a) ?· Hallar el valor de k para que el complejo ( ) ... 2 1 1 k k i 2 k 1 k 1 i 1 k i 1 k i 2 1 k i…

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    25-Jan-2019

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<p>1. Hallar "a" para que el complejo i6ai23</p> <p>++ : </p> <p>a) sea real puro b) sea imaginario puro </p> <p>Solucin. Lo primero de todo es hacer la divisin en forma binmica, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, de esta forma se elimina la unidad imaginaria del denominador. </p> <p>( ) ( )( ) ( )</p> <p>( )( ) ( )( ) ( ) ( ) i 36a18a2</p> <p>36a123a</p> <p>36ai 18a212a3</p> <p>i6ai a263i 62a3</p> <p>i6ai6ai6ai23</p> <p>i6ai23</p> <p>222222</p> <p>2</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+=</p> <p>+</p> <p>++=</p> <p>+++=</p> <p>++</p> <p>=++</p> <p> a) Nmero complejo real puro la parte imaginaria nula. </p> <p>92</p> <p>18a : 0182a : 036a18a2</p> <p>2====</p> <p>+</p> <p> b) Nmero complejo imaginario puro la parte real nula. </p> <p>4312a : 0123a : 0</p> <p>36a123a</p> <p>2=</p> <p>==+=</p> <p>+</p> <p>+ </p> <p>2. Hallar el valor de k para que el complejo ( )ki1</p> <p>ik12+ sea un n real. Hallar su cociente. </p> <p>Solucin. Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. </p> <p>( ) ( )( ) ( )( ) ( )</p> <p>( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )=</p> <p>+</p> <p>+++=</p> <p>+++++=</p> <p>+++</p> <p>=+</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>222</p> <p>2</p> <p>k1i 1kkk2</p> <p>ik1i 1k1k2i kk112</p> <p>i k1i k1i k1i k12</p> <p>ki1i k12</p> <p>i k11k</p> <p>k1kk2</p> <p>22</p> <p>2</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>++= </p> <p> Para que un nmero complejo sea real puro, la parte imaginaria debe ser nula. </p> <p>1k : 01k : 0k11k2</p> <p>===+</p> <p> Para k = 1: </p> <p>i 023i </p> <p>1111</p> <p>11112</p> <p>22</p> <p>2+=</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>++= </p> <p>3. Hallar a y b para que el complejo bi3</p> <p>i2a++ sea igual 3152 </p> <p>Solucin. </p> <p>3152bi3i2a=</p> <p>++ </p> <p> Lo primero es expresar el segundo miembro de la igualdad en forma binmica. </p> <p>( )( )</p> <p>( )i1i</p> <p>22</p> <p>222</p> <p>2245 sen54 sen315 sen</p> <p>2245cos45cos315cos</p> <p>315 isen315cos22 315 =</p> <p>=</p> <p>===</p> <p>====+= </p> <p>i1bi3</p> <p>i2a=</p> <p>++ </p> <p> Los parmetros a y b se calculan por identificacin igualando las partes reales y las imaginarias, para lo cual lo ms sencillo es pasar el denominador al segundo miembro y operar el producto. </p> <p>( ) ( )bi3i1i2a +=+ </p> <p>( )( ) ( )( ) i 31b1i b131i2a 2 +++=+ ( ) ( )</p> <p>==</p> <p>=+=</p> <p>++=+5b8a</p> <p>3b2:Imb3a:Re</p> <p>:i 3bb3i 2a </p> <p> Otra forma mucho ms complicada es operar tal como esta, el primer miembro de la igualdad se pasa a forma binmica multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador (3 bi). </p> <p>( ) ( )( ) ( ) { }</p> <p>( ) ( ) ib9ab6</p> <p>b9b2a3</p> <p>b9iab6b2a31i</p> <p>ib3abii6bi2a3</p> <p>bi3bi3bi3i2a</p> <p>bi3i2a</p> <p>2222</p> <p>222</p> <p>2</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+=</p> <p>+</p> <p>++===</p> <p>+=</p> <p>++</p> <p>=++ </p> <p> El segundo miembro de la ecuacin se pasa a forma binmico mediante la forma