Características de Algunas Distribuciones Discretas de Probabilidad

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    30-Jun-2015

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Caractersticas de Algunas Distribuciones Discretas de ProbabilidadLuis Alejandro Msmela Caita. Correo. lmasmela@udistrital.edu.co-lamasmelac@gmail.com Universidad Distrital Francisco Jos de CaldasResumen Se presentan a continuacin algunas funciones de densidad de probabilidad de variables aleatorias discretas, las demostraciones de que efectivamente estas funciones cumplen con las condiciones para ser una funcion de densidad de probabilidad, se obtienen sus valores esperados, su varianzas

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Caractersticas de Algunas Distribuciones Discretas deProbabilidadLuis Alejandro Msmela Caita.Correo. lmasmela@udistrital.edu.co-lamasmelac@gmail.comUniversidad Distrital Francisco Jos de CaldasResumenSe presentan a continuacin algunas funciones de densidad de probabilidad de variablesaleatorias discretas, las demostraciones de que efectivamente estas funciones cumplen con lascondiciones para ser una funcion de densidad de probabilidad, se obtienen sus valores esperados,su varianzas y sus funciones generadoras de momentos.1. Introduccin.En cursos bsicos de teora de la probabilidad, un captulo importante se reere a distribucionesde probabilidad. Este captulo hace mencin bsicamente a dos tipos de distribuciones de variablesaleatorias, estas son, variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.Una de las condiciones que requiere una funcin para que se denomine funcin de distribucinde probabilidad es, para el caso discreto, que la suma de esta funcin sobre todos los valores quetoma la variable aleatoria sea la unidad, esto es, x 1(r) = 1. Para el caso de variables aleatoriascontinuas se necesita que la funcin integre a uno.Estas distribuciones son caracterizadas a partir de su media y varianza1, as como tambin porsu funcin generadora de momentos2. Dependiendo de la variable aleatoria de inters, la funcion1(r) toma formas matemticas distintas y la caracterizacin de la misma a partir de la media, lavarianza y la funcin generadora de momentos al depender de la funcin 1(r) cambia.En el presente documento se hace una recopilacin de algunos ejemplos de distribuciones deprobabilidad discretas, de las deducciones de las expresiones para valor esperado y varianza, lavericacin de la condicin que se menciona para que la funcin denida sea funcin de distribu-cin de probabilidad y se obtiene, adems, su funcin generadora de momentos. Se han tomadocomo ejemplos las distribuciones discretas uniforme, binomial, hipergeomtrica, binomial negativa,geomtrica y Poisson ya que son las distribuciones ms comunes en un curso de probabilidad bsica.1Si la variable aleatoria discreta A tiene por funcin de distribucin la funcin ;(a). su media o valor esperadose dene como j = 1(A) =Px a;(a) y su varianza por o2= \ (A) =Px(a j)2;(a).2De igual forma la funcin generadora de momentos se dene como AX(t) = 1(cxt). donde la notacin 1 denotavalor esperado y c es el nmero de euler.12. Distribucin Uniforme.Si la variable aleatoria A toma los valores r1. r2. .... rk. con idnticas probabilidades, entoncesa A se le denomina variable aleatoria uniforme discreta y su funcin de densidad de probabilidad(f.d.p.) est dada porn(r; /) = 1/. si r = r1. r2. .... rk.Se debe probar queki=1n(ri; /) = 1.as,ki=1n(ri; /) =ki=11/= /1/= 1.2.1. Valor Esperado y Varianza.Para la obtencin de expresiones para la media y la varianza, se parte de sus deniciones:1(A) =ki=1rin(ri; /)=ki=1ri1/=ki=1ri/.De igual forma, para la varianza\ (A) =ki=1(rij)2n(ri; /)=1/ki=1(rij)2.22.2. Funcin Generadora de Momentos.Partiendo de la denicin de la funcin generadora de momentos y de la funcin de densidad deprobabilidad para una variable aleatoria con distribucin uniforme se tiene,'X(t) = 1(cxt) =kj=1cjt1/=1/kj=1ct

