Distribuciones de Probabilidad Conjunta

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    02-Jul-2015

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<p>DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTAAlgunos experimentos estadsticos pueden incluir ms de una variable aleatoria las cuales actan en forma conjunta, y es de inters determinar la probabilidad correspondiente a los diferentes valores que estas variables puedan tomar. En esta seccin revisamos las distribuciones de probabilidad para dos variables aleatorias que intervienen en forma conjunta.Caso discreto Definicin Sean X, Y: variables aleatorias discretas. Entonces su funcin de de probabilidad conjunta es f(x,y) distribucin</p> <p>Esta funcin satisface las siguientes propiedades 1) xy (f(x,y) u0) 2) f ( x , y ) ! 1x y</p> <p>3) P(X=x,Y=y) = f(x,y)</p> <p>Tambin se puede definir la distribucin de probabilidad acumulada conjunta:F(x,y) = P(Xex,Yey) =</p> <p>sex tey</p> <p> f ( s, t ) , -gex,yeg</p> <p>.</p> <p>Ejemplo. Una caja contiene 4 bateras defectuosas, 3 bateras en regular estado, y 2 bateras aceptables. Se toman dos bateras al azar. a) Encuentre la distribucin de probabilidad conjunta . Solucin Sean las variables aleatorias discretas X: cantidad de bateras defectuosas Y: cantidad de bateras en regular estado 2-X-Y: es la cantidad de bateras en buen estado que se obtienen en la muestra. Siguiendo el modelo hipergeomtrico, se tiene que la cantidad de formas diferentes de tomar x bateras defectuosas de las 4 existentes, y bateras en regular estado, de las 3 existentes, y 2-x-y bateras aceptables de las 2 existentes, es 2 4 3 x y 2 x y 9 Adems hay formas diferentes de tomar dos bateras de la caja. Por lo tanto, la distribucin 2 de probabilidad conjunta es 2 4 3 x y 2 x y , x,y = 0,1,2; x+y e2 P(X=x, Y=y) = f(x,y) = 9 2 b) Calcule la probabilidad de obtener una defectuosa y una aceptable Solucin</p> <p>2 4 3 1 0 2 1 0 = 0.2222 P(X=1, Y=0) = f(1,0) = 9 2 Caso continuo</p> <p>Definicin Sean X, Y: dos variables aleatorias continuas, entonces su funcin de densidad conjunta es f(x,y) Esta funcin satisface las siguientes propiedades 1) f(x,y)u0, x, yg g</p> <p>2)</p> <p>g g</p> <p> f ( x , y)</p> <p>x y!d b</p> <p>3) P(aeXeb, ceYed) =</p> <p> f (x , y)dxdyc</p> <p>La funcin de densidad de probabilidad de dos variables aleatorias cont inuas X, Y, es una superficie en el espacio. La probabilidad P(aeXeb, ceYed) es entonces una porcin del volumen debajo de la superficie y sobre el rectngulo aeXeb, ceYed</p> <p>La funcin de distribucin conjunta acumulada es:y x</p> <p>P(Xex, Yey) = F(x,y) =</p> <p> f (u, v )dudvg g</p> <p>Ejemplo. Suponga que el tiempo de mantenimiento semanal de una mquina depende de dos variables aleatorias contnuas (horas): X: duracin del mantenimiento mecnico Y: duracin el mantenimiento elctric o Suponga que la densidad de probabilidad conjunta es 2 ( x 2 y), e x, y e f(x,y) = 3 , tr x, y </p> <p>a) Verifique que es una funcin de densidad de probabilidadSolucin</p> <p>1) f(x,y)u0, x, y.</p> <p>.</p> <p>g g</p> <p>2)</p> <p>g g</p> <p> f ( x , y)dxdy ! 