trigonomtrica. </p> <p> Igualando. </p> <p>i1ib9ab6</p> <p>b9b2a3</p> <p>22=</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+ Identificando parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria, se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas no lineal, que se resuelve por el mtodo de sustitucin. </p> <p>=+</p> <p>=+</p> <p>+</p> <p>1b9ab6:Im</p> <p>1b9</p> <p>b2a3:Re</p> <p>2</p> <p>2 </p> <p> Ordenando. </p> <p>=+=+</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>b9ab6b9b2a3 </p> <p> De la 2 ecuacin se despeja a y se sustituye en la primera. </p> <p>b15ba</p> <p>2 += </p> <p>22</p> <p>b9b2b</p> <p>15b3 +=++ 322 bb9b245b3 +=++ 045b9b5b 23 =+ </p> <p> Resolviendo por Ruffini </p> <p> b = 5 </p> <p>85</p> <p>155a2</p> <p>=+</p> <p>= </p> <p> 4. Hallar dos nmeros complejos cuya diferencia es imaginaria, su suma tiene como parte </p> <p>imaginaria 5 y su producto vale i55+ . Solucin. Se pide hallar dos nmeros complejos z1 = a + bi y z2 = c + di que cumplan las siguientes condiciones: </p> <p>1. Re (z1 z2) = 0 z1 z2 = a + bi (c + di) = (a c) + (b d)i </p> <p>Re (z1 z2) = a c = 0 </p> <p>2. Im (z1 + z2) = 5 z1 + z2 = a + bi + (c + di) = (a + c) + (b + d)i </p> <p>Im (z1 + z2) = b + d = 5 </p> <p>3. z1 z2 = 5 +5i z1 z2 = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i = 5 + 5i </p> <p>=+=5cbda:Im5dbca:Re</p> <p> Las condiciones propuestas permiten plantear un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incgnitas. </p> <p>=+=</p> <p>=+=</p> <p>5bcad5bdac</p> <p>5db0ca</p> <p> a = c </p> <p>=+=</p> <p>=+</p> <p>5baad5bda</p> <p>5db2 </p> <p>( )</p> <p>=+=</p> <p>=+</p> <p>5dba5bda</p> <p>5db2 </p> <p> Sustituyendo la 1 en la 3: 55a = a = c = 1 </p> <p>==+</p> <p>5bd15db</p> <p>2 </p> <p>==+6bd5db</p> <p>Por sustitucin d = 5 b b(5b) = 6 </p> <p> Ordenando se obtiene una ecuacin de 2 grado. </p> <p>======</p> <p>=+055d5b415d1b</p> <p>:06b5b2 </p> <p> Posibles soluciones: z1 = 1 + i y z2 = 1 + 4i </p> <p> z1 = 1 + 5i y z2 = 1 + 0i </p> <p> 5. Hallar dos n complejos tales que su suma sea 1 + 2i, el cociente de ambos real puro y la parte </p> <p>real del 1 sea igual a 2. Solucin. Se buscan dos nmeros complejos de la forma: </p> <p>Z1 = 2 + ai Z2 = b + di </p> <p>Tales que: Z1 + Z2 = 1 + 2i </p> <p> (2 + ai) + (b + di) = 1 + 2i </p> <p> (2 + b) + (a + d)i = 1 + 2i </p> <p>Igualando real con real e imaginaria con imaginaria </p> <p>=+==+ 2da:Im</p> <p>1b1b2:Re </p> <p> Con lo obtenido hasta ahora nos quedan los complejos Z1 = 2 + ai y Z2 = 1 + di y la relacin entre los parmetros a y d (a + d = 2). La segunda relacin entre a y d que nos permita plantear un sistema se obtiene del cociente entre Z1 y Z2, que haremos en forma binmica, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, para eliminar la unidad imaginaria del denominador. </p> <p>( ) ( )( ) ( )</p> <p>( ) ( )( ) ( )( )( )</p> <p>id1</p> <p>ad2d1</p> <p>ad2id1</p> <p>i1ad2ida12di1di1</p> <p>di1ai2di1ai2</p> <p>ZZ</p> <p>22222</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>1</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+=</p> <p>+++=</p> <p>++</p> <p>=++</p> <p>= </p> <p> Como el cociente es un nmero real puro, la parte imaginaria debe ser nula. </p> <p>0ad20d1</p> <p>ad22</p> <p>==+</p> <p> Con las dos expresiones obtenidas