00 00.50</p> <p>2</p> <p>4 x1.00</p> <p>61.30</p> <p>82.00</p> <p>10</p> <p>Efectos de la funcin de densidad de probabilidad causados por cambios en la desviacin estndar. Coeficiente de variacin Cv = estimado es Cv =</p> <p> es una medida adimensional de la variabilidad su </p> <p>s x</p> <p>4</p> <p>1.2.3 Coeficiente de asimetra la distribucin de los valores de una distribucin alrededor de la media se mide por la asimetra. Se obtiene a partir del tercer momento alrededor de la media, dividindolo por el cubo de la desviacin estndar para que sea adimensional.E[( x ) 3 ] = ( x ) 3 f ( x)dx </p> <p>tercer momento respecto a la media</p> <p>=</p> <p>1</p> <p>3</p> <p>E `[( x ) 3 ]n ( x x) 3i =1 n</p> <p>Un estimativo del coeficiente de asimetra est dado por Cs =</p> <p>(n 1)(n 2) * s 3</p> <p>Ejemplo Encontrar el valor medio de la precipitacin si se tieneIntervalo (mm) 100 110 120 130 140 150 160 110 120 130 140 150 160 170 Xi medio 105 115 125 135 145 155 165 Frecuencia Frecuencia absoluta relativa 10 0.1 16 0.16 9 0.09 10 0.1 20 0.2 15 0.15 20 0.2 Total=100 x f(x) 10.5 18.4 11.25 13.5 29 23.25 33 x = 138.9</p> <p>2</p> <p>ANALISIS DE FRECUENCIA</p> <p>El anlisis de frecuencia es una herramienta utilizada para, predecir el comportamiento futuro de los caudales en un sitio de inters, a partir de la informacin histrica de caudales. Es un mtodo basado en procedimientos estadsticos que permite calcular la magnitud del caudal asociado a un perodo de retorno. Su confiabilidad depende de la longitud y calidad de la serie histrica, adems de la incertidumbre propia de la distribucin de probabilidades seleccionada. Cuando se pretende realizar extrapolaciones, perodo de retorno mayor que la longitud de la serie disponible, el error relativo asociado a la distribucin de probabilidades utilizada es ms importante, mientras que en interpolaciones la incertidumbre est asociada principalmente a la calidad de los datos a modelar; en ambos casos la incertidumbre es alta dependiendo de la cantidad de datos disponibles (Ashkar, et al. 1994). La extrapolacin de frecuencias extremas en una distribucin emprica de crecientes es extremadamente riesgosa (Garcon, 1994).</p> <p>5</p> <p>Para determinar la magnitud de eventos extremos cuando la distribucin de probabilidades no es una funcin fcilmente invertibles se requiere conocer la variacin de la variable respecto a la media. Chow en 1951 propus determinar esta variacin a partir de un factor de frecuencia KT que puede ser expresado:X T = + KT </p> <p>y se puede estimar a partir de los datos X T = x + KT s Para una distribucin dada, puede determinarse una relacin entre K y el perodo de retorno Tr. Esta relacin puede expresarse en trminos matemticos o por medio del uso de una tabla. El anlisis de frecuencia consiste en determinar los parmetros de las distribuciones de probabilidad y determinar con el factor de frecuencia la magnitud del evento para un perodo de retorno dado. A continuacin se describen las principales distribuciones de probabilidad utilizadas en hidrologa, la forma de estimar sus parmetros, el factor de frecuencia y los lmites de confianza. Estos ltimos son indicadores de que tanta incertidumbre se tiene con las extrapolaciones, puesto que determinar el rango de valores donde realmente estara la variables, si el rango es muy grande la incertidumbre es muy alta y si es pequeo, por el contrario, habr mucha confianza en el valor estimado.</p> <p>3 3.1</p> <p>DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES CONTINUAS DISTRIBUCION NORMAL</p> <p>La distribucin normal es una distribucin simtrica en forma de campana, tambin conocida como Campana de Gauss. Aunque muchas veces no se ajusta a los datos hidrolgicos tiene amplia aplicacin por ejemplo a los datos transformados que siguen la distribucin normal.