Compe Geometría Trilce.pdf

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  • G

  • Dpto. Pedaggico TRILCEDerechos de Edicin Asociacin Educativa TRILCE

    Tercera Edicin, 2007.

    Todos los Derechos Reservados. Esta publicacin nopuede ser reproducida, ni en todo ni en parte, niregistrada en, o transmitida por, un sistema derecuperacin de informacin, en ninguna forma y porningn medio, sea mecnico, fotoqumico, electrnico,magntico, electroptico, por fotocopia, o cualquierotro, sin el permiso previo de la editorial.

  • 7Geometra

    INTRODUCCIN

    Las matemticas, con sus grandiosas panormicas, su apreciacin de la belleza y su precepcin de nuevas realidades,posee una propiedad adictiva que es menos evidente y saludable, afin en cierto modo a los efectos de algunas drogas.El ms nimio problema, aun siendo inmediatamente reconocible como trivial o reiterativo, puede ejercer esta influenciaadictiva. Una de las formas en que podemos vernos arrastrados es comenzar a resolverlos.

    Martn Gardner

    Las ciencias matemticas se han desarrollado a travs de los milenios y tienen definitivamente su origen en la necesidad delos seres humanos de especificar cantidades y medir figuras. El hecho que las matemticas sean un medio para describir (y tal vezpara resolver) los problemas del mundo real, descansa en la interaccin entre lo concreto y lo abstracto. Es as como la enseanzade las matemticas, la manipulacin de los nmeros est dividida en lo concreto: Aritmtica o clculos con nmeros, y lo abstracto:lgebra o clculo de smbolos. Ahora en la enseanza de la Geometra se va ms all, involucrando sutilezas, como el distinguirentre la figura concreta, imaginar o crear otras figuras que ayuden a comprender y resolver las anteriores y a otras de formas msabstractas.

    Slo se llegar a desarrollar las destrezas geomtricas con una constante prctica que, a su vez, nos dar una mayor visiny fascinacin sobre lo que estamos tratando. Este es uno de los objetivos del texto.

    A lo largo del desarrollo histrico de la Geometra, se observa la atraccin que ella desencaden en grandes matemticos,aportando muchos de ellos, teoremas valiosos que, ordenados bajo una secuencia lgica y constructiva, hacen de la Geometra uncurso razonado, elegante y fascinante.

    Este texto est dirigido a un nivel secundario y pre-universitario. Primero mostramos un resumen de los contenidos tericos(definiciones, teoremas, etc.). Luego, presentamos ejercicios y problemas propuestos que se encuentran estructurados en ordencreciente al grado de dificultad. Para ello, hemos utilizado guas de clase, problemas de exmenes de admisin de las diferentesuniversidades del pas, terminando con aportes de los profesores del curso y olimpiadas matemticas.

    Los profesores responsables de la elaboracin estamos seguros que este texto ser una herramienta valiosa para losobjetivos del usuario; pero sobre todo deseamos despertar y desarrollar el gusto y la fascinacin por la Geometra.

    La Organizacin TRILCE agradece por anticipado todos los aportes que se hagan llegar a esta primera edicin y agradeceinfinitamente a todas las personas que hicieron posible cristalizar este proyecto tan esperado por la familia TRILCE.

  • 8Geometra

  • TRILCE

    9

    Captulo

    NGULOS1Definicin :

    Es la figura geomtrica determinada por la reunin de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen.

    O

    A

    B

    Elementos 1. Vrtice : O

    2. Lados : OA y OB

    Notacin : * ngulo AOB : ) AOB, BOA* Medida del ngulo AOB : m ) AOB = .

    Regin Interior de un ngulo Regin Exterior de un ngulo

    Clasificacin de los ngulos por su Medida :

    0 < < 90

    * ngulo Agudo

    = 90

    * ngulo Recto

    * ngulo Obtuso

    90 < < 180

    Bisectriz de un ngulo :

    O

    A

    B

    bisectriz

    N

    M L

    bisectriz

  • 10

    Geometra

    ngulos Adyacentes : ngulos Consecutivos :

    a bc

    d

    + + + = 180

    Observaciones :

    + + + + = 360

    ngulos Complementarios

    a

    b

    a + b = 90

    ngulos Suplementarios

    + = 180

    ngulos Adyacentes Suplementarios :

    A C

    B

    O

    Los ngulos AOB y BOC tambinse les denomina par lineal.

    A C

    B

    O

    Las bisectrices de todo par linealson perpendiculares.

  • TRILCE

    11

    ngulos Opuestos por el vrtice

    Observaciones :

    Es necesario recordar los siguientes ngulos comprendidos entre rectas paralelas.

    = = + = 180

    * Alternos Internos * Correspondientes * Conjugados

    L1

    L2

    a

    b

    c

    * Si : L1 // L2

    L1

    L2

    a

    b

    * Si : L1 // L2

    x

    + + + = a+b+c x = a + b

  • 12

    Geometra

    01. Si: OM es bisectriz del ngulo AOB, calcule "x".

    7x-10

    5x+40

    A

    M

    B

    O

    02. Calcule "x".

    4x+20 3x+50

    03. Calcule :

    2

    .

    3

    120 2

    3

    04. Calcule "x", si : L // L1 2 .

    L1

    L2

    3x

    2x

    80

    05. Si : L // L1 2 , calcule "x".

    L1

    L2

    4x80

    60

    3x

    06. Si : L // L1 2 , calcule "x".

    L1

    L2

    60

    x

    x

    x

    Test de aprendizaje preliminar

  • TRILCE

    13

    07. En el grfico, las medidas de los ngulos AOB y BOC

    son suplementarios y la m ) AOC = 80.