se plantea un sistema que permite calcular los parmetros a y d. </p> <p>==</p> <p>=</p> <p>=+2d</p> <p>4a0ad2</p> <p>2da </p> <p> Los nmeros pedidos son </p> <p>Z1 = 2 + 4ai Z2 = 1 2i </p> <p> 6. Determine un nmero complejo cuyo cuadrado sea igual a su conjugado. </p> <p>Solucin. Se pide calcular un nmero complejo de la forma a + bi que cumpla: </p> <p>( ) biabia 2 =+ Desarrollando el cuadrado e igualando parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria se obtiene un sistema de ecuaciones que nos permite calcular a y b. </p> <p>biaibabi2a 222 =++ </p> <p>Ordenando el primer miembro: ( ) biaabi2ba 22 =+ </p> <p> Igualando parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria: </p> <p>==bab2:Im</p> <p>aba:Re 22 </p> <p> De la igualdad de las partes imaginarias simplificando b se obtiene: </p> <p>1a2 = 21a = </p> <p> Sustituyendo el valor de a en la 1 igualdad se calcula b </p> <p>21b</p> <p>21 2</p> <p>2</p> <p>=</p> <p>43b 2 = </p> <p>23b = </p> <p> Los posibles nmeros complejos que cumplen la relacin pedida son: </p> <p>i23</p> <p>21z += i</p> <p>23</p> <p>21z = </p> <p> 7. Expresar en forma polar los siguientes n complejos: </p> <p>a) 2 b) 5 c) i d) i 322 + e) i3 </p> <p>Solucin. a) z = 2. Numero complejo real puro positivo, con dibujarlo basta para obtener su forma polar. </p> <p>Z = 2 = 2 + 0i = 20 b) z = 5. Numero complejo real puro negativo. </p> <p>Z = 5 + 0i = 5180 </p> <p> c) z = i. Numero complejo imaginario puro. </p> <p>Z = 0 + i = 190 d) i 322Z += </p> <p>( ) ( )</p> <p>=</p> <p>==</p> <p>=</p> <p>==+= 120</p> <p>22</p> <p>4Z:1203arctg180</p> <p>232arctg180:Argumento</p> <p>416322r:Mdulo:Cuadrante 2Z </p> <p> e) i3Z = </p> <p>( ) ( )</p> <p>=</p> <p>==</p> <p>=</p> <p>==+= 330</p> <p>22</p> <p>2Z:330</p> <p>31arctg360</p> <p>31arctg360:Argumento</p> <p>2413r:Mdulo:Cuadrante 4Z </p> <p> 8. Expresar en forma binmica los siguientes complejos: </p> <p>a) 3180 b) 630 c) 2270 d) 245 </p> <p>Solucin. a) Z = 3180 = 3(cos 180 + i sen 180) = 3(1 + 0i) = 3 </p> <p>b) Z = 630 = 6(cos 30 + i sen 30) = i23</p> <p>233i</p> <p>21</p> <p>233 +=</p> <p>+ </p> <p> c) Z= 2270 = 2(cos 270 + i sen 270) = 2(0 + (1) i) = 2i </p> <p>d) ( ) i1i22</p> <p>22245 sen i45cos22Z 45 +=</p> <p>+=+== </p> <p> 9. El complejo de argumento 75 y mdulo 12 es el producto de dos complejos, uno de ellos </p> <p>tiene de argumento 45 y el otro de mdulo 3. Escribir ambos en forma binmica. Solucin. Se pide calcular dos nmeros complejos de la forma Z1 = r45 y Z2 = 3 que cumplan la siguiente igualdad: </p> <p>7545 123r = Multiplicando en forma polar el primer miembro de la igualdad: </p> <p>( ) 7545 123r = + Igualando por un lado los mdulos y por otro los argumentos se calcula r y : </p> <p>==</p> <p>=+=</p> <p>304r</p> <p>7545:Argumento123r:Mdulo</p> <p> Conocidos los complejos en forma polar, se pasan a binmica a travs de la forma trigonomtrica </p> <p>( ) i2222i22</p> <p>22445 sen i45cos44Z 451 +=</p> <p>+=+== </p> <p>( ) i23</p> <p>233i</p> <p>21</p> <p>23330 sen i30cos33Z 301 +=</p> <p>+=+== </p> <p> 10. Sean los complejos: </p> <p>Z = 330 ; W = 260 ; P = 2 + 2i ; i322Q = realizar las siguientes operaciones: </p> <p>a) ZW b) </p> <p>2WZ </p> <p>c) P d) Q5 </p> <p>e) 1</p> <p>2</p> <p>QPZ</p> <p>f) 33</p> <p>33</p> <p>PWZQ</p> <p>+ </p> <p>Solucin. Excepto la suma o resta, las dems operaciones es ms fcil hacerlas en forma polar. </p> <p>=</p> <p>===</p> <p>=+=+= 45</p> <p>22</p> <p>8P:451 arctg</p> <p>22arctg:Argumento</p> <p>822r:Mdulo:Cuadrante 1i22P </p> <p>( )</p> <p>=</p> <p>==</p> <p>=</p> <p>==+== 300</p> <p>22</p> <p>4Q:3003arctg360</p> <p>232arctg360:Argumento</p> <p>416322r:Mdulo:Cuadrante 4i322Q </p> <p> a. ZW = 330 260 = (3 2)30 + 60 = 690 = 6 (cos 90 + i sen 90) = 6i </p> <p>b. ( ) ====</p> <p>======</p> <p>= </p> <p>6003302300</p> <p>2330</p> <p>2300330</p> <p>3006060</p> <p>33030302 432323222W</p> <p>333ZWZ </p> <p> ( ) ( ) ( ) ==+===== ++ 30sen i30cos12210 sen i210cos1212121243 2102103602930600330 </p> <p>i636i21</p> <p>2312 =</p> <p>= </p> <p>c. ( ) ( ) ( ) i890 sen i90cos8888P 9024522452 =+==== </p> <p>d. ( ) ====== + 6060360415005300553005 10241024102444Q </p> <p>( ) i3512512i23</p> <p>21102460 sen i60cos1024 +=</p> <p>+=+= </p> <p>e. ( )</p> <p>( ) ( )=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>601</p> <p>31560</p> <p>3001</p> <p>31560</p> <p>13001</p> <p>452302</p> <p>1300</p> <p>452</p> <p>301</p> <p>2</p> <p>489</p> <p>489</p> <p>483</p> <p>4</p> <p>83Q</p> <p>PZ </p> <p>( ) ( ) ==+==+</p> <p>45 sen i45cos836315 sen i315cos836836</p> <p>489</p> <p>3156031560</p> <p>1 </p> <p>i7272i22</p> <p>22836 =</p> <p>= </p> <p>f. ( ) ( )( ) ( )</p> <p>=</p> <p>+=</p> <p>+=</p> <p>+=</p> <p>+</p> <p>135180</p> <p>90900</p> <p>3453</p> <p>3603</p> <p>3303</p> <p>33003</p> <p>345</p> <p>360</p> <p>330</p> <p>3300</p> <p>33</p> <p>33</p> <p>2168</p> <p>2764</p> <p>82</p> <p>34</p> <p>82</p> <p>34PWZQ</p> <p> ( ) ( )</p> <p>( ) ( )=</p> <p>++</p> <p>+++=</p> <p>+=</p> <p>+= +</p> <p>135 sen i135cos216180 sen i180cos890 sen i90cos27180 sen i180cos64</p> <p>2168</p> <p>2764</p> <p>2168</p> <p>2764</p> <p>135180</p> <p>90180</p> <p>135180</p> <p>901802360 </p> <p> ( ) ( )</p> <p>( )( )</p> <p>( ) ( )( ) ( ) =+</p> <p>++=</p> <p>+</p> <p>=+</p> <p>+=</p> <p>++</p> <p>+++=</p> <p>i168i168i168i2764</p> <p>i168i2764</p> <p>i16168i2764</p> <p>i22</p> <p>22216i018</p> <p>i1027i0164 </p> <p> ( ) ( ) i</p> <p>40101</p> <p>2059</p> <p>320i808944</p> <p>i168i 1664827i1627864</p> <p>222</p> <p>2=</p> <p>=</p> <p>++ </p> <p>11. Escribir Z1 =2 +2i y Z2 =6 6i en forma polar y calcular 2</p> <p>1ZZ</p> <p> en forma polar y en forma </p> <p>binmica. Solucin. El primer paso es pasar los nmeros complejos a forma polar. </p> <p>=</p> <p>===</p> <p>=+=+= 451</p> <p>22</p> <p>1 8Z:451 arctg22arctg:Argumento</p> <p>822r:Mdulo:Cuadrante 1i22Z </p> <p>( )</p> <p>=</p> <p>==</p> <p>=</p> <p>=+== 3152</p> <p>22</p> <p>2 72Z:3151 arctg36066arctg360:Argumento</p> <p>7266r:Mdulo:Cuadrante 4i66Z </p> <p>( ) i31i</p> <p>31090 sen i90cos</p> <p>31</p> <p>31</p> <p>91</p> <p>728</p> <p>728</p> <p>728</p> <p>ZZ</p> <p>909027031545315</p> <p>45</p> <p>2</p> <p>1 =+=+====</p> <p>==</p> <p> Nota El argumento de los nmeros complejos en forma polar es conveniente dejarlo en positivo. Para expresar en positivo un argumento negativo se le suma 360, si el argumento es menor de 360, primero se divide por 360 y al resto, en negativo, se le suma 360 </p> <p>12. Calcular (1+i)20. Expresar la solucin en forma binmica. Solucin. La forma ms sencilla de hacer la potenciacin