ct

j1=ct/ 1ckt1ct .3. Distribucin Binomial.Para denir una variable aleatoria binomial, en primera instancia se describe lo que es un procesode Bernoulli.Proceso de Bernoulli.El proceso de Bernoulli tiene las siguientes propiedades:1. El experimento consiste en : pruebas que se repiten.2. Cada prueba produce un resultado que se puede clasicar como xito o fracaso.3. La probabilidad de un xito, que se denota con j, permanece constante en cada prueba.4. Las pruebas que se repiten son independientes.El nmero de xitos en : experimentos de Bernoulli se denomina variable aleatoria binomial.La distribucin de probabilidad de esta variable aleatoria discreta se llama distribucin binomial ysu f.d.p. esta dada por/(r; :. j) = :r

jx(1j)nx. si r = 0. 1. .... :.Para probar que /(r; :. j) = 1. se parte del teorema del binomio, si : es un entero positivoentonces para todos los nmeros a y /,(a + /)n=ni=0

:i

ai/ni.de esta formanx=0/(r; :. j) =nx=0

:r

jx(1j)nx= [j + (1j)]n= 1.33.1. Valor Esperado y Varianza.Para obtener una expresin para la media de la variable aleatoria binomial, se parte de ladenicin de media, esto es,1(A) =nx=0r/(r; :. j)=nx=1r

:r

jx(1j)nx=nx=1r:!r!(:r)!jx(1j)nx= :jnx=1(:1)!(r1)!(:r)!jx1(1j)nx= :jnx=1

:1r1

jx1(1j)nxhaciendo n = r1 se tiene que1(A) = :jn1y=0

:1n

jy(1j)n1y= :jn1y=0/(n; :1. j)= :jEn cuanto a la varianza,\ (A) = 1(A2)[1(A)]2donde1(A2) = 1 [A(A1)] + 1(A)as,\ (A) = 1 [A(A1)] + 1(A)[1(A)]2por tanto basta con calcular 1 [A(A1)], as1 [A(A1)] =nx=0r(r1):!r!(:r)!jx(1j)nx=nx=2(:2)!(:1):(r2)!(:r)! j2jx2(1j)nx= (:1):j2nx=2(:2)!(r2)!(:r)!jx2(1j)nx= (:1):j2nx=2

:2r2

jx2(1j)nx4haiendo n = r2 se tiene1 [A(A1)] = (:1):j2 n2y=0

:2n

jy(1j)n2y= (:1):j2 n2y=0/(n; :2. j)= (:1):j2.Con base en este resultado la expresin para la varianza es\ (A) = 1 [A(A1)] + 1(A)[1(A)]2= (:1):j2+ :j(:j)2= :j(1j).3.2. Funcin Generadora de Momentos.Para la distribucin binomial, la funcin generadora de momentos se obtiene,'X(t) = 1(cxt) =nx=0cxt

:r

jx(1j)nx=nx=0

:r

ctj

x(1j)nx= ctj + 1j

n.4. Distribucin de Hipergeomtrica.La variable aleatoria discreta hipergeomtrica A, mide el nmero de exitos en una muestraaleatoria de tamao : tomada de una poblacin de elementos de los que / se denominan xitoy 1 fracaso. Su f.d.p. esta dada por/(r; . :. /) =

/r

/:r

: si r = 0. 1.... mnf/. :g .Para probar quenx=0/(r; . :. /) = 15partiendo de la serie binomial3(1 + r)k= 1i=0

/i

rise tiene(1 + r)a= 1i=0

ai

ri. (1 + r)b= 1i=0

/i

ri. (1 + r)a+b= 1i=0

a + /i

ricon base en estas expresiones1i=0

a + /i

ri= (1 + r)a+b= (1 + r)a(1 + r)b= 1i=0

ai

ri 1i=0

/i

ri= a0

+

a1

r +

a2

r2+ /0

+

/1

r +

/2

r2+

= a0

/0

+a0

/1

+

a1

/0

r +a0

/2

+

a1

/1

+

a2

/0

r2+ =1i=0

ij=0

a,

/i,

riluego

a + /i

=ij=0

a,

/i,

.Con base en la anterior deduccin se tiene quenx=0/(r; . :. /) =nx=0

/r

/:r

:

=1

:

nx=0

/r

/:r

=1

:

/ + /:

=1

:

:

= 13En la seccin correspondiente a la Distribucin Binomial Negativa se presenta la obtencin de esta expresin apartir de series de Taylor.64.1. Valor Esperado y Varianza.Para el valor esperado de A se tiene1(A) =nx=0r

/r

/:r

:

=nx=1r/!r! (/r)!

