Clculo - Universidad de barbaran/Descargas/ Integracin –150– x 0 x 1 x 2 x 3... x n f x 0 x 1 x 2 x 3... x n f Sumasuperior Sumainferior Figura10.1 Sumassuperioreseinferiores ...

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    08-Apr-2018

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Integracin Funciones integrables 149 Integracin1010.1 Funciones integrables 149 10.2 Teorema fundamental del Clculo 155 10.3 Ejer-cicios 158El rea de un recinto, la longitud de un cable que cuelga entre dos postes, el volumen o lasuperficie de una esfera...Estos son el tipo de problemas que vamos a resolver en este captulo.Para ello presentamos el concepto de integral de una funcin.10.1 Funciones integrablesDefinicin 10.1. Una particin P de un intervalo [a, b] es un conjunto finito del tipo P ={x0, x1, . . . , xn} dondea = x0 < x1 < . . . < xn1 < xn = b.Ejemplo 10.2. Los conjuntos {0, 1},{0, 12 , 1}o{0, 13 ,12 , 1}son particiones del intervalo [0, 1]. Nolo son, en cambio, conjuntos como{0, 12 ,13 , 1},{0, 13 ,12}.Definicin 10.3. Sea f : [a, b] R una funcin acotada y P una particin del intervalo. Lasuma superior S ( f , P) de la funcin f relativa a la particin P esS ( f , P) = sup f ([x0, x1])(x1 x0) + sup f ([x1, x2])(x2 x1) + . . .+ sup f ([xn1, xn])(xn xn1).Anlogamente se define la suma inferior I( f , P) comoI( f , P) = inf f ([x0, x1]) (x1 x0) + sup f ([x1, x2])(x2 x1) + . . .+ sup f ([xn1, xn])(xn xn1).Las sumas inferiores y superiores que vemos en la siguiente figura son una aproximacin delrea que queremos calcular. Ahora bien, el valor de la suma inferior siempre ser menor que el dela integral y a la suma superior le ocurre lo contrario.Definicin 10.4. La integral superior de f se define como[a,b]f = inf{S ( f , P) : P particin de [a, b]}.La integral inferior de f se define como[a,b]f = sup{I( f , P) : P particin de [a, b]}.Funciones integrables Integracin 150 x0 x1 x2 x3 ... xnfx0 x1 x2 x3 ... xnfSuma superior Suma inferiorFigura 10.1 Sumas superiores e inferioresLas integrales superior e inferior son aproximaciones a la integral de la funcin. En un casopor exceso y en otro por defecto. Cuando ambas aproximaciones coinciden, tenemos una funcinintegrable.Definicin 10.5. Sea f : [a, b] R una funcin acotada. Diremos que f es integrable sicoinciden la integral superior e inferior. En ese caso, denotaremos[a,b] f a dicha integral.Tambin usaremos con frecuencia las notaciones ba f o ba f (x) dx si queremos hacer hincapien la variable de integracin.Ejemplo 10.6. Calcular la integral de f (x) = x en el intervalo [0, 1] Consideremos la particinPn del intervalo [0, 1] que consiste en dividirlo en n trozos iguales:Pn ={0,1n,2n, . . . ,n 1n, 1}.Como la funcin f es creciente, su valor mximo se alcanzar en el extremo de la derecha y elmnimo en el extremos de la izquierda. Con esto es fcil calcular el valor de las sumas superiorese inferiores.S ( f , Pn) =ni=1f( in) 1n=1n2ni=1i =n(n + 1)2n2, yI( f , Pn) =ni=1f(i 1n)1n=1n2ni=1i 1 = (n 1)n2n2.Si hacemos tender n a infinito, limn S ( f , Pn) = limn S ( f , Pn) = 12 . Por tanto 10 x dx =12 .No es fcil calcular la integral de una funcin con la definicin. En el ejemplo anterior hemostenido que usar la suma de una progresin aritmtica y usar particiones de una forma particular.En el resto del tema veremos qu funciones son integrables, qu propiedades tienen y, por ltimo,el teorema fundamental del clculo y la regla de Barrow nos permitirn calcular integrales de unaforma ms cmoda.Integracin Funciones integrables 151 10.1.1 PropiedadesComenzamos recogiendo informacin sobre la integrabilidad de funciones relacionada con lasoperaciones usuales.Linealidad de la integralCon respecto a la suma, el conjunto de las funciones integrables es un espacio vectorial y laintegral es una aplicacin lineal.Proposicin 10.7. Sean f , g : [a, b] R integrables. Entoncesa) La suma f + g es integrable y( f + g) =f +g.b) Si R, entonces( f ) = f .Producto de funcionesLa integral que acabamos de introducir tambin se comporta bien con respecto al productoaunque en este caso no hay una identidad que relaciones la integral de un producto de funcionescon el producto de las integrales.Proposicin 10.8. Sean f , g : [a, b] R integrables.a) El producto de ambas funciones, f g, es una funcin integrable.b) (Desigualdad de Schwarz)(( f g))2 f 2 g2.c) (Desigualdad de Minkowski)(( f + g)2)1/2 ( f 2)1/2 + ( g2)1/2.OrdenEn cuanto al orden, el siguiente resultado nos dice que la integral lo conserva.Proposicin 10.9. Sean f , g : [a, b] R integrables. Si f (x) g(x) para cualquier x [a, b],entonces baf (x) dx bag(x) dx.En particular, si f (x) 0 para cualquier x se tiene que 0 ba f (x) dx.No es evidente de la definicin, pero se puede comprobar que si una funcin es integrable, suvalor absoluto tambin lo es.Proposicin 10.10. Sea f : [a, b] R integrable. Entonces la funcin | f | (x) = | f (x) | esintegrable y [a,b]f (x) dx [a,b]| f | (x) dx.Funciones integrables Integracin 152 DominioSe puede demostrar que si una funcin es integrable en un intervalo, tambin lo es en cualquierintervalo contenido en l. Teniendo en cuenta esto, podemos calcular la integral de una funcin enun intervalo dividiendo este en varios trozos y sumar los resultados. Esto se conoce como aditividadde de la integral respecto de su dominio.Proposicin 10.11 (Aditividad respecto del dominio). Sea f : [a, b] R una funcin acotaday c ]a, b]. Entonces f es integrable en [a, b] si, y slo si, es integrable en los intervalos [a, c] y[c, b]. En ese caso, baf (x) dx = caf (x) dx + bcf (x) dx.Observacin 10.12. La integral de una funcin f en un intervalo [a, b] no cambia si traslada-mos dicha funcin. bafa b b+ka+kf (x k)a + k b + kPodemos utilizar esto para simplificar el clculo de algunas integrales. Por ejemplo, si f es unafuncin impar, entonces aaf (x) dx = 0.aa 0Por qu? Slo tenemos que mirar la grfica de la funcin. Elrea entre 0 y a es igual que el rea entre a y 0 pero con signosopuestos y ambas se cancelan. Por ejemplo aax3 dx = 0.Si por el contrario f es una funcin par entonces aa f = 2 a0 f .10.1.2 Condiciones suficientes de integrabilidadYa hemos visto que las funciones integrables tienenmuchas propiedades interesantes. La siguien-te cuestin es hay muchas? Qu funciones son integrables? Tenemos suficientes ejemplos defunciones integrables?El primer resultado que presentamos nos dice que el conjunto de las funciones integrables in-cluye a la mayora de las funciones con las que hemos estado trabajando hasta ahora.Proposicin 10.13 (Condiciones suficientes de integrabilidad). Sea f : [a, b] R una fun-cin.Integracin Funciones integrables 153 a) Si f es continua, entonces es integrable.b) Si f es montona, entonces es integrable.Observa que no hemos mencionado que la funcin tenga que ser acotada. En ninguno de loscasos es necesario: para funciones montonas es inmediato y para funciones continuas es conse-cuencia de la propiedad de compacidad.Podemos ir un poco ms lejos, si estropeamos una funcin integrable en unos pocos puntos,ni la integrabilidad ni el valor de la integral se alteran.Proposicin 10.14. Sea f : [a, b] R integrable. Sea g : [a, b] R verificando que el conjunto{x [a, b] : f (x) 6= g(x)} es finito. Entonces g es integrable y baf (x) dx = bag(x) dx.Esta resultado afirma que si se cambia el valor de una funcin en una cantidad finita de puntosse obtiene una funcin que sigue siendo integrable y, de hecho, el valor de la integral no cambia.Observacin 10.15. Existen funciones integrables que no son continuas. Este hecho debera estarclaro despus de haber afirmado que las funciones montonas son integrables y recordando queya conocemos funciones montonas que no son continuas (como por ejemplo la parte entera). Detodas formas la ltima proposicin nos da una manera muy fcil de fabricar funciones integrablesque no son continuas: tmese una funcin continua y cmbiesele el valor en un punto. De estemodo se obtiene una funcin que deja de ser continua en dicho punto pero que tiene la mismaintegral.Cambiando el valor de una funcin en un punto slo obtenemos discontinuidades evitables.Aunque las discontinuidades no sean evitables, si no son demasiadas, la funcin es integrable.Proposicin 10.16. Sea f : [a, b] R acotada. Si f tiene una cantidad finita de discontinuidades,entonces es integrable.Existe una caracterizacin completa de las funciones integrables. Para darla, se necesita hablarde conjuntos pequeos: los llamados conjuntos de medida nula. Si la medida, la longitud en estacaso de un intervalo acotado es `(I) = sup(I) inf(I). Un conjunto de medida nula es un conjuntoque tiene longitud cero. Veamos la definicin con ms detalle.Definicin 10.17. Sea A un subconjunto de R. Diremos que A es un conjunto de medidanula si dado > 0 existe una sucesin de intervalos acotados {In} verificando quea) A i=1 In, yb) `(I1) + `(I2) + + `(In) , n N.Ejemplo 10.18. Cualquier conjunto finito es de medida nula.Teorema 10.19 (de Lebesgue). Sea f : [a, b] R una funcin acotada. Son equivalentes:a) f es integrable.b) El conjunto de puntos de discontinuidad de f es un conjunto de medida nula.Funciones integrables Integracin 154 10.1.3 Sumas de RiemannUna de las dificultades de la definicin de integral que hemos dado radica en el hecho de queinvolucra todas las posibles particiones del intervalo [a, b]. La segunda dificultad es averiguar cules el supremo o el nfimo de la funcin en cada uno de los intervalos asociados a una particin.Vamos a dar respuesta a ambas cuestiones:a) En cuanto a las particiones, veremos que es necesario considerar todas sino slo algunas elegi-das adecuadamente. As nos encontraremos el concepto de norma de una particin.b) En cuanto al segundo punto, el teorema de Darboux nos dir que no hace falta calcular elsupremo ni el nfimo y que cualquier punto del intervalo puede jugar el mismo papel.Comencemos con las particiones. El ejemplo tpico de particin que hemos usado consiste endividir el intervalo [a, b] en trozos iguales. Aumentando el nmero de trozos, nos aproximamosal valor de la integral. En este caso, la longitud de cada uno de los trozos es ban , la longitud delintervalo dividido por el nmero de trozos, n. La norma de una particin nos mide el tamao delos trozos o, ms concretamente, el tamao del trozo ms grande.Definicin 10.20. Sea P = {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b} una particin del intervalo[a, b]. La norma de la particin P esP = max {xi xi1 : i = 1, 2, . . . , n} .Si en las sumas inferiores y superiores aproximbamos por rectngulos cuya altura era el supre-mo o el nfimo de la funcin, ahora vamos a elegir como altura el valor de la funcin en un puntoarbitrario en cada uno de los intervalos relativos la particin. Para cada particin, tenemos muchasposibles elecciones de puntos. A cualquiera de stas, las vamos a llamar sumas integrales o sumasde Riemann.Definicin 10.21. Sea f : [a, b] R una funcin y sea P = {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn =b} una particin del intervalo [a, b]. Una suma integral o suma de Riemann es una suma dela formaf (y1)(x1 x0) + f (y2)(x2 x1) + + f (yn)(xn xn1)donde yi [xi1, xi], i = 1, 2,...n.Integracin Teorema fundamental del Clculo 155 x0 x1 x2 xnyif (yi)fFigura 10.2 Suma integral o de RiemannYa podemos dar la respuesta a la pregunta queplanteamos al principio de la seccin: para apro-ximarnos al valor