1:g g 1 2</p> <p>g g</p> <p> f (x, y)dxdy ! </p> <p>2 11 2 (x 2 y)dxdy ! (x 2 y)dxdy 3 00 00 3</p> <p>11</p> <p>=</p> <p>b) Calcule la probabilidad que en alguna semana, el mantenimiento mecnico dure menos de 15 minutos y el mantenimiento elctrico dure m s de 30 minutosSolucin1 1/ 4 1/ 2</p> <p>DISTRIBUCIONES MARGINALES DE PROBABILIDADEstas definiciones corresponden a funciones de probabilidad de cada variable.Definicin Caso discreto (dos variables) Sean X,Y variables aleatorias discretas y f(x,y) su funcin de probabilidad</p> <p>Entonces, las funciones de probabilidad g(x)=P(X=x)= f ( x , y)y</p> <p>h(y)=P(Y=y)=</p> <p> f ( x , y)x</p> <p>Se denominan funciones marginales de probabilidad Caso continuo (dos variables) Sean X,Y variables aleatorias continuas y f(x,y) su funcin de densidad de probabilidad conjunta. Entonces, las funciones de densidad de probabilidadg</p> <p>g(x)= h(y)=</p> <p>g g</p> <p> f ( x , y)dyg</p> <p> f ( x , y )dx.</p> <p>Se denominan funcione s marginales de densidad de probabilidad</p> <p>Para cada variable la distribucin marginal se obtiene sumando la funcin de probabilidad sobre la otra variable.Ejemplo. En el problema de las bateras, encuentre la distribucin marginal g(x) correspondiente a la cantidad de bateras defectuosas. Solucin:</p> <p>P(Xe1/4, Yu1/2) = </p> <p>2 y 21 1 2 x 2xy ]1 dy ! ( 2 y)dy ! [ y 2 ]1 ! 1 [ 2 0 0 3 2 30 2 30</p> <p> 3 (x 2 y)dxdy = 13/96</p> <p>2</p> <p>conjunta.</p> <p>.</p> <p>2</p> <p>g(0) = f (0, y) =f(0,0)+f(0,1)+f(0,2) = 0.2778y! 0 2</p> <p>g(1) = f (1, y ) =f(1,0)+f(1,1)+f(1,2) = 0.5556y !0</p> <p>g(2) = f (2, y) =f(2,0)+f(2,1)+f(2,2) = 0.1667y! 0</p> <p>2</p> <p>En este ejemplo, tambin se puede expresar g(x) mediante una frmula similar al modelo hipergeomtrico, separando las variables en dos grupos: X y las dems: 4 5 x 2 x , x=0, 1, 2 g(x) = 9 2 Ejemplo. Encuentre la densidad marginal g(x) para el problema del mantenimiento de la mquina:Solucin:g</p> <p>g(x) =</p> <p>g</p> <p>2 2 2 f ( x , y)dy ! 3 (x 2 y)dy ! 3 ?xy y A ! 3 ( x 1), 0exe12 1 0 0</p> <p>Se puede ver que las distribuciones marginales g(x), h(y) son en realidad funciones de probabilidad de X, Y en forma separada. Estas funciones deben cumplir las propiedades respectivas. Por ejemplo, verifique g(x), X continua: 4) g(x)u0, xg</p> <p>5)</p> <p> g( x )dx ! 1g</p> <p>Son evidentes, al sustituir g(x) con la definicin correspondiente Las distribuciones marginales pueden usarse para calcular probabilidad de cada variable. Ejemplo. Calcule P(ae Xeb):b</p> <p>P(aeXeb) =</p> <p> g( x )dxa</p> <p>DISTRIBUCIONES CONDICIONALES DE PROBABILIDADRecordemos la frmula de probabilidad condicional para eventos P(A|B) = P(A B)/P(B) Si definimos los eventos A: X=x B: Y=y Siendo X, Y variables aleatorias discretas con distribucin de probabilidad conjunta f(x,y), entonces, P(X ! x, Y ! y) P( Y ! y) Que se puede expresar con la notacin establecida para las distribuciones conjuntas: f ( x, y) f(x|y) = ( y) f(x|y) tambin satisface las propiedades de las funciones de probabilidadP(X=x|Y=y) =</p> <p>1</p> <p>Definicin Sean X, Y variables aleatorias discretas con distribucin de probabilidad f(x,y) Entonces, la distribucin condicional de X dado que Y=y, es f ( x, y) f(x|y) = h( y) Y la distribucin condicional de Y dado que X=x, es f (x, y) f(y|x) = . g(x) Definicin Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad de probabilidad f(x,y) Entonces, la densidad condicional d e X dado que Y=y, es f ( x, y) f(x|y) = h( y) Y la densidad condicional de Y dado que X=x, es f ( x, y) f(y|x) = g( x )</p> <p>.