/:r

:

=/Nnnx=1(/1)!(r1)! (/r)!

/:r

1:1

=:/nx=1

/1r1

/:r

1:1

haciendo n = r1 se tiene1(A) =:/n1y=0

/1n

/:1n

1:1

=:/n1y=0/(n; 1. :1. /1)=:/Para la varianza\ (A) = 1(A2)[1(A)]2adems1(A2) = 1 [A(A1)] + 1(A)7as,1 [A(A1)] =nx=0r(r1)

/r

/:r

:

=nx=2r(r1)

/r

/:r

:

=/(/1)N(N1)n(n1)nx=2(/2)!(r2)! (/r)!

/:r

2:2

=/(/1):(:1)(1)nx=2

/2r2

/:r

2:2

haciendo n = r2 se tiene1 [A(A1)] =/(/1):(:1)(1)n2y=0

/2n

/:2n

2:2

=/(/1):(:1)(1)n2y=0/(n; 2. :2. /2)=/(/1):(:1)(1).Con base en los resultados anteriores\ (A) = 1(A2)[1(A)]2= 1 [A(A1)] + 1(A)[1(A)]2=/(/1):(:1)(1)+ :/

:/

2haciendo algunas simplicaciones sobre la ltima expresin se tiene\ (A) = :1: /

1 /

.84.2. Funcin Generadora de Momentos.Partiendo de la denicin de la f.g.m. y de la densidad de una variable aleatoria hipergeomtricase dene'x;n(t) = 1(cxt) =nx=0

/r

/:r

: cxt.Utilizando nuevamente la expansin binomial, pero esta vez para exponentes enteros positivos setiene(1 + nct)k=ki=0

/i

citni. (1)y(1 + n)Nk= Nkj=0

/,

nj. (2)Multiplicando las series (1) y (2) se obtiene(1 + nct)k(1 + n)Nk= /0

/0

c0t

n0+/0

/1

c0t+

/1

/0

ct

n ++ +nx=0

/r

/:r

cxtnn++ Nx=0

/r

/r

cxtnN.o equivalentemente(1 + nct)k(1 + n)Nk=Nn=0'x;n(t)nn

:

. (3)Derivando la ecuacin en (3) : veces con respecto a n y haciendo n = 0 se obtiene una secuenciade funciones generadoras de momentos para sucesivos valores de :.0n0nn(1 + nct)k(1 + n)Nk

y=0= :!

:

'x;n(t).reescribiendo la ecuacin anterior se obtiene una expresin para la funcin generadora de momentosde la distribucin hipergeomtrica,'x;n(t) = (:)!!0n0nn(1 + nct)k(1 + n)Nk

y=0.5. Distribucin Binomial Negativa.La variable aleatoria binomial negativa A mide, bajo un proceso de Bernulli, el nmero deensayos que deben realizarse para obtener / exitos, en donde la probabilidad de exito es j. Su f.d.p.9esta dada por/

(r; /. j) =

x1k1

jk(1j)xksi r = /. / + 1. ...0 e.o.c.Se debe probar que 1x=k /

(r; /. j) = 1. Para ello, expandiendo (1 + r)ken serie de Tayloralrededor de r0 = 0. llamando 1(r) = (1 + r)kse tiene que1(i)(0) = /(/1)(/i + 1)as, la serie de Taylor correspondiente es1(r) =1i=01(i)(0)i!ri(4)=1i=0/(/1)(/i + 1)i!ri=1i=0

/i

ridenominada Serie Binmica o Binomial. Sustituyendo / por / tenemos(1 + r)k=1i=0/(/1)(/i + 1)i!ri(5)=1i=0