</p> <p>3.1.1 Funcin de densidad:La funcin de densidad est dada porf ( x) = 1 exp1 ( x ) 2 2 2</p> <p> 2</p> <p> &lt; x &lt; </p> <p>6</p> <p>Los dos parmetros de la distribucin son la media y desviacin estndar para los cuales x (media) y s (desviacin estndar) son derivados de los datos.</p> <p>3.1.2 Estimacin de parmetros:x= 1 n xi n i =11</p> <p> 1 n 2 s= ( xi x) 2 n 1 i =1 </p> <p>3.1.3 Factor de frecuencia:1. Si se trabaja con los X sin transformar el K se calcula como xT </p> <p>KT =</p> <p>1 este factor es el mismo de la variable normal estndar K T = F 1 (1 Tr )</p> <p>3.1.4 Limites de confianza:X Tr t(1 ) S e</p> <p>donde es el nivel de probabilidad t(1 ) es el cuantil de la distribucin normal estandarizada para una probabilidad acumulada de 1- y Se es el error estndar</p> <p>3.2</p> <p>DISTRIBUCION LOGNORMAL DE DOS PARAMETROS</p> <p>Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se distribuyen normalmente se dice que X se distribuye normalmente. Esta distribucin es muy usada para el calculo de valores extremos por ejemplo Qmax, Qmnimos, Pmax, Pmnima (excelentes resultados en Antioquia). Tiene la ventaja que X&gt;0 y que la transformacin Log tiende a reducir la asimetra positiva ya que al sacar logaritmos se reducen en mayor proporcin los datos mayores que los menores.</p> <p>7</p> <p>Limitaciones: tiene solamente dos parmetros, y requiere que los logaritmos de la variables estn centrados en la media</p> <p>3.2.1 Funcin de densidad:f ( x) =</p> <p>1x 2</p> <p>exp</p> <p>1 ( y y ) 2 y2</p> <p>x&gt;0</p> <p>y = ln x donde, y : media de los logaritmos de la poblacin (parmetro escalar), estimado y y : Desviacin estndar de los logaritmos de la poblacin, estimado sy.</p> <p>3.2.2 Estimacin de parmetros:y=</p> <p>1 n ln( xi ) n i =11</p> <p>2 1 n sy = (ln( xi ) y ) 2 n 1 i =1</p> <p>3.2.3 Factor de frecuencia:Puede trabajarse en el campo original y en el campo transformado. 2. Campo transformado: Si se trabaja en el campo transformado se trabaja con la media y la desviacin estndar de los logaritmos, as: Ln(XTr) = xTr+KSy de donde, XTr = eln (xTr) con K con variable normal estandarizada para el Tr dado, xy media de los logaritmos y Sy es la desviacin estndar de los logaritmos. 3. Campo original: Si se trabaja con los X sin transformar el K se calcula como</p> <p>8</p> <p>1 ln(1 + Cv 2 ) 2 2 1 Exp KT * ( Ln(1 + Cv )) 2 Kt = Cv</p> <p>K es la variable normal estandarizada para el Tr dado, Cv =</p> <p>s es el coeficiente de x variacin, x media de los datos originales y s desviacin estndar de los datos originales.</p> <p>3.2.4 Limites de confianza:En el campo transformado. Ln( X Tr ) t(1 ) ST</p> <p>Se =</p> <p>( S y )n</p> <p> = 1 + T 2 </p> <p>K</p> <p>2</p> <p>1 2</p> <p>en donde, n numero de datos, Se error estndar, KT variable normal estandarizada.EJEMPLO: En un ro se tienen 30 aos de registros de Qmximos instantneos anuales con x= 15 m3/s, S = 5 m3/s (media y desviacin estndar para los datos originales). xy=2.655, sy = 0.324 (media y desviacin estndar de los datos transformados). Encontrar el caudal para un periodo de retorno de 100 aos y los limites de confianza para un = 5%. Calcular la probabilidad de que un caudal de 42.5 m3/s no sea igualado o excedido P(Q 4.25).</p> <p>Solucin: n=30 x= 15 m3/s s = 5 m3/s En el campo original1 ln(1 + Cv 2 ) Exp K * ( Ln(1 + Cv 2 )) 2 1 2 Kt = Cv</p> <p>xy=2.655 sy = 0.324</p> <p>9</p> <p>Cv =</p> <p>s = 5/15 = 0.33 x</p> <p>K = F-1(1-1/Tr) = F-1(1-1/100) = F-1(0.99) de la tabla de la normal se obtiene KT=2.331 ln(1 + 0.332 ) 1 Exp 2.33 * ( Ln(1 + 0.332 )) 2 2 KT = 0.33</p> <p>KT = 3.06 QTr = 15 + 5 * 3.028 QTr = 30.14 m3/s En el campo transformado se tiene que: LnQTr100 = 2.655 + 2.33*0.324 LnQTr100 = 3.40992 QTr100 = Exp (3.40992) Q Tr100 = 30.26 m3/s Limites de confianza Ln (QTr) t(1-) Se ( S y ) K 2 2 = 1 + T 2 n 1 1</p> <p>Se =</p> <p> 2.332 2 = 1 + 2 = 1.93</p> <p>Se =</p> <p>193 0.324 . 