</p> <p>Las distribuciones condicionales tambin se pueden usar para calcular probabilidad:Caso discreto: Caso continuo: P(aeXeb|Y=y) = P(aeXeb|Y=y) =x!a b</p> <p> f ( x | y)</p> <p>b</p> <p> f(x</p> <p>y )dx</p> <p>Ejemplo. En el ejemplo de las bateras, encuentre la distribucin condicional de X dado que Y=1 Solucin f(x|1) = f(x,1)/h(1)2</p> <p>Pero, h(1) =</p> <p> f (x ,1) =f(0,1)+f(1,1)+f(2,1)x !0</p> <p>Por lo tantof(x|1) =</p> <p>f ( x ,1) f (0,1) f (1,1) f (2,1)</p> <p>Calcule la probabilidad que la segunda batera sea defectuosa dado que la primera e s regular:Solucin P(X=1|Y=1) =</p> <p>f (1,1) 0.3333 = =0.6667 f (0,1) f (1,1) f (2,1) 0.</p> <p>Para este ejemplo, se puede formular de manera general la probabilidad condicional. Ejemplo. Determine f(x|y)</p> <p>Solucin 2 4 1 2 1 1 f ( x , y ) = 0.6667 P(X=1|Y=1) = f(1|1) = ! h( y) 6 2 1 Ejemplo. En el problema del mantenimiento de la mquina, a) Encuentre la densidad condicional f(y|x) Solucin 2 ( x 2 y) x 2y f ( x , y) 3 f(y|x) = , 0ex,ye1 ! ! 2 x1 g( x ) ( x 1) 3 b) Calcule la probabilidad que el mantenimiento elctrico (Y) dure menos de 15 minutos dado que el mantenimiento mecnico (X) dur 30 minutos Solucin0.25 0.25</p> <p>P(Ye0.25|X=0.5) =</p> <p>0</p> <p> f ( y | 0.5) ! </p> <p>0.5 2 y dy =0.125 0 0.5 1</p> <p>VARIABLES ALEATORIAS ESTADSTICAMENTE INDEPENDIENTES</p> <p>Sean X,Y variables aleatorias continuas y f(x,y) su distribucin de probabilidad conjunta. Su densidad condicional es: f ( x, y) f(x|y) = h( y) y su densidad marginal se define como:g</p> <p>g(x) =</p> <p> f ( x , y)dyg g</p> <p>Sustituyendo la densidad condicional en la densidad marginal:g(x) =g</p> <p> f(x</p> <p>y )h( y )dy</p> <p>2 4 3 x y 2 x y 9 2 f ( x , y) f(x|y) = ! ! h( y ) 3 6 y 2 y 9 2 Ejemplo. Calcule P(X=1|Y=1)</p> <p>2 4 x 2 x y , x,y=0,1,2; x+ye2 6 2 y </p> <p>Supongamos que f(x|y) no depende de y. Esto significa que la expresin f(x|y) no contendra a la variable y. Por lo tanto, puede salir del integral:g</p> <p>g(x) = f(x|y) h( y )dyg g</p> <p>Pero</p> <p>g</p> <p> h( y)dy ! 1</p> <p>pues h(y) es tambin una funcin de densidad de probabilidad .</p> <p>Entonces g(x) = f(x|y). Sustituyendo en la densidad condicional inicial se obtienef(x,y) = g(x) h(y)</p> <p>Definicin Se dice que X, Y son variables aleatorias contnuas estad sticamente independientes si y solo si f(x,y) = g(x) h(y), en el dominio de x, y</p> <p>.</p> <p>Esta definicin se puede extender a ms variables aleatorias continuas.En el caso de variables aleatorias discretas, para que esta definicin sea cierta, debe cumplirse que en cada punto, el producto de las distribuciones marginales sea igual a la distribucin conjunta . MEDIA Y VARIANZA PARA VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS</p> <p>Sean X, Y variables aleatorias con distribucin de probabilidad conjunta f(x,y) Sea G(X,Y), alguna expresin con X,Y. Por lo tanto G tambin es una variable aleatoria.Definicin Si X, Y son variables aleatorias discretas La media o valor esperado de G(X,Y), es Q G( X , Y ) ! E? ( X , Y )A ! G(x , y )f ( x , y) GX Y</p> <p>Si X, Y son variables aleatorias contnuas valor esperado de G(X,Y), esg g</p> <p>La media o. .</p> <p>Q G( X , Y ) ! E?G( X , Y )A!</p> <p>Ejemplo Calcule la media de la suma de bateras defectuosas y bateras en estado regular en el ejemplo anterior: Solucin G(X,Y) = X+Y;</p> <p>g g</p> <p> G( x , y)dxdy</p> <p>E?X Y A! ( x y)f ( x, y) = (0+0)f(0,0) + (0+1)f(0,1) + ... + (2+2)f(2,2)x ! 