/i

riya que

/i

=/(/1)(/i + 1)i!= (1)i/(/ + 1)(/ + i1)i!= (1)i

/ + i1i

.Por ejemplo, si / = 5 e i = 3 se tiene

53

=(5)(6)(7)3!= (1)3(5)(6)(7)3!= (1)3 7!3!4!= (1)3

73

.10Luego se puede establecer la siguiente propiedad como

/i

= (1)i

/ + i1i

. (6)Adems, es sencillo probar que

/ + i1i

= / + i1/1

. (7)Con base en la serie de (5) haciendo en ella r = c y utilizando las propiedades en (6) y (2)(1c)k=1i=0

/i

(c)i=1i=0(1)i

/ + i1i

(1)ici=1i=0

/ + i1/1

ci.haciendo i = r/(1c)k= 1x=k

r1/1

cxk.En la binomial negativa se tiene que c = 1j entonces(11 + j)k= 1x=k

r1/1

(1j)xkde donde1x=k

r1/1

(1j)xk= jk. (8)Ya que se desea probar1x=k/

(r; /. j) = 1x=k

r1/1

jk(1j)xk= 1entonces utilizando (8)1x=k

r1/1

jk(1j)xk= jk 1x=k

r1/1

(1j)xk= jkjk= 1.115.1. Valor Esperado y Varianza.Para el clculo del valor esperado y la varianza se calcula 1(At).1(At) =1x=krt

r1/1

jk(1j)xk=1x=krt(r1)!(/1)!(r/)!jk(1j)xk=/j1x=krt1r!/!(r/)!jk+1(1j)xk=/j1x=krt1

r/

jk+1(1j)xk.A partir de la sustitucin r = n1, se obtiene1(At) =/j1y=k+1(n1)t1

n1/

jk+1(1j)y1k=/j1y=k+1(n1)t1/

(n; / + 1. j)=/j1[(n1)t]en donde n tiene una distribucin binomial negativa con parmetros / + 1 y j. De esta forma, yaque1(At) = /j1[(n1)t1]haciendo en la anterior expresin t = 1.1(A) =/j1[1]=/j.para obtener la varianza, haciendo t = 2 para obtener 1(A2)1(A2) =/j1(n1)=/j[1(n)1]=/j[/ + 1j 1]=/2+ //jj212as,\ (A) = 1(A2)[1(A)]2=/2+ //jj2

/j

2=/(1j)j2.5.2. Funcin Generadora de Momentos.Para obtener la funcin generadora de momentos de una variable aleatoria distribuida binomialnegativa, partimos de la denicin'X(t) = 1(cxt) = 1x=kcxt

r1/1

jk(1j)xk= jkckt 1x=k

ct

xk r1/1

(1j)xk= jct

k 1x=k

r1/1

ct(1j)

xk= jct

k 1ct(1j)

kde donde,'X(t) = jct1ct (1j)

k6. Distribucin Geomtrica.Un caso particular de la distribucin binomial negativa es la denominada distribucin geomtri-ca, su variable mide el nmero de ensayos requeridos para obtener el primer xito, su f.d.p. seestablece de la siguiente forma.Si pruebas independientes repetidas pueden tener como resultado un xito con probabilidad jy un fracaso con probabilidad c = 1j. entonces la distribucin de probabilidad de la variablealeatoria A, el nmero de la prueba en la que ocurre el primer xito, eso(r; j) = jcx1si r = 1. 2. ...Para probar que o(r; j) = 1 se requiere de la denominada serie geomtrica que se describecomo1i=0ari=a1r si jrj < 1.13de esta forma partiendo de1x=1o(r; j) =1x=1jcx1=1y=0jcy=j1c= 1.6.1. Valor Esperado y Varianza.Para el calculo del valor esperado y la varianza se utilizan propiedades de series, ms exactamenteel intercambio de derivadas y sumatorias justicada bajo la convergencia de la serie para jcj < 1.1(A) =1x=1rjcx1= j 1x=0rcx1= j 1x=0ddccx= j ddc1x=0cx= j ddc

11c

luego1(A) =j(1c)2 =jj2 = 1j.Para la varianza se parte de1 [A(A1)] =1x=1r(r1)jcx1= jc d2dc21x=0cx= jc d2dc2