de la integral de la funcin s-lo tenemos que asegurarnos de que la norma delas particiones tiendan a cero independientemen-te de cules sean los puntos elegidos en el interva-lo. Una de las formas ms fciles de conseguirloes dividiendo el intervalo en n trozos iguales yhacer n tender a infinito.Esta es una versin light del teorema de Dar-boux que, de hecho, permite caracterizar las fun-ciones integrables utilizando sumas integrales enlugar de sumas superiores e inferiores.Teorema 10.22 (de Darboux). Sea f : [a, b] R una funcin acotada y sea {Pn} unasucesin de particiones del intervalo [a, b] con limn Pn = 0. Entonces, si S n son sumas deRiemann asociadas a Pn se cumple limn S n =f .10.2 Teorema fundamental del ClculoSi f es una funcin definida y a es un elemento de su dominio, diremos que f es integrable en[a, a] y que aa f (x) dx = 0. Tambin convendremos que ba f = ab f .Definicin 10.23. Sea I un intervalo. Diremos que f : I R es localmente integrable si esintegrable en cualquier intervalo cerrado y acotado contenido en I.Ejemplo 10.24.a) Las funciones continuas y las funciones montonas son localmente integrables.b) Si f es integrable en [a, b], es localmente integrable en dicho intervalo.Lema 10.25. Sea f una funcin localmente integrable en un intervalo I y sean a, b, c I. Enton-ces baf (x) dx = caf (x) dx + bcf (x) dx.Obsrvese que la comodidad del lema anterior radica en que no sabemos como estn ordenadosa, b y c.Definicin 10.26. Si f es una funcin localmente integrable en I y a I podemos definiruna nueva funcin que mide como cambia la integral de la funcin de la formaF(x) = xaf (t) dt.A las funciones F definidas de esta forma las llamaremos integrales indefinidas de f .La integral indefinida es la funcin que nos da el rea sombreada de la Figura 10.3.Teorema fundamental del Clculo Integracin 156 Definicin 10.27. Sea I un intervalo de R. Una primitiva de una funcin f : I R esuna funcin G : I R continua y derivable en el interior del intervalo que cumple queG(x) = f (x) para cualquier x en el interior de I.xaFigura 10.3 Integral indefinidaObservacin 10.28. Dos integrales indefinidas se diferencian enuna constante. Ocurre lo mismo para dos primitivas de una mismafuncin. En efecto, la diferencia entre dos funciones con la mismaderivada tiene derivada cero y por tanto es constante (en un interva-lo). En cuanto a integrales indefinidas, siF(x) = xaf (t) dt, y G(x) = xbf (t) dtson integrales indefinidas, entoncesF(x) G(x) = xaf (t) dt xbf (t) dt= xaf (t) dt + bxf (t) dt = baf (t) dt.Existe una gran tendencia a confundir integral y primitiva. Es usual que hablemos de vamosa calcular la integral cuando nos estamos refiriendo a encontremos una funcin cuya derivadasea.... Los conceptos de integral definida y primitiva son, en principio, independientes. El objetivode los dos siguientes resultados es poner de manifiesto que existe una clara relacin entre ellos y,de paso, obtener una forma prctica de calcular integrales.Teorema 10.29 (fundamental del Clculo). Sea I un intervalo, f : I R una funcinlocalmente integrable y F una integral indefinida de f . Entoncesa) F es una funcin continua.b) Si f es continua en a I, entonces F es derivable en a con F(a) = f (a).En particular, si f es una funcin continua, F es una funcin derivable y F(x) = f (x) paratodo x en I.Ejemplo 10.30.a) La funcin parte entera, E(x), es montona y por tanto integrable en cualquier intervalo. Dichode otra manera, la funcin parte entera es localmente integrable en R. Cualquier integral inde-finida ser una funcin continua en todo R y derivable en R \ Z. Sin embargo, la funcin parteentera no tiene primitiva. El teorema del valor intermedio para las derivadas (Teorema 7.21)nos dice que la funcin parte entera no es la derivada de nadie porque su imagen no es unintervalo.b) La funcin f : [1, 1] R definida comof (x) ={ 0, si x = 1,11x2, si 1 < x < 1,no es integrable por no ser acotada. En cambio, s admite una primitiva: la funcin arcoseno.Integracin Teorema fundamental del Clculo 157 Una de las primeras utilidades del Teorema fundamental del Clculo es poder definir funcionesde unamanera rigurosa usando la integral. Por ejemplo, se puede definir la funcin logaritmo comolog(x) = x11tdt.La funcin G(x) = h(x)g(x) f (t) dt es continua si lo son f y g. Si, adems, g y h son derivables, y f escontinua, entonces G es derivable con( h(x)g(x)f (t) dt)(x) = f (h(x))h(x) f (g(x))g(x).Ejemplo 10.31. La funcin f (x) = x2+11sen(t)t dt es derivable y su derivada esf (x) =sen(x2 + 1)x2 + 12x.10.2.1 Regla de BarrowEl siguiente resultado, la regla de Barrow, nos permite resolver de modo prctico el clculo deintegrales y sustituirlo por el clculo de primitivas.Teorema 10.32 (Regla de Barrow). Sea f : [a, b] R integrable y G una primitiva de f .Entonces baf (x) dx = G(b) G(a).Ejemplo 10.33. La primera integral que calculamos fue la de la identidad en el intervalo [0, 1](ver Ejemplo 10.6). Ahora podemos calcularla mucho ms fcilmente. 10x dx =[x22]10=12.Ejemplo 10.34. Las propiedades de la integral nos pueden servir para darnos cuenta de queestamos haciendo algo mal. Por ejemplo: 11x2 + x4 dx = 11x1 + x2 dx =[2312(1 + x2)3/2]11= 0.A primera vista puede parecer correcto, pero la integral de una funcin continua y positiva nopuede valer cero, tiene que ser positiva tambin. Qu hemos hecho mal? La respuesta es quex2es | x | y no x como hemos dicho. Hagmosla correctamente: 11x2 + x4 dx = 11| x |1 + x2 dxusemos que el integrando es una funcin par,= 2 10x1 + x2 dx =[23(1 + x2)3/2]10=223 23.Ejercicios Integracin 158 Corolario 10.35 (Teorema de cambio de variable). Sea : [a, b] R una funcin derivabley con derivada integrable. Sea I un intervalo tal que ([a, b]) I y f : I R una funcincontinua con primitiva G. Entonces ba( f ) = (b)(a)f = G((b)) G((a)).10.3 EjerciciosEjercicio 10.1. Halla las derivadas de cada una de las funciones siguientes:a) F(x) = xa sen3(t) dt,b) F(x) = bx11+t2+sen2(t) dt,c) F(x) = bax1+t2+sen2(t) dt.Ejercicio 10.2. Halla las derivadas de cada una de las funciones siguientes:a) F(x) = x20 sen(log(1 + t)) dt,b) F(x) = 1x2 sen3(t) dt,c) F(x) = x3x2 cos3(t) dt.Ejercicio 10.3. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la funcin f : R+ R definida comoEf (x) = x3x20et2dt.Como consecuencia, estudiar los extremos relativos de dicha funcin.Ejercicio 10.4. Calcula el siguiente lmite:Elimx0 sen(x)x2+xet2dtsen2(x).Ejercicio 10.5. Calcula el mximo absoluto de la funcin f : [1,+[ R definida porEf (x) = x10(et2 e2t) dt.Sabiendo que limx+f (x) = 12 ( 1), calcula el mnimo absoluto de f .Ejercicio 10.6. Calcula el siguiente lmitelimx0 2xx sen(sen(t)) dtx2.Integracin Ejercicios 159 Ejercicio 10.7. Se considera la funcin f (x) = x3x20 et2 dt ,x R.Ea) Encuentra los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la funcin f en R.b) Calcula los extremos relativos de f .c) Calcula limx0f (x)sen(x3 x2) . 160 Clculo de primitivas Clculo de primitivas 161 Clculo de primitivas1111.1 Clculo de primitivasUtilizaremos la notacinf (x) dx para denotar una primitiva de la funcin f . Adems, abu-sando del lenguaje, a menudo hablaremos de integral de la funcin cuando deberamos decirprimitiva de la funcin.Losmtodos que vamos a comentar son slo unos pocos y cubren lamayora de los casos usuales,pero no debes olvidar que hay muchos ms. En cualquier caso, lo primero y ms importante esmanejar con soltura las derivadas de las funciones elementales. En el Apndice B puedes encontrarun par de tablas con algunas de las derivadas y primitivas.11.1.1 Cambio de variableMediante un cambio de variable es posible transformar la integral en otra ms sencilla. Si hace-mos y = (x), dy = (x) dx, se tienef ((x))(x) dx =f (y) dy.Para terminar slo tenemos que deshacer el cambio.Ejemplo 11.1. Calcularex+3e2x2+ex dx.ex + 3e2x2 + exdx =[ y = exdy = ex dx]=y + 3y22 + y 1ydy =1 + 3y2 + ydy= (3 52 + y)dy=3y 5 log | y + 2 | = 3ex 5 log (ex + 2) .11.1.2 Integracin por partesSi u y v son dos funciones, teniendo en cuenta que (u v) = u v + v u, obtenemos queu(x)v(x) dx = u(x)v(x) v(x)u(x) dx.Esta frmula aparece escrita en muchas ocasiones de la formaudv = uv vduEl teorema especifica con un poco ms de rigurosidad las condiciones necesarias.Teorema 11.2 (Integracin por partes). Sean u, v : [a, b] R funciones derivables conderivada continua. Entonces uv y vu son integrables en [a, b] yClculo de primitivas Clculo de primitivas 162 bau(x)v(x) dx = u(b)v(b) u(a)v(a) bav(x)u(x) dx.Ejemplo 11.3. Calcularx ex dx.x ex dx =[ u = x, du = dxdv = ex dx, v = ex]= x ex ex dx = x ex ex = ex(x 1).Ejemplo 11.4. Calcularsen(x) ex dx.sen(x)ex dx =[ u = sen(x), du = cos(x)dv = ex dx, v = ex]= sen(x)ex cos(x)ex dx=[ u = cos(x), du = sen(x)dv = ex dx, v = ex]= sen(x)ex cos(x)ex sen(x)ex dx,con lo que despejando tenemossen(x)ex dx = 12 (sen(x)ex cos(x)ex).11.1.3 Integracin de funciones racionalesSean P(x) y Q(x) dos polinomios, y queremos calcular P(x)Q(x) dx. Si el grado de P es mayor oigual que el de Q, podemos dividir los dos polinomios obteniendoP(x)Q(x)= H(x) +G(x)Q(x),donde H(x) y G(x) son polinomios y el grado de G es menor que el grado de Q. Por tanto, supon-dremos siempre que el grado de P es menor que el grado de Q.Integrales del tipo P(x)(ax+b)nEl cambio de variable y = ax + b la transforma en una integral inmediata de la forma P(y)yn dy.Ejemplo 11.5.3x2 + 5x + 2(x 1)3 dx =[y = x 1, dy = dx] = 3(y + 1)2 + 5(y + 1) + 2y3dy=3y2 + 11y + 10y3dy=3dyy+ 11dyy2+ 10dyy3=3 log | x 1 | 11x 1 5(x 1)2 .Integrales del tipoMx+Nx2+bx+c , donde el denominador no tiene races realesSiempre se puede escribir x2 + bx + c = (x d)2 + k2, con lo que descomponemos nuestraintegral en dos:Clculo de primitivas Clculo de primitivas 163 Mx + Nx2 + bx + cdx =Mx + N(x d)2 + k2 dx =M(x d) + N + Md(x d)2 + k2 dx=M(x d)(x d)2 + k2 dx +N + Md(x d)2 + k2 dx=M2log (x d)2 + k2 + (N + Md) dx(x d)2 + k2y la ltima integral es inmediata (del tipo arcotangente) si hacemos el cambio de variable y = xdk .Ejemplo 11.6. Calcular2x+3x2+2x+2 dx.Como x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1, hacemos el cambio y = x + 12x + 3x2 + 2x + 2dx =2(y 1) + 3y2 + 1dy =2yy2 + 1dy +dyy2 + 1= log(y2 + 1) + arctan(y) = log(x2 + 2x + 2) + arctan(x + 1).Races reales y/o complejas simplesEn este casoQ(x) = (x a1)(x a2) . . . (x an)(x2 + b1x + c1)(x2 + b2x + c2) . . . (x2 + bmx + cm).Lo que vamos a hacer es descomponer de nuevo en fracciones ms sencillas de la siguiente manera:P(x)Q(x)=A1x a1+A2x a2+ + Anx an+B1x + C1x2 + b1x + c1+B2x + C2x2 + b2x + c2+ Bmx + Cmx2 + bmx + cm,donde A1, A2, . . . , An, B1, B2, . . . ,Cm son constantes a determinar. Para calcularlas desarrollamose igualamos los coeficientes del mismo grado.Observacin 11.7. Si el polinomio Q(x) slo tiene races reales se pueden calcular las constantesA1,...,An dando a la variable x los valores a1,..., an.Ejemplo 11.8. Clculo de1x41 dx:Como x4 1 = (x 1)(x + 1)(x2 + 1), la descomposicin nos quedara:1x4 1 =Ax 1 +Bx + 1+Cx + Dx2 + 1Si desarrollamos e igualamos coeficientes:1x4 1 =A(x + 1)(x2 + 1) + B(x 1)(x2 + 1) + (Cx + D)(x2 1)x4 11 = (A + B + C)x3 + (A B + D)x2 + (A + B C)x + (A B D)A + B + C = 0A B + D = 0A + B C = 0A B D = 1 =A = 1/4B = 1/4C = 0D = 1/2Por tanto,Clculo de primitivas Clculo de primitivas 164 dxx4 1 =14dxx 1 14dxx + 1 12dxx2 + 1=14log |x 1| 14log |x + 1| 12arctan(x).Races reales mltiplesEn este caso el