30</p> <p>. = 011</p> <p>t(1-) = t(0.95) = 1.645 (Ledo de la tabla de la normal)</p> <p>10</p> <p>Ln(30.28) (1.645 ) (0.11) 3.41 0.18095 [3.22905 [e3.22905 [25.26 3.59095] e3.59095] 36.29] Intervalos de confianza para QTr100</p> <p>b) Calcular la probabilidad de que un caudal de 45 m3/s no se igualado o excedido P(Q 4.25). Ln(42.5) = 3.75 t = (3.75 - 2.655)/0.324 F(3.38) = 0.9996 Ledo de la tabla de la normal P(Q 4.25) = 99.9%</p> <p>3.3</p> <p>DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA TIPO I</p> <p>Una familia importante de distribuciones usadas en el anlisis de frecuencia hidrolgico es la distribucin general de valores extremos, la cual ha sido ampliamente utilizada para representar el comportamiento de crecientes y sequas (mximos y mnimos).</p> <p>3.3.1 Funcin de densidad:f ( x) = (x ) ( x ) exp exp </p> <p>1</p> <p>En donde y son los parmetros de la distribucin. ( x ) F ( x) = f ( x)dx = exp exp </p> <p>11</p> <p>3.3.2 Estimacin de parmetros=6s</p> <p> = x 0.5772donde xy s son la media y la desviacin estndar estimadas con la muestra.</p> <p>3.3.3 Factor de frecuencia:KT = Tr 6 0.5772 + ln ln T 1 r </p> <p>Donde Tr es el periodo de retorno. Para la distribucin Gumbel se tiene que el caudal para un perodo de retorno de 2.33 aos es igual a la media de los caudales mximos.</p> <p>3.3.4 Limites de confianzaXt t(1-) SeSe =</p> <p> sn1</p> <p> = [1 + 1.1396K T + 1.1K T 2 ] 2KT es el factor de frecuencia y t(1-) es la variable normal estandarizada para una probabilidad de no excedencia de 1-.EJEMPLO: Para el ejemplo anterior encontrar el Q de 100 aos de periodo de retorno y los intervalos de confianza. x= 15 m3/s, s = 5 m3/s</p> <p>QTr100 = x + KT sKT = </p> <p>6</p> <p>{0.577 + ln[ln100 ln(99)]}</p> <p>KT = 3.14 QTr100 = 15 + 3.14*5 12</p> <p>QTr100 = 30.7 m3/s Intervalos de confianza t(1-) = t(0.95) = 1.645 (Ledo de la tabla de la normal) = [1 + 11396 (314 ) + 11 (314 ) ] . . . .2 1 2</p> <p> = 3.93</p> <p>Se =</p> <p>(3.93) (5)</p> <p>30 Se = 3.58 m 3 / s Xt t(1-) Se 30.7 m3/s (1.64) (3.58) [24.83 m3/s 36.58 m3/s] Intervalo de confianza para QTr100</p> <p>3.4</p> <p>DISTRIBUCION GAMA DE TRES PARAMETROS O PEARSON TIPO 3</p> <p>Esta distribucin ha sido una de las mas utilizadas en hidrologa. Como la mayora de las variables hidrolgicas son sesgadas, la funcin Gamma se utiliza para ajustar la distribucin de frecuencia de variables tales como crecientes mximas anuales, Caudales mnimos, Volmenes de flujo anuales y estacionales, valores de precipitaciones extremas y volmenes de lluvia de corta duracin. La funcin de distribucin Gamma tiene dos o tres parmetros.</p> <p>3.4.1 Funcin de densidad:1 x x0 f ( x) = ( ) 1</p> <p> x x0 exp </p> <p>donde, x0 x &lt; para &gt; 0 &lt; x x0 para &lt; 0</p> <p>13</p> <p> y son los parmetros de escala y forma, respectivamente , y x0 es el parmetro de localizacin.</p> <p>3.4.2 Estimacin de parmetros:2</p> <p> 2 = ; Cs </p> <p> =s </p> <p>Cs ; 2</p> <p> x0 = x y s son la media y la desviacin estndar de la</p> <p>Cs es el coeficiente de asimetra, x muestra respectivamente.</p> <p>3.4.3 Factor de frecuencia:Cs 1 3 Cs Cs Cs 1 Cs + ( z 6 z ) ( z 2 1) + z + 6 3 6 6 6 3 6 donde z es la variable normal estandarizada K z + ( z 2 1)2 3 4 5</p> <p>Este valor de K se encuentra tabulado de acuerdo al valor de Cs calculado con la muestra.</p> <p>3.4.4 Intervalos de confianza:Xt t(1-) Se Se = S</p> <p>n</p> <p>Donde S es la desviacin estndar de la muestra, n es el nmero de datos y se encuentra tabulado en funcin de Cs y Tr.EJEMPLO: Se tiene una estacin c...</p>