A. Fomin - PARIDAD (Tomado de Mathematical Circles) - 10p

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    21-Dec-2015

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  • Figure 1.1:

    Part I

    Paridad.1. (I) Alternacin.(1) Problema.

    Sobre un plano estn ubicados 11 piones unidos como se muestra en la fig.l.?'Pueden todas las ruedas girar al mismo tiempo?

    Solucin.Supongamos que el primer pin gira en el sentido de las manecillas del reloj.

    Entonces el segundo pin deber girar en sentido contrario de las manecillas delreloj. El tercer pin de nuevo girar en el sentido de las manecillas del reloj, elcuarto girar en sentido contrario y as sucesivamente. Es claro, que los pionesimpares debern girar en el sentido de las manecillas del reloj, y los piones paresen sentido contrario. Pero entonces el primer y el undcimo pin giran al mismotiempo en el sentido de las manecillas del reloj. Contradiccin.

    Lo principal en la solucin de este problema es que los piones que giran en elsentido de las manecillas del reloj y en contra, se alternan.

    La bsqueda de los objetos alternados es la principal consideracin para lasolucin de los problemas siguientes.

  • (2) Problema.Asignemos coordenadas a las casillas del tablero de ajedrez como sigue Un

    caballo sali de la casilla al y despus de varias jugadas regres a ella. Demuestre,que el caballo hizo un nmero par de jugadas.

    (3) Problema.?'Puede el caballo recorrer de la casilla o hasta la casilla hS, pasando por

    cada una de los dems casillas exactamente una vez?(4) Problema.7'Puede una lnea recta, que no contenga ninguno de los vrtices de una lnea

    quebrada y cerrada compuesta por 11 segmentos, intersectar todos sus segmentos?(5) Problema.Sobre un campo de hockey hay tres discos A, B y C. El jugador de hockey

    golpea a uno de estos discos de tal forma, que el disco pasa volando entre los otrosdos. Esta forma de golpear los discos se repite 25 veces. ?'Puede suceder que losdiscos resulten en las posiciones iniciales?

    (6) Problema.Mara y sus amigos estn ubicados en forma de crculo. Resulta que los dos

    vecinos de cada persona son del mismo sexo. Entre los amigos de Mara cinco sonnios. ?'Y cuntas nias hay?

    Comentario.Indicamos una consideracin complementaria, surgida en la solucin del prob-

    lema anterior: en la cadena cerrada alternada hay la misma cantidad de objetostanto de un tipo (nios) como de otro tipo (nias).

    2. (II) Particin en parejas.(7) Problema.

    ?'Se puede dibujar una lnea, quebrada y cerrada de 9 segmentos, cada uno decuales se intersecta exactamente con uno de los segmentos restantes?

    Solucin.Si esto fuera posible, entonces todos los segmentos de la lnea quebrada se

    partiran en parejas intersectadas. Pero entonces el nmero de segmentos tieneque ser par.

    Comentario.Notemos que la principal idea del razonamiento es la siguiente: si los objetos

    se pueden partir en parejas, entonces su nmero debe ser par.A continuacin varios problemas similares.

  • (8) Problema.?'Se puede llenar un tablero de dimensin 5 x 5 con fichas de dimensin 1x2 .(9) Problema.Dado un polgono de 101 lados con un eje de simetra. Demuestre que el eje

    de simetra pasa por uno de sus vrtices. ?'Qu se puede decir en el caso de unpolgono de 10 lados?

    (10) Problema.Todas las fichas de un domin estn ubicadas en forma de cadena. En un

    extremo obtuvimos 5 puntos. ?'Cuntos puntos hay en el otro extremo?(11) Problema.De un juego de domin botaron todas las fichas vacias ?'Se puede colocar las

    fichas restantes en serie?(12) Problema.?'Se puede dividir un polgono convexo de 13 lados en paralelogramos?(13) Problema.Sobre un tablero cuadriculado de dimensin 25 x 25 estn ubicadas 25 fichas,

    adems su posicin es simtrica con respecto a la diagonal principal. Demuestreque una de las fichas est ubicada sobre la diagonal.