denominador tiene la forma Q(x) = (x a1)r1(x a2)r2 . . . (x an)rn , y podemosdescomponer la fraccin P(x)Q(x) en fracciones simplesP(x)Q(x)=A1x a1+A2(x a1)2+ + Ar1(x a1)r1+B1x a2+B2(x a2)2+ Crn(x an)rnCada una de estas fracciones pertenecen a alguno de los casos ya estudiados.Ejemplo 11.9. Calcular1(x1)(x+1)3 dx1(x 1)(x + 1)3 =Ax 1 +Bx + 1+C(x + 1)2+D(x + 1)3=A(x + 1)3 + B(x 1)(x + 1)2 + C(x 1)(x + 1) + D(x 1)(x 1)(x + 1)3=1(x 1)(x + 1)3Igualando coeficientes:A + B = 03A + B + C = 03A B + D = 0A B C D = 1A = 18B = 18C = 14D = 12 .La integral nos quedadx(x 1)(x + 1)3 =18dxx 1 18dxx + 1 14dx(x + 1)2 12dx(x + 1)3=18log |x 1| 18log |x + 1| + 14(x + 1)+14(x + 1)2.Races reales y complejas mltiples. Mtodo de HermiteEl mtodo que vamos a estudiar, conocido como Mtodo de Hermite, consiste en descomponerP(x)Q(x) como suma de fracciones ms simples de una forma muy particular. Pasos a seguir:Paso 1Descomponemos el denominador, Q(x), como producto de factores de grado 1 y factores de grado2 irreducibles:Q(x) = (x a1)1 (x an)n(x2 + b1x + c1)1 (x2 + bmx + cm)m .Paso 2Escribimos el cociente P(x)Q(x) de la siguiente forma:Clculo de primitivas Clculo de primitivas 165 P(x)Q(x)=A1x a1+ + Anx an+M1x + N1x2 + b1x + c1+ + Mmx + Nmx2 + bmx + cm++ddx(F(x)(x a1)11 (x an)n1(x2 + b1x + c1)11 (x2 + bmx + cm)m1)donde A1, . . . , An,M1, . . . ,Mm,N1, . . . ,Nm son coeficientes que tenemos que determinar, y en lafraccin que aparece con una derivada F(x) es un polinomio genrico de grado uno menos queel denominador. En resumen, se trata de escribir P(x)Q(x) como suma de fracciones simples, una porcada factor, ms la derivada de un cociente que tiene por denominador lo que queda de Q(x).Cmo determinamos todos los coeficientes? Basta efectuar la derivada, reducir todas las frac-ciones a comn denominador (que ser Q(x)), e igualar P(x) al numerador resultante. Esto nosproducir un sistema de ecuaciones cuya resolucin nos dar el valor de todos los coeficientes.Paso 3Una vez escrita la funcin racional P(x)Q(x) de la forma anterior, es fcil calcular su integral:P(x)Q(x)dx =A1x a1dx + +M1x + N1x2 + b1x + c1dx + +F(x)(x a1)11 (x an)n1(x2 + b1x + c1)11 (x2 + bmx + cm)m1Ejemplo 11.10. Clculo dex2(x2+9)2 dx.x2(x2 + 9)2=Mx + Nx2 + 9+ddx(ax + bx2 + 9)=(Mx + N)(x2 + 9)(x2 + 9)2+a(x2 + 9) 2x(ax + b)(x2 + 9)2=Mx3 + (N a)x2 + (9M 2b)x + (9a + 9N)(x2 + 9)2Igualando los numeradores coeficiente a coeficiente, obtenemos el sistema de ecuaciones:M = 0a + N = 12b + 9M = 09a + 9N = 0 ={ M = 0 b = 0N = 1/2 a = 1/2De esta forma se tiene x2(x2 + 9)2dx =12 xx2 + 9+12dxx2 + 9,y la ltima integral vale dxx2 + 9=1/9(x3)2+ 1dx =13arctan( x3).En resumen, x2(x2 + 9)2dx =x2(x2 + 9)+16arctan( x3).Clculo de primitivas Clculo de primitivas 166 Ejemplo 11.11. Calcularx22x3(x2+1)2 dx.x2 2x3(x2 + 1)2=Ax+Mx + Nx2 + 1+ddx(ax3 + bx2 + cx + dx2(x2 + 1)).Realizando la derivada y reduciendo a comn denominador, obtenemos un sistema de ecuacionescuya solucin es a = 0, b = 5/2, c = 0, d = 1, A = 5, M = 5 y N = 0; por lo tantox2 2x3(x2 + 1)2dx =(5/2)x2 + 1x2(x2 + 1)+ 5 log(x) 52log(x2 + 1).11.1.4 Integracin de funciones trigonomtricasIntegrales de la formasen(ax) cos(bx),sen(ax) sen(bx),cos(ax) cos(bx)Se resuelven usando las identidadessen(x) sen(y) =12[cos(x y) cos(x + y)],cos(x) cos(y) =12[cos(x y) + cos(x + y)],sen(x) cos(y) =12[sen(x + y) + sen(x y)].Ejemplo 11.12.sen(3x) cos(2x) dx =12sen(5x) dx +12sen(x) dx = 110cos(5x) 12cos(x).Integrales de la formatann(x),cotann(x)Se reducen a una con grado inferior separando tan2(x) o cotan2(x) y sustituyndolo por sec2(x)1 y cosec2(x) 1.Ejemplo 11.13. Calculartan5(x) dx.tan5(x) dx =tan3(x) tan2(x) dx =tan3(x)(sec2(x) 1)dx=tan3(x) sec2(x) dx tan3(x) dx.Acabamos por separado cada integral:tan3(x) sec2(x) dx = 14tan4(x) dx (utilizando el cambio y = tan(x))tan3(x) dx =tan(x) tan2(x) dx =tan(x)(sec2(x) 1) dx=tan(x) sec2(x) dx tan(x) dx =12tan2(x) + log | cos(x) | .Clculo de primitivas Clculo de primitivas 167 Integrales de la formasenm(x) cosn(x), con n o m enteros imparesSe transforman en una integral racional con el cambio y = cos(x) (si m es impar) o y = sen(x)(si n es impar).Ejemplo 11.14. Calcular cos3(x)sen2(x) dx.cos3(x)sen2(x)dx =(1 sen2(x)) cos(x) dxsen2(x)=[ y = sen(x)dy = cos(x) dx]=1 y2y2dy= 1y y = 1sen(x) sen(x).Integrales de la formasenm(x) cosn(x), con n y m enteros paresSe resuelven usando las identidades cos2(x) = 12 (1 + cos(2x)), y sen2(x) = 12 (1 cos(2x)).Ejemplo 11.15. Calcularcos2(x) dx.cos2(x) dx =1 + cos(2x)2dx =dx2+cos(2x)2dx =x2+sen(2x)4.Integrales de la formaR (sen(x), cos(x)), R una funcin racional par.Diremos que R es una funcin racional par si R(sen(x), cos(x)) = R( sen(x), cos(x)). Se re-suelven utilizando el cambio y = tan(x)Ejemplo 11.16. Calculardxsen3(x) cos5(x)dxsen3(x) cos5(x)=[ y = tan(x)dy = sec2 x dx]=(1 + y2)3y3dy= 12cotan2(x) + 3 log | tan(x) | + 32tan2(x) +14tan4(x) .Integrales de la formaR (sen(x), cos(x)), R una funcin racionalSe trata de calcular primitivas de funciones racionales en sen(x) y cos(x), es decir, funcionesque sean cociente de dos polinomios en sen(x) y cos(x). En general, se hace el cambio de variablet = tan(x2), con lo que sen(x) = 2t1+t2 , cos(x) =1t21+t2 , y dx =2 dt1+t2 . Con este cambio convertimos laintegral en la integral de una funcin racional, que ya hemos estudiado.Ejemplo 11.17. Calculardxsen(x)tan(x)dxsen(x) tan(x) =cos(x) dxsen(x) cos(x) sen(x) =[tan( x2)= t]= =t2 12t3dt=14t2+log | t |2=14 tan2(x2) + 12logtan ( x2) .11.1.5 Integracin de funciones hiperblicasClculo de primitivas Clculo de primitivas 168 Integrales de la formaR (senh(x), cosh(x)), R una funcin racionalSe trata de calcular primitivas de funciones racionales en senh(x) y