Distribuciones de Probabilidad Discretas y Continuas

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    03-Jul-2015

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS

Una distribucin de probabilidad es similar a una distribucin de frecuencias relativas. Sin embargo, en lugar de describir el pasado, esta describe la posibilidad de que se presente un evento futuro. Por ejemplo, un fabricante de medicamentos puede solicitar un tratamiento que provoque una prdida de peso en el 80% de la poblacin. Una agencia de proteccin al consumidor puede probar el tratamiento en una muestra de seis personas. Si la afirmacin del fabricante es verdadera, es casi imposible tener un resultado donde nadie pierda peso en la muestra y es ms probable que 5 de 6 personas pierdan peso.

Qu es una distribucin de probabilidad?

Una distribucin de probabilidad presenta los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada uno de ellos.

Variables aleatorias

En un experimento al azar, los resultados se presentan de manera aleatoria. Por tanto, casi siempre se le llama variable aleatoria, por ejemplo, si contamos el nmero de empleados ausentes el lunes en un turno matutino, el nmero podra ser 0, 1, 2, 3, .. El nmero de ausentes es una variable aleatoria. Otras variables aleatorias podran ser: el nmero de focos defectuosos producidos durante la semana, las estaturas de los miembros del equipo de basquetbol masculino, el nmero de corredores en una carrera, en cada uno de los ltimos diez aos el nmero de muertos por accidentes de trnsito durante las vacaciones de semana santa.

VARIABLE ALEATORIA: Es el resultado que se obtiene al azar en un experimento y que puede asumir valores diferentes.

Una variable aleatoria puede ser discreta o continua, ser discreta cuando solo pueda asumir ciertos valores claramente contables, por ejemplo si existen 100 empleados, entonces el conteo del nmero de ausentismos el da lunes solo puede ser, 0, 1, 2, 3, , 100. Y est generar distribuciones de probabilidad discretas como son: La Distribucin Binomial Hipergeometrica, Poisson, etc.

Si el rango de una variable aleatoria contiene un intervalo de valores reales, entonces es una variable aleatoria continua. Ejemplos de variables aleatorias continuas son: pesos, volmenes, longitudes, voltajes, resistencia, ngulos, espesor, entre otros. Y al igual que las variables aleatorias discretas generar distribuciones de probabilidad continuas como la Distribucin Normal.

MEDIA, VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR DE UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

La media es un valor tpico que se utiliza para representar la ubicacin central de una distribucin de probabilidad. Tambin se describe como su valor esperado. Y su valor se calcula a travs de:

|MEDIA DE LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD: |

= [xP(x)]

Donde P(x) es la probabilidad de un valor particular de x.

La varianza describe la cantidad de dispersin de los datos, (variacin de ellos), en una distribucin de probabilidad.

|VARIANZA DE UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD: |

2 = [(x - )2P(x)]

Los pasos para calcularla son los siguientes:

1. Restar la media a cada valor y elevar al cuadrado esta diferencia

2. Multiplicar cada diferencia elevada al cuadrado por su probabilidad.

3. Sumar los productos restantes para obtener la varianza.

La desviacin estndar, , se obtiene al extraer la raz cuadrada positiva de 2.

Ejemplo: El palacio de las pizzas ofrece tres tamaos de refresco de cola: chico, mediano y grande, para acompaar las pizzas. Los refrescos de cola se venden a $0.80, $0.90 y $1.20, respectivamente. De los pedidos, 30% son para el tamao chico, 50% para el mediano y 20% para el grande. Organice el tamao de los refrescos de cola y la probabilidad de venta en una distribucin de probabilidad. a) Es una distribucin de probabilidad discreta? b) Calcule la cantidad media cobrada por refresco de cola. c) Cul es la varianza de la cantidad cobrada por un refresco de cola? Cul es la desviacin estndar?

SOLUCION: a) Es una distribucin de probabilidad discreta ya que los valores que toma la variable aleatoria se pueden contar, (tres valores = chico, mediano y grande), esto se puede ver en la tabla siguiente:

|Tamao de refrescos |de cola (x) |chico de $ 0.80 |mediano de $ 0.90 |grande de $ 1.20 |totales |P(x)

|Probabilidad | | | | |

|

|0.30 |0.50 |0.20 |1.00

b) La cantidad media cobrada es:

=

[xP(x)]