    Observaciones metdicas.En la solucin del ltimo problema frecuentemente surgen dificultades lgicas.

    Esto es debido a que en la diagonal puede haber no necesariamente una ficha,sino un nmero impar cualquiera de fichas. Nuestra afirmacin sobre la particinen parejas para este problema puede ser formulada as: si se han formado variasparejas de objetos de un nmero impar, entonces al menos un objeto est sinpareja.

    (14) Problema.Admitimos ahora que la posicin de las fichas en el problema (13) es simtrica

    con respecto a dos diagonales. Demuestre que una de las fichas est ubicada enel centro del tablero.

    (15) Problema.En cada casilla de una tabla cuadrada de dimensin 25 x 25 est escrito uno de

    los nmeros siguientes 1, 2,3,..., 25. Adems, primero en dos casillas cualesquierasimtricas, con respecto a la diagonal principal, estn escritos nmeros iguales,segundo en ninguna fila y en ninguna columna no hay dos nmeros iguales. De-muestre que todos los nmeros en la diagonal principal son diferentes dos a dos.

  • 3. (III) Paridad e imparidad.(16) Problema.Es posible cambiar un billete de 25 rublos en billetes de 1 rublo,3 rublos y 5 rublos para recibir 10 billetes en total? ( en Rusia haba billetes de1, de 3, de 5, de 25 rublos).

    La solucin de este problema est basada en una simple observacin: la sumade un nmero par de los nmeros impares es par. La generalizacin de estaafirmacin se puede representar as: la paridad de la suma de varios nmerosdepende de la paridad del nmero de sumandos impares: si el nmero de sumandosimpares es (im)par, entonces tambin la suma es (im)par.

    (17) Problema.Pedro compr un cuaderno cuyo volumen es de 96 hojas, las enumer en orden

    de 1 hasta 192. Ivn arranc de este cuaderno 25 hojas y sum todos los 50nmeros que haban escritos en las hojas. Pudo Ivn obtener el nmero 1990?

    (18) Problema.El producto de 22 nmeros enteros es igual a 1. Demuestre que su suma no es

    igual a cero.(19) Problema.?'Se puede construir un cuadrado mgico con los 36 primeros nmeros primos?(20) Problema*.En fila estn escritos los nmeros de 1 hasta 10. ?'Se puede entre ellos ubicar

    los signos "+" y "-" de tal forma, que el valor de la expresin obtenida sea iguala cero?

    Observacin: tenga en cuenta que los nmeros negativos tambin pueden serpares e impares.

    (21) Problema*.Un grillo salta en lnea recta, la primera vez que salt lo hizo a una distancia de

    Icm en alguna direccin, la segunda vez salt 2cm y as sucesivamente. Demuestreque despus de 1985 saltos el grillo no puede resultar en el lugar inicial.

    (22) Problema.En una tabla estn escritos los nmeros 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Es permitido

    borrar de la tabla dos nmeros cualesquiera y en vez de ellos escribir el valorabsoluto de su diferencia. Al fin y al cabo en la tabla quedar un solo nmero.Puede ese nmero ser igual a cero?

  • 4. (IV) Problemas diferentes.En este prrafo estn reunidos los problemas ms difciles, cuyas soluciones,adems de paridad, tienen como regla algunas consideraciones complementarias.

    (23) Problema.Se puede cubrir un tablero de ajedrez con fichas de dimensin 1 x 2 de tal

    forma, que slo queden las casillas o y h8 libres?- (24) Problema.

    A un nmero de 17 dgitos le aadieron un nmero, escrito con las mismascifras pero en orden contsirio. Demuestre que al menos una cifra de la sumaobtenida es par.

    (25) Problema.En el cuerpo de polica hay 100 personas y cada tarde tres de ellos hacen la

    guardia. ?'Puede resultar que en algn momento cada policia con otro hizo laguardia una vez exactamente?

    (26) Problema.Sobre una recta hay 45 puntos que estn fuera del segmento AB. Demuestre

    que la suma de las distancias desde esos puntos hasta el punto A no es igual a lasuma de las distancias desde esos puntos hasta el punto B.