0 y !0</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>Ejemplo</p> <p>2 4 3 x y 2 x Siendo f(x,y) = 9 2 </p> <p> y , x, y = 0, 1, 2; x+y e2</p> <p>En el ejemplo del mantenimiento de la mquina, calcule la media de la duracin de la suma del tiempo de mantenimiento semanal elctrico y mecnico:Solucin G(X,Y) = X+Y1 1</p> <p>E?X Y A!</p> <p> (x y )f ( x , y)dxdy0 0</p> <p>Siendo f(x,y) =</p> <p>2 ( x 2 y ) , 0ex,ye1 3</p> <p>CASO ESPECIAL</p> <p>Si G(X,Y) = X Q X ! E?X A! xf ( x , y ) ! x f ( x , y ) ! xg( x )X Y x y x</p> <p>Si G(X,Y) = Y Q Y ! E?Y A ! yf ( x , y ) ! y f ( x , y ) ! yh( y )X Y y x y</p> <p>.</p> <p>en donde g(x), h(y) son las distribuciones marginales Igualmente para el caso continuo: Si G(X,Y) = Xg</p> <p>Q X ! E?X A !</p> <p>g</p> <p> xg(x )dx.</p> <p>Si G(X,Y) = YQ Y ! E?Y A !g</p> <p> yh( y)dyg</p> <p>en donde g(x), h(y) son las densidades marginalesCOVARIANZA La definicin de varianza se ext iende a variables aleatorias conjuntas y se denomin a covarianza Definicin Sean X, Y variables aleatorias discretas con distribucin conjunta f(x,y) Entonces, la covarianza de X, Y es W XY ! Cov?X , Y A! E? X Q X )( Y Q Y )A ! ( x Q X )( y Q Y )f ( x , y ) (x y</p> <p>Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad conjunta f(x,y) Entonces, la covarianza de X, Y esg g</p> <p>W XY ! Cov?X , Y A ! E? X Q X )( Y Q Y )A! (</p> <p>Igualmente, se puede obtener una frmula alterna para calcular la covarianza:</p> <p>g g</p> <p> (x Q</p> <p>X</p> <p>)( y Q Y )f ( x , y )dxdy</p> <p>.</p> <p>W XY ! Cov?X, Y A! E?XYA QX Q YDemostracin Cov[X,Y] = E[(X-Q X)(Y-Q Y)] = E[XY - XQ Y - YQ X + QXQY] = E[XY] - Q YE[X] - QXE[Y] + QXQY = E[XY] - QYQX - Q XQY + QXQY = E[XY] - Q XQ YPropiedades de la covarianza Si X, Y son variables aleatorias estadsticamente independientes, entonces Cov[X,Y] = 0 Demostracin Si X, Y son variables aleatorias estadsticamente independientes, se tiene que f(x,y) = g(x) h(y) Por lo tanto, E[XY] = xyf ( x , y ) ! xyg( x )h( y ) ! xg( x ) yh( y )x y x y x y</p> <p>.</p> <p>.</p> <p>= E[X] E[Y] sustituya en la frmula de la covarianza: Cov[X,Y] = E[XY] - QXQY = E[X]E[Y] - Q XQ Y = Q XQY - QXQY = 0 La demostracin es similar si X, Y son variables aleatorias continuas.Signos de la covarianza La covarianza tiene signo positivo si valores grandes de X estn asociados con valores grandes de Y, o si valores pequeos de X estn asociados con valores pequeos de Y. La covarianza tiene signo negativo si valores grandes de la una variable estn asociados con valores pequeos de la otra variable.</p> <p>Este comportamiento se puede observar en la definicin de covarianza:Cov?X , Y A! E?( X Q X )( Y Q Y )A ! ( x Q X )( y Q Y )f ( x , y )x y</p> <p>Si los valores de X, Y son ambos grandes o ambos pequeos, el producto de sus diferencias con respecto a sus medias tendr signo positivo, y la suma de estos trminos tendr signo positivo. Tambin es cierto con variables continuasDefinicin Sean X, Y variables aleatorias conjuntas (discretas o continuas) entonces, el coeficiente de correlacin de X, Y es: V XY ! Cov ?X , Y A W XY , ! W XW Y W XW Y</p> <p> 1 e V XY e 1</p> <p>.</p> <p>El smbolo V del alfabeto griego se lee ro y es una medida estandarizada de la covarianza. Esta definicin puede extenderse a ms variables aleatorias conjuntas.</p>