cosh(x), es decir, funcionesque sean cociente de dos polinomios en senh(x) y cosh(x). En general, se hace el cambio de variableex = t, con lo que la integral en una racional, que ya hemos estudiado.Ejemplo 11.18. Calculardx1+2 senh(x)+3 cosh(x)dx1 + 2 senh(x) + 3 cosh(x)=dx1 + 52ex +12ex=[ ex = tdx = dt/t]=2dt5t2 + 2t + 1= arctan(5 t + 12)= arctan(5 ex + 12).En algunos casos, utilizar unmtodo similar al que usamos para calcular primitivas de funcionestrigonomtricas puede simplificar los clculos. El siguiente mtodo es un ejemplo de ello.Integrales de la formasenh(ax) cosh(bx),senh(ax) senh(bx) ocosh(ax) cosh(bx)Se resuelven usando las identidadessenh(x) senh(y) =12(cosh(x + y) senh(x y))cosh(x) cosh(y) =12(cosh(x + y) + senh(x y))senh(x) cosh(y) =12(senh(x + y) + senh(x y)) .Ejemplo 11.19.senh(3x) cosh(x) dx =12senh(4x) dx +12senh(2x) dx = 18cosh(4x) 14cosh(2x).11.1.6 Integracin de funciones irracionalesIntegrales de la formaR(x,(ax+bcx+d) p1q1 ,(ax+bcx+d) p2q2 , . . . ,(ax+bcx+d) pnqn)Se resuelven utilizando el cambio de variable yq = ax+bcx+d , donde q es el mnimo comn mltiplode q1, q2, . . . , qn.Ejemplo 11.20. Calculardxx+ 3xHaciendo el cambio x = y6,dxx + 3x=6y5y3 + y2dy = 6y3y + 1dy=2y3 3y2 + 6y 6 log |y + 1| = 2x 3 3x + 6 6x 6 log 6x + 1 .Clculo de primitivas Clculo de primitivas 169 Integrales de la formaR(x,a2 x2)Se transforman en una integral trigonomtrica con el cambio x = a sen(t) o x = a cos(t). Tam-bin se puede realizar el cambio x = a tanh(t) y se transforma en una integral hiperblica.Ejemplo 11.21. Clculo de 4x2x2 dx:Hacemos el cambio x = 2 sen(t), con lo que dx = 2 cos(t)dt y4 x2 =4 4 sen2(t) = 2 cos(t).Sustituyendo: 4 x2x2dx =(2 cos(t))(2 cos(t))4 sen2(t)dt =cotan2(t) dt=(cosec2(t) 1) dt = cotan(t) tusando que cotan(t) = cos(t)sen(t) =4x2x , se tiene que= 4 x2x arcsen( x2).Integrales de la formaR(x,a2 + x2)Se transforman en una integral trigonomtrica usando el cambio x = a tan(t). Tambin se puedenresolver utilizando el cambio x = a senh(t).Ejemplo 11.22. Calculardxx1+x2.Hacemos el cambio x = tan(t), dx = sec2(t)dt,dxx1 + x2=sec2(t)tan(t) sec(t)dt =dtsen(t)= log cos ( t2) + log sen ( t2) .Ejemplo 11.23. Calcularx21+x2dx.Hacemos el cambio x = senh(t),x21 + x2dx =senh2(t) dt =12(cosh(2t) 1) dt = 14senh(2t) t2.Integrales de la formaR(x,x2 a2)Se resuelven utilizando los cambios x = a sec(t) o x = a cosh(t).Ejemplo 11.24. Calcular x2 1 dx. x2 1 dx =tan(t)sen(t)cos2(t)dt =sen2(t)cos3(t)dt,que se resuelve aplicando los mtodos ya vistos. Tambin podramos haber utilizado el cambiox = cosh(t) y, en ese caso, se tiene que x2 1 dx =senh2(t) dt =cosh(2t) 12dt = . . . =xx2 12 arccosh(x)2.Ejercicios Clculo de primitivas 170 Integrales de la formaR(x,ax2 + bx + c)Se reducen a uno de los casos anteriores completando cuadrados, esto es, escribiendo ax2+bx+cde la forma a(x + )2 + .Ejemplo 11.25. Calculardx8xx2.Transformamos el integrando:8x x2 = (x2 8x + 16) + 16 = (x 4)2 + 16 = 161 ( x 44)2y hacemos el cambio de variable y = (x 4)/4:dx8x x2=dx16(1 (x44)2) =[ y = (x 4)/4dy = dx/4]==4dy41 y2=dy1 y2= arcsen(y) = arcsen(x 44).11.2 Ejercicios11.2.1 Integrales inmediatas y cambio de variableEjercicio 11.1. Calcula las siguientes primitivasa)5 x6dxb)x(x + 1)(x 2)dxc)(2 + 3 x3)2dxd)dxnxe)(a 23 x 23 )3dxf)x2+1x1 dxEjercicio 11.2. Calcula las siguientes primitivasa) 31+log(x)x dxb)dxex+1 c)x(2x + 5)10dx11.2.2 Integracin por partesEjercicio 11.3. Calcula las siguientes primitivasa)log(x)dxb)arctan(x)dxc)arcsen(x)dxd)x sen(x)dxe)xexdxf)x2e3xdxg)x sen(x) cos(x)dx11.2.3 Integracin de funciones racionalesEjercicio 11.4. Calcula las siguientes primitivasa)x25x+9x25x+6dxb)5x3+2x35x2+4xdxc)dxx(x+1)2d)dx(x24x+3)(x2+4x+5)e)dx(x+a)(x+b)Ejercicio 11.5. Calcula las siguientes primitivasClculo de primitivas Ejercicios 171 a)dxx3+1b)dx(x+1)2(x2+1)2c)dx(x41)211.2.4 Integracin de funciones trigonomtricasEjercicio 11.6. Calcula las siguientes primitivasa)cos3(x)dxb)sen5(x)dxc)sen2(x) cos3(x)dxd)sen2(x) cos2(x)dxe)cos6(3x)dxf) cos5(x)sen3(x)dxEjercicio 11.7. Calcula las siguientes primitivasa) cos(x)1+cos(x)dxb) 1+tan(x)1tan(x)dxc)dx1+cos2(3x)d)dx3 sen2(x)+5 cos2(x)e) sen(2x)1+sen2(x)dx11.2.5 Integracin de funciones irracionalesEjercicio 11.8. Calcula las siguientes primitivasa)x3x1dxb)dxx+1+(x+1)3c)dxx+ 3xd) x+1+2(x+1)2x+1dxEjercicio 11.9. Calcula las siguientes primitivasa)x2dxx2x+1b)dxx5x21c)x51x2dxd)x61+x2dx 172 Integrales impropias Integrales impropias en intervalos acotados 173 Integrales impropias1212.1 Integrales impropias en intervalos acotadosHasta ahora hemos visto cmo calcular integrales de funciones acotadas en intervalos cerradosy acotados. En esta seccin vamos a extender la nocin de integral a intervalos de cualquier tipo ya funciones no acotadas. Pensemos por un momento en un caso concreto: la funcin f (x) = 11x2en ] 1, 1[. Sabemos calcular su integral en cualquier intervalo de la forma [a, b] ] 1, 1[: badx1 x2= arcsen(b) arcsen(a).Si queremos definir la integral en ] 1, 1[, la idea ms natural parece tomar lmites. Movamos bhacia 1 y a hacia 1. La forma ms cmoda de formalizar estos lmites es utilizar sucesiones.Definicin 12.1. Sea f :]a, b[ R una funcin localmente integrable. Diremos que f esimpropiamente integrable si para cualesquiera sucesiones {an} y {bn} de elementos de ]a, b[con limnan = a y limn bn = b se cumple que existe el lmite1limn bnanf (x) dx.En ese caso, usaremos la notacinlimn bnanf (x) dx = baf (x) dx.La integral impropia satisface propiedades similares a la de la integral ya vista. Sirvan los si-guientes resultados como muestra.Proposicin 12.2 (Aditividad respecto del dominio). Sea f una funcin localmente integrableen el intervalo ]a, b[ y sea c ]a, b[. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.a) f es impropiamente integrable en ]a, b[.b) f es impropiamente integrable en ]a, c[ y en ]c, b[.Adems, caso de ser ciertas, se cumple que baf (x) dx = caf (x) dx + bcf (x) dxProposicin 12.3. Sean f y g funciones impropiamente integrables en ]a, b[ y sean , nmerosreales.a) La funcin f + g es impropiamente integrable yEn esta definicin no hemos asumido que el lmite es nico. Esto se obtiene como consecuencia de que el lmite exista1para cualesquier pareja de sucesiones {an} y {bn}.Integracin en intervalos no acotados Integrales impropias 174 ba( f + g)(x) dx = baf (x) dx + bag(x) dx.b) Si f (x) g(x) para todo x en ]a, b[, entonces ba f ba g.S hay una diferencia en cuanto a la integrabilidad impropia de la funcin | f |. Hay funcionesimpropiamente integrables cuyo valor absoluto no lo es. El recproco s es cierto.Teorema 12.4 (Test de comparacin). Sea f una funcin localmente integrable en ]a, b[ ysupongamos que g es una funcin impropiamente integrable en ]a, b[ con | f (x) | g(x), paratodo x ]a, b[. Entonces f es impropiamente integrable y se cumple que baf (x) dx bag(x) dx.En particular si f es localmente integrable y | f | es impropiamente integrable, f tambin esimpropiamente integrable.Ejemplo 12.5. La funcin f (x) = sen(x)x si x > 0 y f (0) = 1 es impropiamente integrable en]0,+[ pero | f | no lo es.En el caso de funciones continuas la situacin es un poco ms sencilla. El teorema fundamen-tal del Clculo nos garantiza que la integral indefinida es una primitiva. Vamos a ver tres casosposibles.12.2 Integracin en intervalos no acotadosSupongamos que tenemos una funcin definida en un intervalo no acotado, f : [a,+[ R,que es continua en todo [a,+[. Podemos buscar una primitiva de f , llammosla F, y estudiar sucomportamiento en +: si la funcin F tiene lmite en +, diremos que existe la integral impropiade f en [a,+[, y dicha integral valdr: +af (x) dx =(limx+F(x)) F(a),es decir, la integral vale F(+) F(a), considerando F(+) = limx+ F(x). Si el lmite de laprimitiva es + o , diremos que la integral vale + o .Una vez que hemos definido una integral para este tipo de funciones, podemos generalizar elrea bajo una curva, la longitud de un arco de curva, la superficie y el volumen de un slido derevolucin,etc. siendo todas frmulas perfectamente vlidas.El caso de una funcin definida en un intervalo de la forma ], b] es completamente anlogo.Adems, si tenemos una funcin definida en todo R, podemos dividir la integral como: +f (x) dx = cf (x) dx + +cf (x) dxpara cualquier c R. Si la suma vale , no podemos calcular la integral.Ejemplo 12.6. Calcular el rea comprendida bajo la curva y = 1/x2 en el intervalo [1,+[.Viendo el rea bajo la curva como una integral se tiene queA = +1dxx2=[1x]+1=(limx+1x) (1) = 1.Integrales impropias Algunos casos particulares 175 12.3 Algunos casos particulares12.3.1 Integracin de funciones continuas en intervalos abiertosSe trata de calcular integrales de funciones definidas en un intervalo abierto en uno de susextremos, y que tienen una asntota vertical en dicho extremo. Supongamos que el intervalo es dela forma ]a, b]; el caso de un intervalo [a, b[ es completamente anlogo.Sea pues f :]a, b] R una funcin continua a la que queremos calcular su integral, y sea Funa primitiva suya. Estudiamos entonces el lmite por la derecha de la primitiva en a, y si existepodemos calcular la integral de f : baf (x) dx = F(b) (limxa+F(x))Nota: Si el lmite de la primitiva es+ o, diremos que la integral vale+ o. Si tenemosuna funcin continua en un intervalo abierto f :]a, b[ R, su integral valdr baf (x) dx =(limxbF(x))(limxa+F(x))Otra vez, si la suma vale , no podemos calcular la integral.Al igual que antes, podemos aplicar estos resultados al clculo de longitudes, reas y volmenes.Ejemplo 12.7. Calcular el rea bajo la curva y = 1/x en ]0, 1].Aplicamos la frmula dada, y tenemosA = 101xdx =[2x]10= 2 (limx0+2x)= 2.12.3.2 Integracin de funciones continuas en un intervalo salvo un punto interiorSupongamos que tenemos una funcin f : [a, b] \ {c} R que es continua en [a, b] \ {c} y quetiene una asntota vertical en x = c. Entonces, si queremos calcular la integral de f entre a y b,tenemos que dividir dicha integral en dos trozos: la integral en [a, c[ y la integral en ]c, b]. Comoestos dos casos quedan contemplados en los supuestos anteriores, podemos calcular la integral def entre a y b como baf (x) dx = caf (x) dx + bcf (x) dx.El nico problema que se puede presentar es, de nuevo, que la suma valga , en cuyo casono podemos calcular la integral.Ejemplo 12.8. Calcular 11 log(x2)dx.La funcin que nos dan es f : [1, 1] \ {0} R, f (x) = log(x2). Esta funcin tiene una asntotavertical en x = 0, por lo que para calcular su integral dividimos el intervalo en dos partes, [1, 0[y ]0, 1]. Cada una de las dos integrales vale: 01log(x2)dx =[x log(x2) 2x]01 = 2 10log(x2)dx =[x log(x2) 2x]10= 2,Ejercicios Integrales impropias 176 con lo que se tiene que 11 log(x2)dx = 2 2 = 4.Ejemplo 12.9. Calcular 111x2 dx.Si hacemos 111x2dx =[1x]11= 1 (+1) = 2!!!!!Pero la funcin que estamos integrando es positiva, no tiene sentido que tenga integral negativa!Qu ha pasado? Como la funcin 1/x2 tiene una asntota vertical en x = 0, tenemos que descom-poner la integral como 111x2dx = 011x2dx + 101x2dx,pero 011x2dx =[1x]01= limx0(1/x) (+1) = + 101x2dx =[1x]10= 1 limx0+(1/x) = +,y por tanto 111x2 dx = +.12.4 EjerciciosEjercicio 12.1. Prueba que existen las siguientes integrales y que tienen el valor que se indicaen cada caso:a) 10dx1+ex = 1 + log(21+e)b) 1/20dx20+8xx2= arcsen(23) arcsen(712)c) 30dx9x2= 2d) 10x21x6dx = 6e) +1x1x33x2+x+5dx =3+log(2)10f) +0x3+x4 