Copia (2) de Copia de Matemática

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    15-Sep-2015

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matematica

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  • 1

    Matemtica

    Mg. Sixto Gmez Salcedo

    2012

  • 2

    Autor

    Mag. Sixto Gmez Salcedo

    Primera Edicin - Abril 2012

    Diseo y diagramacin

    Lic. Vernica Rodrguez Velsquez

    Impreso por

    Universidad Tecnolgica del Per - Arequipa

    La Merced 209-215 Telf: (054) 286843

    Impreso en Per/ Printed in Per

  • 3

    INTRODUCCIN

    Los estudios de la Matemtica son cuestionados por muchos

    estudiantes de Educacin Primaria, Educacin Secundaria y Educacin

    Superior. En algunos casos, llegan a la Universidad con traumas

    psicolgicos provocados por las dificultades que han tenido en el

    aprendizaje de la Matemtica. Posiblemente la causa del rechazo de la

    Matemtica sean algunos profesores porque no asumen el rol educativo

    que les corresponde de centrar el proceso educativo en el proceso de

    aprendizaje, de ser un gua, un facilitador del proceso del aprendizaje

    proporcionando ayudas al proceso de construccin del conocimiento

    por parte de los estudiantes. El aprendizaje debe ser significativo en

    cuanto a su utilidad y a la conexin de los conocimientos nuevos con

    los conocimientos previos, para la modificacin de la estructura mental

    del estudiante y hacer duradero el aprendizaje.

    Por otro lado, la Matemtica promueve el desarrollo de capacidades

    intelectuales de los estudiantes, que las utiliza durante toda su vida.

    Entre otras capacidades se tiene las siguientes:

    - Observacin, concentrndose en lo principal y en los detalles.

    - Comparacin, sealando semejanzas y diferencias.

    - Clasificacin, formando grupos de objetos de la Matemtica.

    - Generalizacin, para el proceso de abstraccin.

    - Anlisis y sntesis; etc.

    El objetivo del presente trabajo es revalorar la importancia de la

    Matemtica, pues los conocimientos de la Matemtica se utilizan en

    todas las actividades humanas. As mismo, la Matemtica contribuye a

    ordenar el pensamiento por medio del razonamiento lgico, que incide

    en la obtencin de conclusiones.

  • 4

    El autor agradece las opiniones de profesores y alumnos que servirn

    para mejorar la presente edicin y ofrece disculpas por los errores que

    pudieran ser detectados.