    Calcule la m ) AOB.

    B C

    AO

    80

    08. Si : L // L1 2 , calcule : .

    L1

    L2

    100

    09. Si : L // L1 2 , calcule "x".

    L1

    L2

    60

    100

    x

    10. Calcule "x".

    1003x x

    Practiquemos :11. Se tienen los ngulos AOB y BOC consecutivos y miden

    20 y 30 respectivamente. Calcule la medida del nguloque forman sus bisectrices.

    12. El doble del complemento de la medida de un nguloes 120. Cunto mide el ngulo?

    13. Si un ngulo es el doble de su suplemento, Cuntomide el ngulo?

  • 14

    Geometra

    14. La diferencia de la medida de dos ngulos consecutivosAOB y BOC es 80. Calcule la m ) DOB, si : OD esbisectriz del ngulo AOC.

    15. Cunto mide el ngulo formado por las bisectrices dedos ngulos adyacentes y complementarios?

    16. Si al complemento de un ngulo se le disminuye 10,ste resulta ser el suplemento del triple del ngulo.Calcule el complemento de la mitad del ngulo.

    17. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC y COD,tal que los ngulos AOC y AOB son complementarios;m ) AOD + m ) AOB = 120.Calcule la m ) DOC.

    18. El doble de la medida un ngulo es mayor que otro en30. Si los ngulos son conjugados internoscomprendidos entre rectas paralelas, En cunto sediferencian las medidas de estos ngulos?

    19. Se tiene los ngulos consecutivos AOB; BOC y COD,tal que :m ) AOD = 148 y m ) BOC = 36.Calcule la medida del ngulo formado por las bisectricesde los ngulos AOB y COD.

    20. Se trazan los rayos coplanares y consecutivos OA , OB ,OC y OD , determinndose los ngulos consecutivosAOB, BOC, COD y DOA que miden 90, 7 , 10 y100.Calcule el complemento de .

    Problemas propuestos

    21. Si : L // L1 2 , calcule "x".

    L1

    L2160

    x+a

    40

    3x

    20+a

    a) 18 b) 16 c) 15d) 10 e) 25

    22. Si : L // L1 2 , calcule .

    L1

    L2

    +100

    130

    a) 10 b) 15 c) 25d) 20 e) 30

  • TRILCE

    15

    23. Si la sexta parte del suplemento del complemento deun ngulo es igual a 1/3 de 9 menos que sucomplemento, calcule la medida del ngulo.

    a) 32 b) 16 c) 48d) 24 e) 30

    24. Un ngulo mide los 2/3 de un ngulo recto y otrongulo los 4/5 de un ngulo recto, calcule elcomplemento de su diferencia.

    a) 30 b) 78 c) 18d) 48 e) 60

    25. Calcule : "x", si : 21 L//L .

    L1

    L2

    x

    2x

    2x

    a) 80 b) 18 c) 70d) 20 e) 75

    26. Si : L // L1 2 , calcule "x".

    L1

    L2

    x

    2

    2

    a) 90 b) 70 c) 60d) 40 e) 30

    27. Si : L // L1 2 , calcule "x".

    L1

    L2x

    120

    a) 10 b) 20 c) 25d) 30 e) 45

    28. Si : L // L1 2 , calcule "x".

    L1

    L2

    5 4

    3

    2

    x

    a) 154 b) 115 c) 130d) 144 e) 120

    29. En el grfico, calcule "x", siendo :

    L // L1 2 .

    L1

    L2

    4x

    3x

    x

    a) 35 b) 20 c) 30d) 45 e) 37

    30. Calcule "x", si : L // L1 2 .

    L1

    L2

    3x

    2x

    a) 18 b) 9 c) 27d) 30 e) 20

    31. Si : L // L1 2 , calcule "x".

    L2

    x

    6x

    x

    a) 15 b) 10 c) 12,5d) 22 e) 2230'

  • 16

    Geometra

    32. Si : L // L1 2 , calcule :a + b + c + d + e.

    L1

    L2

    a d

    b e

    c

    a) 180 b) 520 c) 480d) 360 e) 720

    33. Si : L // L1 2 , calcule "x".

    L1

    L2

    34

    48

    x

    a) 34 b) 48 c) 82d) 98 e) 49

    34. El doble del complemento de un ngulo sumado conel suplemento de otro ngulo es igual al suplementodel primer ngulo. Calcule la suma de las medidas dedichos ngulos.

    a) 100 b) 45 c) 90d) 180 e) 160

    35. El doble del complemento de un ngulo aumentadoen el triple del suplemento del doble de dicho ngulonos da 480. Calcule el suplemento de la medida dedicho ngulo.

    a) 30 b) 60 c) 120d) 150 e) 135

    36. La diferencia de las medidas de dos ngulos es 40 y eltriple del suplemento del ngulo doble del primero esigual al duplo del complemento del suplemento delngulo triple del segundo. Calcule la medida de dichosngulos.

    a) 60 y 60 b) 30 y 90 c) 45 y 75d) 70 y 50 e) 40 y 80

    37. Si : L // L1 2 , calcule el mximo valor entero de "x",siendo el ngulo CAB agudo.

    L1

    L2 3x

    2x

    A

    BC

    a) 18 b) 17 c) 16d) 15 e) 12

    38. Dados los rayos consecutivos : OA1, OA 2 , OA 3 , ....OA n , contenidos en un mismo plano, donde "n"ngulos consec