= (0.80)*(0.30) + (0.90)*(0.50) + (1.20)*(0.20) = 0.93

c) Una tabla ser til para el clculo de la varianza:

|Tamao de refrescos |de cola (x) |chico de $0.80 | |mediano de $0.90 | |grande de $1.20 | |P(x)

|Probabilidad |(x - )

| |(x - )2

|

| |(x - )2.P(x) |0.00507 |

|

|0.30

|0.80 0.93

|0.0169

|0.50

|0.90 0.93

|0.0009

|0.00045

|0.20

|1.20 0.93

|0.0729

|0.01458

2 = 0.02010

De donde la desviacin estndar es: = 0.1417744688 0.14

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Es una distribucin de probabilidad discreta que se presenta muy a menudo. Una de sus caractersticas es que existan slo dos resultados posibles en una prueba particular de un experimento, en el control de calidad se puede identificar como una variable del tipo pasa o no pasa. Por ejemplo, un artculo cumple con especificaciones o no, una pieza resiste cierta fuerza o no. Es un experimento aleatorio donde el resultado de cada ensayo es uno de dos: xito o fracaso , este se conoce como experimento bernoulli. Un experimento aleatorio que consiste de una secuencia de n ensayos Bernoulli tales que: 1.- Los ensayos son independientes. 2.- La probabilidad de xito en cada ensayo, denotada por p, permanece constante, recibe el nombre de experimento binomial. La variable aleatoria X que es igual al nmero de ensayos donde el resultado es un xito, tiene una distribucin binomial (n, p). La funcin de probabilidad de X es:

f(x; n, p) = nCx px(1 p)n x, x = 0, 1, 2,

.., n

[pic] de combinaciones de n elementos disponibles tomados x a la vez.

Es el nmero

Aqu p es generalmente la proporcin promedio de artculos defectuosos. Algunos ejemplos tpicos para esta distribucin son los siguientes:

Un proceso produce 5% de piezas defectuosas. Sea X el nmero de piezas defectuosas en las siguientes 20 piezas producidas.

En una prueba final de artculos electrnicos se tiene un historial de que el 1% tiene alguna falla que es necesario reparar antes de liberarlos. Sea X la cantidad de artculos con fallas en los siguientes 50 inspeccionados.

De los nacimientos en un hospital, sea X la cantidad de nios varones en los siguientes 10 nacimientos.

Si X es una variable aleatoria con distribucin binomial (n, p), entonces, la media y la varianza de la distribucin ser:

= E(X) = np

y

2 = V(X) = np (1 p)

Y si estamos interesados en conocer r defectos o menos utilizaremos una distribucin acumulada para determinar la probabilidad de presencia, la cual la calculamos as:

Para un valor de: r n; [pic]

Ejemplos:

1.- En un proceso de fabricacin que produce gran cantidad de artculos, se sabe que en promedio 2% de ellos son defectuosos. Los artculos son empacados en cajas de 10, y se quiere saber cul es la probabilidad de que no haya ningn artculo defectuoso en cada caja. Si X es el nmero de artculos defectuosos por caja, entonces se quiere obtener P(x=0), lo cual es:

[pic]

Por tanto, se espera que el 82% de las cajas no tengan ningn artculo defectuoso. Mientras que el 18% restante tendr al menos un defectuoso. Si se quisiera saber cul es la probabilidad de que tengan exactamente un artculo defectuoso (P(x = 1)), entonces:

[pic]

Por lo que se espera que 16.7% de las cajas tendr exactamente un articulo defectuoso. Y si quisiramos saber cul es la probabilidad de que como mximo se tenga un defectuoso, entonces:

P(x 1) = P(x = 0) + P(x =1) = 0.82 + 0.167 = 0.987

De manera similar se podra calcular cualquier otra probabilidad.

2.- Las normas de la industria sugieren que el 10% de los vehculos nuevos requieren un servicio de garanta en el primer ao. Jones Nissan en Sumter, Carolina del Sur, vendi ayer 12 autos marca Nissan. a. Cul es la probabilidad de que ninguno de estos vehculos requiera el servicio de garanta? b. Cul es la probabilidad de que exactamente uno de estos vehculos requieren el servicio de garanta? c. Determine la probabilidad de que exactamente dos de estos vehculos requieren el servicio de garanta? d. Calcule la media y la desviacin estndar de esta distribucin de probabilidad.

Respuestas: a) 0.2824; b) 0.3765; c) 0.2301 d) = 1.2 y

= 1.0392

3.- La velocidad a la que las compaas de servicios pueden resolver problemas es muy importante. La compaa de telfonos Telecom, informa que puede resolver los problemas del cliente el mismo da que stos se reportan en el 70% de los casos. Suponga que 15 casos reportados hoy son representativos de todas las quejas. a) Cuntos problemas esperara que se resolvieran el da de hoy? Cul es la desviacin estndar? b) Cul es la probabilidad de que 10 de los problemas se resuelvan hoy? c) Cul es la probabilidad de que 10 u 11 de los problemas se resuelvan hoy? d) Cul es la probabilidad de que ms de 10 de los problemas se resuelvan hoy?