dx =312g) +dxex+ex =2Ejercicio 12.2. Prueba que existen las siguientes integrales y que tienen el valor que se indicaen cada caso:a) 111 x2dx = 2b) (1 + cos(x))2 dx = 3c) /2/2 | sen(x)|3dx = 43d) /20 sen2(y) cos2(y) dy = 16Aplicaciones de la integral Clculo de reas 177 Aplicaciones de la integral1313.1 Clculo de reasEl rea entre dos funciones f , g : [a, b] R se define comorea = ba| f (x) g(x) | dx.Hasta ahora no hemos visto ningnmetodo que nos permita calcular primitivas en las que aparecenvalores absolutos. Por eso, antes de comenzar a integrar, es necesario estudiar cunto vale | f g |o, dicho de otra forma, averiguar cul de las dos funciones es la mayor.0 1 2 3f (x) = x(x 1)(x 2)Ejemplo 13.1. Calcular el rea entre la funcin f (x) = x(x1)(x2)y el eje OX en el intervalo [0, 3].Dividimos en intervalos donde sepamos el signo de la funcin e inte-gramos: 30| f (x) | dx = 10| f (x) | dx + 21| f (x) | dx + 32| f (x) | dx= 10x(x 1)(x 2) dx 21x(x 1)(x 2) dx+ 32x(x 1)(x 2) dx=14 215+1930=34./13.2 Longitudes de curvasSea f una funcin derivable con derivada continua en el intervalo [a, b]. La longitud del arcode la curva y = f (x) entre x = a y x = b eslongitud = ba1 + f (x)2 dx.Ejemplo 13.2. Calcular la longitud de una circunferencia de radio 1.La ecuacin de una circunferencia de radio 1 es x2+y2 = 1. Podemos despejar y en la parte positiva:y = f (x) =1 x2 con x [1, 1]. As, la longitud de media circunferencia ser:l = 111 + f (x)2 dx = = 11dx1 x2=[arcsen(x)]11=2+2= ./rea de slidos de revolucin Aplicaciones de la integral 178 13.3 rea de slidos de revolucinSea f : [a, b] R una funcin derivable con derivada continua en [a, b]. Entonces el rea dela superficie generada haciendo girar alrededor del eje OX el arco de curva y = f (x) en [a, b] esSuperficie = 2 baf (x)1 + f (x)2 dx.Ejemplo 13.3. Calcular la superficie de una esfera de radio 1.Podemos generar una esfera girando respecto del eje OX la curva del ejemplo anteriory = f (x) =1 x2 x [1, 1]De esta forma, la superficie ser:S = 2 11f (x)1 + f (x)2 dx = = 2 111 x21 x2dx = 2 11dx = 2 2 = 4./13.4 Volmenes de slidos de revolucinfa bFigura 13.1 Volumen al girarrespecto al eje OXSea f : [a, b] R una funcin continua. El volumen del slidogenerado al girar el rea bajo la curva y = f (x) respecto del eje OXesVOX = baf (x)2 dxy el volumen del slido generado al girar dicha rea respecto al ejeOY esVOY = 2 bax f (x) dx.En este segundo caso, la funcin f tiene que ser positiva.Ejemplo 13.4. Calcular el volumen de una esfera de radio 1.Podemos generar una esfera rotando respecto del eje OX el rea bajola curva y = f (x) =1 x2 x [1, 1] Con ello, el volumenserV = 11f (x)2 dx = 11(1 x2) dx = [x x33]11=((1 13) (1 + 13))=43./13.5 Algunas funciones definidas mediante integrales13.5.1 La funcin gammaLa funcin gamma : R+ R est definida como(x) = 0tx1et dt.Aplicaciones de la integral Ejercicios 179 Esta funcin, debida a Euler, tiene inters como posible generalizacin del factorial para nmerosreales cualesquiera. Se puede demostrar quea) (x + 1) = x(x), para cualquier x R+.b) (x + n) = (x + n 1)(x + n 2) . . . (x + 1)(x), x R+, n N.c) (n) = (n 1)!, n N.13.5.2 La funcin betaLa funcin : R+R+ R est definida como (p, q) = 10 xp1(1 x)q1 dx. Est relacionadacon la funcin gamma mediante la igualdad (p, q) = (p)(q)(p+q) .13.6 EjerciciosEjercicio 13.1. Calcula las siguientes reas:a) rea limitada por las curvas y = x2 y y2 = 8xb) rea limitada por y = xex2 , el eje OX, la ordenada en el punto x = 0 y la ordenada en elmximo.c) rea de la figura limitada por la curva y = x(x 1)(x 2) y el eje OX.Ejercicio 13.2. Halla el rea comprendida entre el eje de abscisas y la curva y = x3 6x2 + 8x.Ejercicio 13.3. Halla el rea comprendida entre las parbolas y = 6x x2, y = x2 2x.Ejercicio 13.4. Halla el rea del recinto limitado por las grficas de f (x) = cosh(x) y g(x) =senh(x), en el primer cuadrante.Ejercicio 13.5. Calcula el rea entre las curvas y = sech(x) e y = 34 cosh(x).EEjercicio 13.6. El cuadrado con un vrtice en el origen y el vrtice opuesto en (1, 1) se divideEen dos partes por cada una de las siguiente curvas. En cada caso, halla la razn entre el rea mayory el rea menor.a) y2 = x3, b) y = xn, n > 1, c) y = xex1.Ejercicio 13.7. Halla la longitud de las siguientes curvas:a) y = x4+4824x en [2, 4]b) y = log(1 x2) en[13 ,23].c) Halla la longitud de la catenaria, o sea, de la funcin f : [a, a] R definida comof (x) =a2(ex/a + ex/a).Ejercicios Aplicaciones de la integral 180 Ejercicio 13.8. Hllese la longitud del arco de curva x = 13y3 + 14y desde y = 1 hasta y = 3.Ejercicio 13.9. Hllese la longitud del arco de la curva 9x2 = 4y3 entre los puntos (0, 0) y(23, 3).Ejercicio 13.10. La curva y = sen2(x), para x [0, ], gira en torno al eje OX determinando unslido. Calcula su volumen.Ejercicio 13.11. Halla el volumen generado al girar alrededor del eje OX la grfica de f (x) =18xx2+9 .Ejercicio 13.12. Calcula el volumen del slido generado al girar la regin limitada por x = y2e y = x2a) alrededor del eje OX.b) alrededor del eje OY .Ejercicio 13.13. Halla el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX la curvay = ex+ex2 entre x = 1 y x = 1.Ejercicio 13.14. Al girar alrededor del eje OX, el segmento de curva y =x comprendido entrelas abscisas 0 y a, engendra un tronco de paraboloide de revolucin cuya superficie es igual a lade una esfera de radio13/12. Hllese el valor de a.Ejercicio 13.15. Halla el rea de la superficie generada al girar la curva y = x2 alrededor del ejeOX entre y = 0 y y =2.Ejercicio 13.16. Halla mediante integracin el rea y volumen de un cono circular recto dealtura h y con base de radio r.

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