de nmeros complejos es en polar. </p> <p>=</p> <p>===</p> <p>=+=+ 451</p> <p>22</p> <p>2Z:451 arctg</p> <p>11arctg:Argumento</p> <p>211r:Mdulo:Cuadrante 1i1 </p> <p>( ) ( ) ( ) ======+ + 180236018090010452020204520 10241024222i1 </p> <p> = 1024(cos 180 + i sen 180) = 1024 + 0 i = 1024 </p> <p>13. Calcular las siguientes races a) 3 i33+ </p> <p>b) 5 i31+ </p> <p>c) 6 64 d) 4 9 e) 3 i f) 4 i16 </p> <p>g) 5 i3 Solucin. Las races de nmeros complejos se hacen en forma polar, por lo que el primer paso ser pasar el nmero complejo a forma polar. </p> <p>a) ( )</p> <p>3135</p> <p>22</p> <p>3 18135</p> <p>33arctg180:Argumento</p> <p>1833r:Mdulo:Cuadrante2i33i33 =</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=+=+=+ </p> <p>==</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>=</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>2856</p> <p>323601353</p> <p>1656</p> <p>313601353</p> <p>456</p> <p>303601353</p> <p>3135</p> <p>1818</p> <p>1818</p> <p>1818</p> <p>18 </p> <p> Los afijos de las soluciones de una raz de un nmero complejo son los vrtices de un polgono regular de tantos lados como indique el ndice de la raz </p> <p>b) ( )</p> <p>5300</p> <p>22</p> <p>5 2300</p> <p>13arctg360:Argumento</p> <p>2431r:Mdulo:Cuadrante4i31i31 =</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>==+== </p> <p>==</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>=</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>3485</p> <p>543603005</p> <p>2765</p> <p>533603005</p> <p>2045</p> <p>523603005</p> <p>1325</p> <p>513603005</p> <p>605</p> <p>503603005</p> <p>5300</p> <p>22</p> <p>22</p> <p>22</p> <p>22</p> <p>22</p> <p>2 </p> <p> c) 6 06 6464 = </p> <p>==</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>=</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>3006</p> <p>536006</p> <p>2406</p> <p>436006</p> <p>1806</p> <p>336006</p> <p>1206</p> <p>236006</p> <p>606</p> <p>136006</p> <p>06</p> <p>036006</p> <p>60</p> <p>264</p> <p>264</p> <p>264</p> <p>264</p> <p>264</p> <p>264</p> <p>64 </p> <p> d) 4 1804 99 = </p> <p>==</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>=</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>3154</p> <p>03601804</p> <p>2254</p> <p>03601804</p> <p>1354</p> <p>03601804</p> <p>454</p> <p>03601804</p> <p>4180</p> <p>39</p> <p>39</p> <p>39</p> <p>39</p> <p>9 </p> <p> e) 3 90</p> <p>3 1i = </p> <p>==</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>=</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>2703</p> <p>2360903</p> <p>1503</p> <p>1360903</p> <p>303</p> <p>0360903</p> <p>390</p> <p>11</p> <p>11</p> <p>11</p> <p>1 </p> <p> f) 4 2704 16i16 = </p> <p>==</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>==</p> <p>=</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>5'3374</p> <p>03602704</p> <p>5'2474</p> <p>03602704</p> <p>5'1574</p> <p>03602704</p> <p>5'674</p> <p>03602704</p> <p>4270</p> <p>216</p> <p>216</p> <p>216</p> <p>216</p> <p>16 </p> <p>g) ( ) ( )</p> <p>5210</p> <p>22</p> <p>5 2210</p> <p>31arctg180:Argumento</p> <p>2413r:Mdulo:Cuadrante3i3i3 =</p> <p>=</p> <p>+=</p> <p>==+== </p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>3305</p> <p>543602105</p> <p>2585</p> <p>533602105</p> <p>1865</p> <p>523602105</p> <p>1145</p> <p>513602105</p> <p>425</p> <p>503602105</p> <p>5210</p> <p>22</p> <p>22</p> <p>22</p> <p>22</p> <p>22</p> <p>2 </p> <p>14. Hallar las races cuadradas de: a) 4 b) 4 c) 4i d) 4i </p> <p>Solucin. </p> <p>a) </p> <p>+=+=</p> <p>==i02</p> <p>i0224 </p> <p>b) ( )</p> <p>=+=</p> <p>====i20i20</p> <p>i214144 </p> <p>c) ( )</p> <p>( )</p> <p>=+===</p> <p>+=+=====</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>i22225 sen i225cos224</p> <p>i2245 sen i45cos2244i4</p> <p>2252</p> <p>136090</p> <p>452</p> <p>036090</p> <p>90 </p> <p>d) ( )( )</p> <p>=+===</p> <p>+=+=====</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>i22315 sen i315cos224</p> <p>i22135 sen i135cos2244i4</p> <p>3152</p> <p>1360270</p> <p>1352</p> <p>0360270</p> <p>270 </p> <p> 15. Para escribir un nmero complejo qu argumento debes poner en los siguientes casos? </p> <p>a) n real positivo b) n real negativo c) n imaginario positivo d) n imaginario negativo </p> <p>Solucin. a) z = r 0. El afijo est situado sobre el semieje real positivo. b) z = r 180. El afijo est situado sobre el semieje real negativo. c) z = r 90. El afijo est situado sobre el semieje imaginario positivo. d) z = r 270. El afijo est situado sobre el semieje imaginario negativo. </p> <p> 16. Dado un complejo en forma polar Qu transformacin sufre si se multiplica por i? </p> <p>Solucin. Teniendo en cuenta que la forma polar de nmero i es 190, al multiplicar un nmero complejo de la forma r por I, el argumento se desplaza 90. </p> <p>( ) 909090 r1r1r ++ == </p> <p>17. Calcula la raz cbica del complejo 2</p> <p>1ZZ</p> <p>siendo Z1=16210 y i3Z2 = </p> <p>Solucin. El cociente y la radicacin de nmeros complejos se hace en forma polar. </p> <p>( ) ( )</p> <p>==</p> <p>+=+=</p> <p>=+= 2102</p> <p>2</p> <p>22</p> <p>2 2z:210</p> <p>31arctg180</p> <p>ReImarctg180 Cuadrante. 3z:Argumento</p> <p>213:Mdulo:i3Z </p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>====</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>+</p> <p>2403</p> <p>236003</p> <p>1203</p> <p>136003</p> <p>03</p> <p>036003</p> <p>303</p> <p>2102103</p> <p>210</p> <p>21032</p> <p>1</p> <p>28</p> <p>28</p> <p>28</p> <p>82</p> <p>162</p> <p>16ZZ</p> <p>18. Calcular en forma polar: ( ) ( )76 i1i 31 ++ Solucin. Lo primero es expresar los nmeros complejos en polar, ya que las operaciones (producto y potencia) en esta forma son ms sencillas. </p> <p>( )</p> <p>=</p> <p>===</p> <p>==+=+ 60</p> <p>22</p> <p>2603 arctg</p> <p>13arctg:Argumento</p> <p>2431r:Mdulo:Cuadrante 1i31 </p> <p>( )135</p> <p>22</p> <p>2135</p> <p>11arctg180:Argumento</p> <p>211r:Mdulo:Cuadrante2i1 =</p> <p>=</p> <p>=</p> <p>=+=+ </p> <p> El orden de operacin es primero las potencias y segundo el producto. </p> <p>( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ====++ 9457360135776066713566076 2642222i1i 31 </p> <p>( ) 22522502250225360230 2512286428642264 === ++ </p> <p> 19. Calcular y expresar en forma binmica ( )2i1</p> <p>i322</p> <p>+ </p> <p>Solucin. Lo primero es expresar los nmeros complejos en polar, ya que las operaciones (cociente y potencia) en esta forma son ms sencillas. </p> <p>( ) ( )</p> <p>=</p> <p>==</p> <p>=</p> <p>==+=+ 120</p> <p>22</p> <p>41203 arctg</p> <p>232arctg180:Argumento</

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