    Arequipa, 03 de abril del 2012

    Mg. Sixto Gmez Salcedo

  • 5

    INDICE

    PRESENTACIN

    CAPITULO I: INTRODUCCIN A LA LGICA

    1.1 Proposiciones lgicas: Principios lgicos...........7

    1.2 Aplicaciones de los principios lgicos.....19

    1.3 Razonamiento matemtico......32

    CAPITULO II: ESTRATEGIAS DE ESTUDIO DE LA MATE-

    MTICA

    2.1 El Estudio.......37

    2.2 Estudio de la Matemtica........39

    2.3 Estrategias de estudio de las definiciones.........42

    2.4 Estudio de las propiedades......46

    2.5 Estrategias de estudio de los problemas......48

    CAPITULO II: IMPORTANCIA DE LA TEORA DE CON-

    JUNTOS

    3.1 Conjuntos en la realidad......56

    3.2 Conjuntos en la Matemtica.............57

    CAPITULO IV: LA MATEMTICA Y LA REALIDAD

    4.1 Los nmeros y las actividades profesionales........67

    4.2 Matematizacin de la ciencia.......68

    4.3 La Matemtica en la naturaleza: modelos matemticos........69

    CAPITULO V: VARIABLES Y FUNCIONES

    5.1 Variables y funciones en la realidad.....74

    5.2 Funciones en la Matemtica....76

  • 6

    CAPITULO VI: DIVERTIMIENTOS MATEMTICOS

    6.1 Juegos matemticos....83

    6.2 Divertimientos matemticos por adivinacin......87

    6.3 Razonamientos errados.......91

    CAPITULO VII: CARACTERSTICAS DE LA MATEMTICA

    7.1 La Matemtica como ciencia abstracta....96

    7.2 La Matemtica como ciencia deductiva.......98

    7.3 Teora de conjuntos como lenguaje de la matemtica....100

    7.4 El mtodo axiomtico de la Matemtica....101

    CAPITULO VIII: ESTRUCTURAS MATEMATICAS

    8.1 Sistemas matemticos...103

    8.2 Estructuras matemticas...107

    8.3 Estructuras matemticas y estructuras operatorias de la

    inteligencia....109

    MISCELANIA DE EJERCICIOS.....115

    BIBLIOGRAFIA.....116

  • 7

    CAPTULO I

    1 INTRODUCCIN A LA LGICA

    La estructura arquitectnica de la Matemtica est constituida por los

    materiales de construccin como nmeros, funciones y espacios

    unificados por la teora de conjuntos y el mtodo de construccin est

    constituido por las leyes de la Lgica que permiten ensamblar los

    materiales para levantar el edificio de la Matemtica. El material

    matemtico comprende principios generales como definiciones y

    axiomas de los cuales se deducen teoremas como casos particulares. La

    prueba o demostracin de los diversos teoremas se realiza utilizando las

    leyes de la Lgica, lo que constituye el raciocinio.

    El objetivo del presente captulo es tratar el aspecto ms elemental de la

    Lgica, las proposiciones lgicas y los principios lgicos de modo que

    permitan comprender de manera cabal el proceso mediante el cual se

    realiza las demostraciones de teoremas, partiendo de definiciones,

    axiomas y otros teoremas. Esta forma de ver la Matemtica se sintetiza

    afirmando que la Matemtica es una ciencia formal deductiva.

    1.1 PROPOSICIONES LGICAS: PRINCIPIOS LGICOS

    Una proposicin lgica o simplemente una PROPOSICIN, es un

    enunciado (o una expresin) susceptible a ser calificado de verdadero

    o falso. Por ejemplo, son proposiciones los siguientes enunciados:

    El perro es fiel amigo del hombre

    Yo estudio para triunfar

    25 + 15 = 40

    Juan conversa y Pedro lee

  • 8

    Las proposiciones son simples o atmicas y compuestas o

    moleculares. Las proposiciones simples no incluyen conjunciones o

    conectivos, tales como:

    Ayer hizo calor

    Roberto es bueno

    Soy feliz

    Trabajar no es afrenta

    Las proposiciones simples de la forma:

    S es P

    se llaman PROPOSICIONES PREDICATIVAS, donde S es el sujeto

    y P el predicado (cualidad del sujeto).

    Las proposiciones compuestas estn formadas por combinaciones de

    proposiciones simples utilizando conjunciones o conectivos; por

    ejemplo:

    Carlos mira y Alberto estudia

    Nairobi es capital de Kenia o de Uganda

    Si las plantas se abonan, entonces darn buenos frutos

    San Martina ha muerto y el Per lo llora

    Las conjunciones o conectivos ms comunes que utilizaremos son los

    siguientes:

    1. Negacin ...... no : simbolizada por

    2. Conjuncin .... y : simbolizada por

    3. Disyuncin ........ o : simbolizada por

    4. Condicional sientonces : simbolizada por

    5. Bicondicional . si y solo si : simbolizada por

  • 9

    Si las proposiciones simples de denotan con las letras:

    p, q, r,

    entonces tendremos cinco frmulas lgicas:

    Ntese que en una proposicin compuesta, por ejemplo:

    ( )

    las letras p, q, r son smbolos que representan proposiciones cuales-

    quiera. En la Lgica es importante la forma de las proposiciones com-

    puestas ms no el contenido de las proposiciones simples que inter-

    vienen.

    TABLAS DE VERDAD

    La verdad o falsedad de una proposicin compuesta, depende de la

    verdad o falsedad de las proposiciones simples que la componen. Para

    conocer la verdad de una proposicin compuesta es necesario

    construir las llamadas TABLAS DE VERDAD.

    Negacin: Una proposicin que se obtiene negando una proposicin

    simple p es verdadera si p es falsa y es falsa si p es verdadera:

    V F F V

  • 10

    Conjuncin: Una proposicin compuesta que une dos proposiciones simples por medio de la conjuncin y es verdadera si ambas propo- siciones simples son verdaderas:

    V V V V F F F V F F F F

    Disyuncin: Una proposicin compuesta en la que dos proposicio-

    nes simples se conectan por medio de la disyuncin o es verdadera

    si por lo menos una de las proposiciones simples es verdadera:

    V V V V F V F V V F F F

    Existe otro significado de la disyuncin o en el sentido que p q

    son proposiciones verdaderas pero no ambas a la vez. En este caso la

    disyuncin o se dice exclusiva y en lugar de escribir p q (con la

    o inclusiva) escribiremos:

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    V V V F F V V F V V V F F V V V V F F F F F V F

  • 11

    Condicional: En una proposicin condicional p q, la proposicin

    p se denomina ANTECEDENTE y la proposicin q, CONSE-

    CUENTE. Una proposicin condicional es verdadera si la verdad del

    consecuente depende de la verdad del antecedente; es decir, la verdad

    del antecedente obliga la verdad del consecuente. La situacin

    contraria ocurre cuando la verdad del antecedente no obliga la verdad

    del consecuente; es decir, cuando el antecedente es verdadero y el

    consecuente es falso; en este caso la proposicin compuesta es falsa.

