Copia (2) de Copia de Matemática

  • Published on
    15-Sep-2015

  • View
    13

  • Download
    0

DESCRIPTION

matematica

Transcript

<ul><li><p>1 </p><p>Matemtica </p><p>Mg. Sixto Gmez Salcedo </p><p> 2012 </p></li><li><p>2 </p><p>Autor </p><p>Mag. Sixto Gmez Salcedo </p><p>Primera Edicin - Abril 2012 </p><p>Diseo y diagramacin </p><p>Lic. Vernica Rodrguez Velsquez </p><p>Impreso por </p><p>Universidad Tecnolgica del Per - Arequipa </p><p>La Merced 209-215 Telf: (054) 286843 </p><p>Impreso en Per/ Printed in Per </p></li><li><p>3 </p><p>INTRODUCCIN </p><p>Los estudios de la Matemtica son cuestionados por muchos </p><p>estudiantes de Educacin Primaria, Educacin Secundaria y Educacin </p><p>Superior. En algunos casos, llegan a la Universidad con traumas </p><p>psicolgicos provocados por las dificultades que han tenido en el </p><p>aprendizaje de la Matemtica. Posiblemente la causa del rechazo de la </p><p>Matemtica sean algunos profesores porque no asumen el rol educativo </p><p>que les corresponde de centrar el proceso educativo en el proceso de </p><p>aprendizaje, de ser un gua, un facilitador del proceso del aprendizaje </p><p>proporcionando ayudas al proceso de construccin del conocimiento </p><p>por parte de los estudiantes. El aprendizaje debe ser significativo en </p><p>cuanto a su utilidad y a la conexin de los conocimientos nuevos con </p><p>los conocimientos previos, para la modificacin de la estructura mental </p><p>del estudiante y hacer duradero el aprendizaje. </p><p>Por otro lado, la Matemtica promueve el desarrollo de capacidades </p><p>intelectuales de los estudiantes, que las utiliza durante toda su vida. </p><p>Entre otras capacidades se tiene las siguientes: </p><p>- Observacin, concentrndose en lo principal y en los detalles. </p><p>- Comparacin, sealando semejanzas y diferencias. </p><p>- Clasificacin, formando grupos de objetos de la Matemtica. </p><p>- Generalizacin, para el proceso de abstraccin. </p><p>- Anlisis y sntesis; etc. </p><p>El objetivo del presente trabajo es revalorar la importancia de la </p><p>Matemtica, pues los conocimientos de la Matemtica se utilizan en </p><p>todas las actividades humanas. As mismo, la Matemtica contribuye a </p><p>ordenar el pensamiento por medio del razonamiento lgico, que incide </p><p>en la obtencin de conclusiones. </p></li><li><p>4 </p><p>El autor agradece las opiniones de profesores y alumnos que servirn </p><p>para mejorar la presente edicin y ofrece disculpas por los errores que </p><p>pudieran ser detectados. </p><p>Arequipa, 03 de abril del 2012 </p><p>Mg. Sixto Gmez Salcedo </p></li><li><p>5 </p><p>INDICE </p><p>PRESENTACIN </p><p>CAPITULO I: INTRODUCCIN A LA LGICA </p><p>1.1 Proposiciones lgicas: Principios lgicos...........7 </p><p>1.2 Aplicaciones de los principios lgicos.....19 </p><p>1.3 Razonamiento matemtico......32 </p><p>CAPITULO II: ESTRATEGIAS DE ESTUDIO DE LA MATE- </p><p>MTICA </p><p>2.1 El Estudio.......37 </p><p>2.2 Estudio de la Matemtica........39 </p><p>2.3 Estrategias de estudio de las definiciones.........42 </p><p>2.4 Estudio de las propiedades......46 </p><p>2.5 Estrategias de estudio de los problemas......48 </p><p>CAPITULO II: IMPORTANCIA DE LA TEORA DE CON- </p><p>JUNTOS </p><p>3.1 Conjuntos en la realidad......56 </p><p>3.2 Conjuntos en la Matemtica.............57 </p><p>CAPITULO IV: LA MATEMTICA Y LA REALIDAD </p><p>4.1 Los nmeros y las actividades profesionales........67 </p><p>4.2 Matematizacin de la ciencia.......68 </p><p>4.3 La Matemtica en la naturaleza: modelos matemticos........69 </p><p>CAPITULO V: VARIABLES Y FUNCIONES </p><p>5.1 Variables y funciones en la realidad.....74 </p><p>5.2 Funciones en la Matemtica....76 </p></li><li><p>6 </p><p>CAPITULO VI: DIVERTIMIENTOS MATEMTICOS </p><p>6.1 Juegos matemticos....83 </p><p>6.2 Divertimientos matemticos por adivinacin......87 </p><p>6.3 Razonamientos errados.......91 </p><p>CAPITULO VII: CARACTERSTICAS DE LA MATEMTICA </p><p>7.1 La Matemtica como ciencia abstracta....96 </p><p>7.2 La Matemtica como ciencia deductiva.......98 </p><p>7.3 Teora de conjuntos como lenguaje de la matemtica....100 </p><p>7.4 El mtodo axiomtico de la Matemtica....101 </p><p>CAPITULO VIII: ESTRUCTURAS MATEMATICAS </p><p>8.1 Sistemas matemticos...103 </p><p>8.2 Estructuras matemticas...107 </p><p>8.3 Estructuras matemticas y estructuras operatorias de la </p><p>inteligencia....109 </p><p>MISCELANIA DE EJERCICIOS.....115 </p><p>BIBLIOGRAFIA.....116 </p></li><li><p>7 </p><p>CAPTULO I </p><p>1 INTRODUCCIN A LA LGICA </p><p>La estructura arquitectnica de la Matemtica est constituida por los </p><p>materiales de construccin como nmeros, funciones y espacios </p><p>unificados por la teora de conjuntos y el mtodo de construccin est </p><p>constituido por las leyes de la Lgica que permiten ensamblar los </p><p>materiales para levantar el edificio de la Matemtica. El material </p><p>matemtico comprende principios generales como definiciones y </p><p>axiomas de los cuales se deducen teoremas como casos particulares. La </p><p>prueba o demostracin de los diversos teoremas se realiza utilizando las </p><p>leyes de la Lgica, lo que constituye el raciocinio. </p><p>El objetivo del presente captulo es tratar el aspecto ms elemental de la </p><p>Lgica, las proposiciones lgicas y los principios lgicos de modo que </p><p>permitan comprender de manera cabal el proceso mediante el cual se </p><p>realiza las demostraciones de teoremas, partiendo de definiciones, </p><p>axiomas y otros teoremas. Esta forma de ver la Matemtica se sintetiza </p><p>afirmando que la Matemtica es una ciencia formal deductiva. </p><p> 1.1 PROPOSICIONES LGICAS: PRINCIPIOS LGICOS </p><p>Una proposicin lgica o simplemente una PROPOSICIN, es un </p><p>enunciado (o una expresin) susceptible a ser calificado de verdadero </p><p>o falso. Por ejemplo, son proposiciones los siguientes enunciados: </p><p>El perro es fiel amigo del hombre </p><p> Yo estudio para triunfar </p><p>25 + 15 = 40 </p><p>Juan conversa y Pedro lee </p></li><li><p>8 </p><p>Las proposiciones son simples o atmicas y compuestas o </p><p>moleculares. Las proposiciones simples no incluyen conjunciones o </p><p>conectivos, tales como: </p><p>Ayer hizo calor </p><p>Roberto es bueno </p><p>Soy feliz </p><p>Trabajar no es afrenta </p><p>Las proposiciones simples de la forma: </p><p>S es P </p><p>se llaman PROPOSICIONES PREDICATIVAS, donde S es el sujeto </p><p>y P el predicado (cualidad del sujeto). </p><p>Las proposiciones compuestas estn formadas por combinaciones de </p><p>proposiciones simples utilizando conjunciones o conectivos; por </p><p>ejemplo: </p><p>Carlos mira y Alberto estudia </p><p>Nairobi es capital de Kenia o de Uganda </p><p>Si las plantas se abonan, entonces darn buenos frutos </p><p>San Martina ha muerto y el Per lo llora </p><p>Las conjunciones o conectivos ms comunes que utilizaremos son los </p><p>siguientes: </p><p>1. Negacin ...... no : simbolizada por </p><p>2. Conjuncin .... y : simbolizada por </p><p>3. Disyuncin ........ o : simbolizada por </p><p>4. Condicional sientonces : simbolizada por </p><p>5. Bicondicional . si y solo si : simbolizada por </p></li><li><p>9 </p><p>Si las proposiciones simples de denotan con las letras: </p><p>p, q, r, </p><p>entonces tendremos cinco frmulas lgicas: </p><p>Ntese que en una proposicin compuesta, por ejemplo: </p><p> ( ) </p><p>las letras p, q, r son smbolos que representan proposiciones cuales- </p><p>quiera. En la Lgica es importante la forma de las proposiciones com- </p><p>puestas ms no el contenido de las proposiciones simples que inter- </p><p>vienen. </p><p>TABLAS DE VERDAD </p><p>La verdad o falsedad de una proposicin compuesta, depende de la </p><p>verdad o falsedad de las proposiciones simples que la componen. Para </p><p>conocer la verdad de una proposicin compuesta es necesario </p><p>construir las llamadas TABLAS DE VERDAD. </p><p>Negacin: Una proposicin que se obtiene negando una proposicin </p><p>simple p es verdadera si p es falsa y es falsa si p es verdadera: </p><p> V F F V </p></li><li><p>10 </p><p> Conjuncin: Una proposicin compuesta que une dos proposiciones simples por medio de la conjuncin y es verdadera si ambas propo- siciones simples son verdaderas: </p><p> V V V V F F F V F F F F </p><p>Disyuncin: Una proposicin compuesta en la que dos proposicio- </p><p>nes simples se conectan por medio de la disyuncin o es verdadera </p><p>si por lo menos una de las proposiciones simples es verdadera: </p><p> V V V V F V F V V F F F </p><p>Existe otro significado de la disyuncin o en el sentido que p q </p><p>son proposiciones verdaderas pero no ambas a la vez. En este caso la </p><p>disyuncin o se dice exclusiva y en lugar de escribir p q (con la </p><p>o inclusiva) escribiremos: </p><p> ( ) ( ) </p><p> ( ) ( ) </p><p> V V V F F V V F V V V F F V V V V F F F F F V F </p></li><li><p>11 </p><p>Condicional: En una proposicin condicional p q, la proposicin </p><p>p se denomina ANTECEDENTE y la proposicin q, CONSE-</p><p>CUENTE. Una proposicin condicional es verdadera si la verdad del </p><p>consecuente depende de la verdad del antecedente; es decir, la verdad </p><p>del antecedente obliga la verdad del consecuente. La situacin </p><p>contraria ocurre cuando la verdad del antecedente no obliga la verdad </p><p>del consecuente; es decir, cuando el antecedente es verdadero y el </p><p>consecuente es falso; en este caso la proposicin compuesta es falsa. </p><p>Luego se tiene la siguiente Tabla de Vedad parcial: </p><p> V V V V F F </p><p>Para construir el resto de la tabla de verdad de la proposicin </p><p>condicional cuando el antecedente es falso, el uso corriente del </p><p>espaol no es de mucha ayuda; pues esta clase de proposiciones </p><p>parece que ni son tilies ni tienen sentido, como en los siguientes </p><p>ejemplos: </p><p>Si el sol es azul entonces la luna es dulce. </p><p>Si todos los hombres son franceses entonces algunos hombres son </p><p>franceses. </p><p>En la Matemtica no se puede descartar los dos casos en los que el </p><p>antecedente es falso. Por ejemplo: Sea p la proposicin falsa 3=4, </p><p>aplicando propiedades correctas de las operaciones con nmeros </p><p>naturales se puede ver que esta proposicin falsa conduce a resultados </p><p>que son verdaderos o falsos. En efecto: </p><p>1. </p></li><li><p>12 </p><p>2. </p><p>En concesuencia, en la Matemtica se presentan casos en los cuales el </p><p>antecedente es falso y el consecuente puede ser falso o verdadero. </p><p>Con estas ideas complementamos la tabla de verdad de la proposicin </p><p>condicional: </p><p> V V V V F F F V V F F V Ntese que, nunca una verdad puede implicar una falsedad. </p><p>Bicondicional: La tabla de verdad de la proposicin bicondicional se </p><p>obtiene a partir de la tabla de la proposicin condicional, en la </p><p>siguiente forma: </p><p> ( ) ( ) </p><p> V V V V V V F F F V F V V F F F F V V V </p><p>PRINCIPIOS LGICOS O TAUTOLOGAS </p><p>Un principio lgico es una proposicin compuesta que es siempre </p><p>verdadera independientemente de la verdad o falsedad de las propo- </p><p>siciones componentes. Los principios lgicos reciben el nombre de </p></li><li><p>13 </p><p>TAUTOLOGAS y lo contrario a una tautologa se denomina </p><p>CONTRADICCIN o FALACIA. </p><p>Observacin: No todos los principios lgicos estn entre las catego- </p><p>ras de tautologa o contradiccin. </p><p>Ejemplo 1: ( ) </p><p> V F V F F V V V </p><p>Tautologa </p><p>Ejemplo 2: </p><p> V F F F V F Contradiccin </p><p>IMPLICACIN Y EQUIVALENCIAS LGICAS </p><p>Es importante distinguir la implicacin lgica de la condicional y la </p><p>equivalencia lgica de la bicondicional, con el fin de no cometer </p><p>errores en el proceso de demostracin de la validez de las </p><p>proposiciones. La implicacin lgica o simplemente implicacin, es </p><p>una proposicin condicional tautolgica y se simboliza por: </p><p>Luego: p q significa que la condicional p q es una tautologa y se </p><p>dice que: p implica lgicamente a q, o que: q es una consecuencia </p><p>lgica de p. </p></li><li><p>14 </p><p>Por otro lado, la equivalencia lgica es una proposicin bicondicional </p><p>tautolgica y se representa por: </p><p>En este caso se tiene dos implicaciones lgicas: y , </p><p>luego se deduce lgicamente de se deduce lgicamente de </p><p> . </p><p>PRINCIPIOS LGICOS CON UN ARGUMENTO </p><p>Existen tres principios lgicos clsicos, a saber: de identidad, de no </p><p>contradiccin y del tercio excluido. </p><p>1. Principio de Identidad: Toda proposicin verdadera es verda- </p><p>dera. </p><p>En smbolos se tiene: : </p><p> V V F V </p><p>2. Principio de No Contradiccin: Dos proposiciones contradic- </p><p>torias no pueden ser ambas verdaderas: ( ) </p><p> ( ) </p><p> V V F F V F </p><p>3. Principio del Tercio Excluido: Toda proposicin es verdadera </p><p>o falsa: </p><p> V V V F F F V V </p></li><li><p>15 </p><p>Adems de los tres principios lgicos clsicos, existen otros, como los </p><p>siguientes: </p><p>4. ( ) </p><p>5. ( ) </p><p> ( ) ( ) </p><p> V F V F V V V V F V V V F F V F </p><p>PRINCIPIOS LGICOS CON DOS ARGUMENTOS </p><p>1. Principio de Modus Ponens: ,( ) - </p><p> ,( ) - V V V V V V V V F F F V V F F V V F F V V F F V F F V F </p><p>2. Principio de Contraposic...</p></li></ul>