    (27) Problema.Sobre un crculo hay 9 nmeros: 4 unos y 5 ceros. Cada segundo con los

    nmeros se hace la siguiente operacin: entre los nmeros vecinos se coloca uncero, si estos son diferentes, y un uno si ellos son iguales. Despus de esto losnmeros viejos se borran. ?'Puede suceder que en algn momento todos losnmeros sean iguales?

    (28) Problema.25 caballeros y 25 doncellas estn sentados alrededor de una mesa redonda.

    Demuestre que los vecinos de al menos una persona son dos caballeros.(29) Problema.Un caracol se arrastra sobre un plano con una velocidad constante, cada 15

    minutos voltea en un ngulo recto. Demuestre que el caracol puede regresar alpunto inicial slo despus de un nmero entero de horas.

    (30) Problema.Tres grillos juegan sobre una recta a saltacabrillas. Toda vez uno de ellos salta

    por encima del otro (pero no por encima de los dos simultneamente!). ?'Puedenellos resultar en las posiciones iniciales despus de 1991 saltos?

    (31) Problema.

  • Hay 101 monedas, de las cuales 50 son falsas. Cada moneda falsa se diferenciade la verdadera moneda en un gramo exactamente, puede ser ms, puede sermenos . Pedrito tom una moneda y quiere determinar si es falsa, utiliza paraesto una balanza con flecha, la cual muestra la diferencia de los pesos de losplatillos. Podr Pedrito hacerlo pesando las monedas solo una vez?

    (32) Problema.Se pueden escribir en serie las cifras desde 1 hasta 9 de tal manera que entre

    el uno y el dos haya un nmero impar de cifras y tambin entre el dos y el tres,..., entre el ocho y el nueve?

    (33) Problema. (A.Fomn, Olimpiada Sovitica, 1984)?'Para qu valores de n el sistema de ecuaciones

    -xn = n

    tiene solucin en nmeros enteros?

    5. Paridad(2) Solucin.

    Por cuanto en cada jugada cambia el color de la casilla, en la cual est elcaballo, entonces tiene lugar la permutacin de colores: blanco y negro.

    (3) Solucin.La respuesta es la siguiente: no, no puede. Como el caballo debe hacer 63

    jugadas, entonces en la ltima jugada (impar) el caballo estar en una casilla deotra paridad, que al; pero hS tiene el mismo color.

    (4) Solucin.La respuesta es la siguiente: no, no puede. Si recorremos el contorno de

    la lnea quebrada, pasando por cada vrtice al siguiente, entonces cada vez queintersectemos a la recta, resultaremos en otro semiplano (la lnea recta divide elplano en dos mitades). De esta manera, tiene lugar la permutacin, y significaque la cantidad de vrtices debe ser par.

    (5) Solucin.La respuesta es la siguiente: no, no pueden. Vamos a llamar correcta a la

    posicin de los discos, si recorriendo los vrtices del tringulo ABC en ordendesde A via B a C obtenemos un movimiento en el sentido de las manecillas delreloj, e incorrecto en caso contrario. Es fcil ver, que por cada golpe el tipo deposicin cambia.

    (6) Solucin.

  • La respuesta es la siguiente: cinco. Si, entre los amigos de Mara hay algunapersona con vecinos del mismo sexo, entonces es claro que todas las personas queestn en el crculo son del mismo sexo. Significa que las nias y los nios se turnany por lo tanto hay igual cantidad de nias y de nios.

    (8) Solucin.No se puede, por cuanto la cantidad total de casillas (25) no es divisible por

    dos, y cada ficha cubre dos casillas.(9) Solucin.Si el eje de simtria no pasa por el vrtice, entonces los 101 puntos dados

    debern dividirse en parejas simtricas, lo que es imposible.(10) Solucin.Por cuanto dentro de la cadena de domin todos los nmeros se encuentran

    por parejas, y el nmero total de cincos es 8, entonces en el otro extremo de lacadena debe haber un cinco tambin.

    (11) Solucin.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. Demostramos esto desde lo

    contrario. Si tal cadena existe, entonces por lo menos uno de los nmeros 1,2,3 nose encuentra en los extremos. Sea ese nmero 3. Pero como dentro de la cadenael nmero de los treses es par y el nmero total de los treses ahora es 7 (despusde botar las fichas con ceros). Entonces obtemos una contradiccin.