    Luego se tiene la siguiente Tabla de Vedad parcial:

    V V V V F F

    Para construir el resto de la tabla de verdad de la proposicin

    condicional cuando el antecedente es falso, el uso corriente del

    espaol no es de mucha ayuda; pues esta clase de proposiciones

    parece que ni son tilies ni tienen sentido, como en los siguientes

    ejemplos:

    Si el sol es azul entonces la luna es dulce.

    Si todos los hombres son franceses entonces algunos hombres son

    franceses.

    En la Matemtica no se puede descartar los dos casos en los que el

    antecedente es falso. Por ejemplo: Sea p la proposicin falsa 3=4,

    aplicando propiedades correctas de las operaciones con nmeros

    naturales se puede ver que esta proposicin falsa conduce a resultados

    que son verdaderos o falsos. En efecto:

    1.

  • 12

    2.

    En concesuencia, en la Matemtica se presentan casos en los cuales el

    antecedente es falso y el consecuente puede ser falso o verdadero.

    Con estas ideas complementamos la tabla de verdad de la proposicin

    condicional:

    V V V V F F F V V F F V Ntese que, nunca una verdad puede implicar una falsedad.

    Bicondicional: La tabla de verdad de la proposicin bicondicional se

    obtiene a partir de la tabla de la proposicin condicional, en la

    siguiente forma:

    ( ) ( )

    V V V V V V F F F V F V V F F F F V V V

    PRINCIPIOS LGICOS O TAUTOLOGAS

    Un principio lgico es una proposicin compuesta que es siempre

    verdadera independientemente de la verdad o falsedad de las propo-

    siciones componentes. Los principios lgicos reciben el nombre de

  • 13

    TAUTOLOGAS y lo contrario a una tautologa se denomina

    CONTRADICCIN o FALACIA.

    Observacin: No todos los principios lgicos estn entre las catego-

    ras de tautologa o contradiccin.

    Ejemplo 1: ( )

    V F V F F V V V

    Tautologa

    Ejemplo 2:

    V F F F V F Contradiccin

    IMPLICACIN Y EQUIVALENCIAS LGICAS

    Es importante distinguir la implicacin lgica de la condicional y la

    equivalencia lgica de la bicondicional, con el fin de no cometer

    errores en el proceso de demostracin de la validez de las

    proposiciones. La implicacin lgica o simplemente implicacin, es

    una proposicin condicional tautolgica y se simboliza por:

    Luego: p q significa que la condicional p q es una tautologa y se

    dice que: p implica lgicamente a q, o que: q es una consecuencia

    lgica de p.

  • 14

    Por otro lado, la equivalencia lgica es una proposicin bicondicional

    tautolgica y se representa por:

    En este caso se tiene dos implicaciones lgicas: y ,

    luego se deduce lgicamente de se deduce lgicamente de

    .

    PRINCIPIOS LGICOS CON UN ARGUMENTO

    Existen tres principios lgicos clsicos, a saber: de identidad, de no

    contradiccin y del tercio excluido.

    1. Principio de Identidad: Toda proposicin verdadera es verda-

    dera.

    En smbolos se tiene: :

    V V F V

    2. Principio de No Contradiccin: Dos proposiciones contradic-

    torias no pueden ser ambas verdaderas: ( )

    ( )

    V V F F V F

    3. Principio del Tercio Excluido: Toda proposicin es verdadera

    o falsa:

    V V V F F F V V

  • 15

    Adems de los tres principios lgicos clsicos, existen otros, como los

    siguientes:

    4. ( )

    5. ( )

    ( ) ( )

    V F V F V V V V F V V V F F V F

    PRINCIPIOS LGICOS CON DOS ARGUMENTOS

    1. Principio de Modus Ponens: ,( ) -

    ,( ) - V V V V V V V V F F F V V F F V V F F V V F F V F F V F

    2. Principio de Contraposic...