Respuestas: a) = 10.5 y

= 1.7748; b) 0.2061; c) 0.4247 d) 0.5154

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD HIPERGEOMETRICA

Esta se aplica en ciertos tipos de experimentos Bernoulli, en los que la probabilidad de xito no se mantiene constante. Por ejemplo, un conjunto de N objetos contiene K de ellos clasificados como xitos y (N K) como fallas. Se extrae una muestra aleatoria (sin reemplazo) de tamao n de tal conjunto, n N. Sea x el nmero de xitos en la muestra, entonces, x tiene una distribucin hipergeomtrica.

[pic]

donde: N es el tamao de la poblacin; K es el nmero de xitos en la poblacin; n es el tamao de la muestra y x es el nmero de xitos de la muestra (del que se quiere encontrar la probabilidad)

Adems se tiene que: [pic]. Cuando [pic] es menor que 0.1, la distribucin binomial se aproxima bien a la distribucin hipergeomtrica.

PROBLEMA: Play Time Toys, Inc. Emplea a 50 personas en el departamento de ensamblaje. Cuarenta de los empleados pertenecen a un sindicato y diez no. Se seleccionan cinco empleados al azar para

formar un comit que va a hablar con la gerencia acerca de los horarios en que inician los turnos. Cul es la probabilidad de que cuatro de los cinco empleados seleccionados para el comit pertenezcan a un sindicato?

SOLUCION: En este caso, la poblacin son los 50 empleados del departamento de ensamblaje. Un empleado puede ser seleccionado para el comit slo una vez. De ah que el muestreo se realice sin reemplazos. Por tanto, la probabilidad de seleccionar un empleado sindicalizado, cambia de un ensayo a otro. La distribucin de probabilidad hipergeomtrica es adecuada para determinar la probabilidad. En este problema N es 50, el nmero de empleados; K es 40, el nmero de empleados sindicalizados; n es 5, el nmero de empleados seleccionados, y x es 4, el nmero de empleados sindicalizados seleccionados.

Deseamos encontrar la probabilidad de que 4 de los 5 miembros del comit sean sindicalizados. Al insertar estos valores en la formula, tenemos:

[pic]

Por tanto, la probabilidad de seleccionar 5 trabajadores de ensamblaje al azar de los 50 trabajadores y encontrar que 4 de 5 sean sindicalizados es de 0.431.

EJERCICIO: La tienda Enseres Electrnicos del Sur, acaba de recibir un cargamento de diez reproductores de DVD. Poco despus de recibirlo, el fabricante llam para reportar que por error enviaron tres unidades defectuosas. La propietaria de la tienda, decidi probar dos de los diez reproductores de DVD que recibi. Cul es la probabilidad de que ninguno de los dos reproductores de DVD probados estn defectuosos? R/ 0.4667

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POISSON

Una situacin frecuente en control de calidad es evaluar variables como las siguientes: nmero de defectos por artculo, nmero de defectos por metro cuadrado de tela, nmero de defectos por unidad de rea, nmero de impurezas en un lquido, nmero de errores de un trabajador. Todos los casos anteriores se pueden resumir as: nmero de eventos que ocurren por unidad (por

unidad de rea, por unidad de volumen, por unidad de tiempo, etc.) Es frecuente que este tipo de variables tenga una distribucin de Poisson, cuya funcin de distribucin de probabilidad est dada por:

[pic]

donde [pic]= 2.718281828 .., adems la media de la distribucin es: = np = y su varianza es: 2 = Cuando el valor de n es bastante grande y la probabilidad de un xito p es muy pequea la distribucin binomial se aproxima bien a la distribucin de Poisson.

PROBLEMA: Un estudio de las filas en las cajas registradoras del Supermercado Selectos Gigante revel que entre las 4:00 y las 7:00 p.m., los fines de semana existe un promedio de cuatro clientes formados. Cul es la probabilidad de que usted visite el Supermercado Selectos Gigante a esa hora durante este mes y encuentre que: a) No hay clientes esperando?. b) Hay cuatro clientes esperando? c) Cuatro clientes o menos esperando? d) Cuatro clientes o ms estn esperando?

SOLUCION: Basados en que el experimento sigue una distribucin de Poisson, determinamos que el valor de = 4 que corresponde al promedio observado y procedemos a evaluar las condiciones pedidas en la formula de la distribucin.

[pic]

Cuyo total es de: P(x 4) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4)

P (x 4) = 0.01832 + 0.07326 + 0.14653 + 0.19537 + 0.19537 = 0.62885

d) P (x 4) = 1 P (x