11c

=2jc(1c)3=2cj214entonces\ (A) = 1 [A(A1)] + 1(A)[1(A)]2=2cj2 + 1j 1j2=22j + j1j2=1jj2.Cabe notar que estos resultados se puede obtener partiendo de los resultados de la binomialnegativa haciendo / = 1.6.2. Funcin Generadora de Momentos.Para la distribucin geomtrica, por denicin se tiene,'X(t) = 1(cxt) = 1x=1cxtjcx1=1x=1ctj(ctc)x1=ctj1ctc.7. Distribucin de Poisson.A continuacin se dene el proceso de Poisson el cual permite denir lo que es una variablealeatoria de Poisson que al mismo tiempo permite encontrar su funcin de densidad de probabilidad.Proceso de Poisson.1. El nmero de resultados que ocurren en un intervalo o regin especca es independiente delnmero que ocurre en cualquier otro intervalo o regin del espacio disyunto. De esta forma sepuede observar que el proceso de Poisson no tiene memoria.2. La probabilidad de que ocurra un posible resultado durante un intervalo muy corto o unaregin pequea es proporcional a la longitud del intervalo o al tamao de la regin y nodepende del nmero de resultados que ocurren fuera de este intervalo o regin.3. La probabilidad de que ocurra ms de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en talregin pequea es insignicante.El nmero A de resultados que ocurren durante un experimento de Poisson se llama variablealeatoria de Poisson. El nmero medio de resultados se calcula por `t donde t es el tiempo o regin15especca de inters y ` la tasa de ocurrencia de los resultados. La obtencin de la f.d.p. de lavariable A se basa en las propiedades del proceso de Poisson, y esta dada porj(r; `t) = ct(`t)xr!si r = 0. 1. ...Para probar que j(r; `t) = 1. basado en (4) se puede mostrar queck= 1i=0/ii!que es la serie de Maclaurin para la funcin 1(r) = cx, con base en esta expresin se tiene que1x=0j(r; `t) =1x=0ct(`t)xr!= ct 1x=0(`t)xr!= ctct= 1.7.1. Valor Esperado y Varianza.Se puede vericar que la media de la variable aleatoria de poisson esta dada por j = `t.1(A) =1x=0rj(r; `t)=1x=1rct(`t)xr!= `t 1x=1ct(`t)x1(r1)!haciendo n = r1 se obtiene1(A) = `t 1y=0ct(`t)yn!= `t 1y=0j(n; `t)= `t.Para el calculo de la varianza1 [A(A1)] =1x=0r(r1)ct(`t)xr!= (`t)2 1x=2ct(`t)x2(r2)!16haciendo n = r21 [A(A1)] = (`t)2 1y=0ct(`t)yn!= (`t)2 1x=2j(n; `t)= (`t)2.as,\ (A) = 1 [A(A1)] + 1(A)[1(A)]2= (`t)2+ `t(`t)2= `t.7.2. Funcin Generadora de Momentos.Para la distribucin de Poisson se tiene, llamando j = `t.'x;n(t) = 1(cxt) = 1x=0cxtc

jxr!=1x=0c

(jct)xr!= c

cet= c(et1).Referencias[1] BLANCO L., MUOZ M. Introduccin a la teora avanzada de la probabilidad. UniversidadNacional de Colombia. Bogot. Colombia. 2002.[2] LESSING R. An Alternative Expression for the Hypergeometric Moment Generating Function.The American Statician, Vol. 27, No. 3, p. 115. 1973.[3] FELLER W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Volume 1. Hardcover.1971[4] MARTN F., RUIZ-MAYA L. Fundamentos de Probabilidad. Editorial Thomson. 2002.[5] MOOD A., GRAYBILL F., BOES D. Introduction to the theory of statistics. McGraw-HillInternational Editions. Third Edition. Singapore. 1963.[6] ROSS S. A First Course in Probability. Prentice Hall. United States of America. 2002.[7] WALPOLE R., MYERS, R., MYERS, S. YE, K. Probabilidad y Estadstica para Ingeniera yCiencias. Pearson Education. Octava Edicin. 2007.17

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