    (12) Solucin.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. Si el polgono convexo se puede

    cortar en paralelogramos, entonces sus lados se dividen en parejas paralelas nece-sariamente.

    (13) Solucin.Por cuanto en caso contrario las fichas se dividen en parejas simtricas, en-

    tonces sobre las diagonales necesariamente habr un nmero impar de fichas.(14) Solucin.Supongamos que esto no es as. Unimos con un hilo las fichas simtricas con

    respecto a una de las diagonales. Despus de esto, ubicamos todas las fichas enun "collar" osea un grupo de fichas unidas con hilos. Entonces en cada uno de los"collares" hay o dos, o cuatro fichas. Significa que el nmero total de fichas debeser par. Contradiccin.

    (15) Solucin.Puesto que hay 25 unos en el tablero, entonces en la diagonal principal habr

    por lo menos un uno (ver la solucin 13). Anlogamente hay en la diagonalprincipal un dos, un tres y as sucesivamente.

  • (17) Solucin.La respuesta es la siguiente: no, no pudo. En cada hoja la suma de los nmeros

    de las pginas es impar, pero la suma de 25 nmeros impares es impar tambin.(18) Solucin.Entre estos nmeros hay un nmero par de menos unos. Para que la suma sea

    igual a cero, el nmero de menos unos debe ser 11 exactamente.(19) Solucin.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. Entre estos nmeros slo un

    nmero (2) es par y los otros son impares. Por eso la suma de los nmeros esimpar en esa fila, donde est el dos, y es par en las otras.

    (20) Solucin.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. La suma de los nmeros desde

    uno hasta diez es igual a cincuenta y cinco (55) y al cambiar algn signo, cambi-amos toda la expresin por un nmero par.

    (21) Solucin.Se demuestra de la misma manera como en el problema (20), por cuanto la

    suma 1 + 2 + ... + 1985 es impar.(22) Solucin.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. Verifique(n) por favor que para

    las operaciones dadas, la paridad de la suma de todos los nmeros escritos en eltablero no cambia.

    (23) Solucin.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. Cada ficha de domin cubre

    dos casillas una negra y una blanca, pero al botar las casillas al y hS. las casillasnegras quedan en dos menos que las blancas.

    (24) Solucin.Consideremos dos casos: La suma de la primera y la ltima cifra es menor que

    diez, y la suma de la primera y la ltima cifra no es menor que diez. Si admitimosque todas las cifras de la suma es impar, entonces en el primer caso el uno no selleva a la siguiente columna para ninguna columna, esto nos conduce a la evidentecontradiccin. Y en el segundo caso la presencia de la translacin del uno a lasiguiente columna en el movimiento de izquierda a derecha derecha a izquierdase alternan con la ausencia de la translacin. En resultado obtenemos que la cifrade la suma en el noveno orden debe ser par necesariamente.

    (25) Solucin.La respuesta es la siguiente: no, no se puede. Por cuanto en cada guardia,

    en la cual participa el policia dado, este hace la guardia con otros dos. entonces

  • podemos partir en parejas a todos los dems policias. Pero el nmero 99 es impar.(26) Solucin.Para cualquier punto X que est fuera de AB, tenemos AX BX = AB. Si

    suponemos que las sumas de las longuitudes son iguales, entonces obtenemos quela expresin AB AB ... AB en la cual participan 45 sumandos, es igual acero. Pero esto es imposible.

    (27) Solucin.Es claro, que la combinacin de nueve unos no se puede obtener antes de la

    combinacin de nueve ceros. Si obtuvimos nueve ceros, entonces en el anteriorpaso los ceros y los unos debieron alternarse, lo que es imposible, por cuanto sunmero total es impar.

    (28) Solucin.Supongamos que esto es falso. Enumeramos a todos los que estn alrededor

    de la mesa en orden, empezando por cualquier lugar. Si en la k esima silla hayun caballero, entonces es claro que en la (k 2) esima y en l...

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