7. variables aleatorias discretas. distribución binomial

  • Published on
    10-Jul-2015

  • View
    2.600

  • Download
    5

Transcript

Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.Funcin de probabilidade dunha variable aleatoria discreta.Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta.Media, varianza e desviacin tpica dunha variable aleatoria discreta.Distribucin binomial ou de BernouilliFuncin de probabilidade dunha distribucin binomial.Funcin de distribucin dunha distribucin binomial. Media ou esperanza matemtica, varianza e desviacin tpica dunha distribucin binomial.1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.Variable aleatoria: Chmase variable aleatoria a toda lei (funcin) que asocia a cada elemento do espazo mostral E dun experimento aleatorio un nmero real.1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.Exemplo 1:Consideramos o experimento aleatorio lanzar 3 moedas, e a cada posible resultado de dito experimento asignmoslle o nmero real que indica o nmero de caras que obtivemos.Esta funcin que denotamos por X (X=n de caras obtidas) unha variable aleatoria e ten por percorrido {0, 1, 2, 3}2 moeda 3 moeda1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.Exemplo 2: Consideramos o experimento aleatorio lanzar dous dados de distinta cor, e a cada un dos puntos mostrais asocimoslle un nmero real que a suma dos puntos obtidos entre os dous dados. Esta funcin X=puntos obtidos entre os dous dados unha variable aleatoria e ten por percorrido {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.2 dado1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.Exemplo 3: Consideremos o experimento aleatorio elixir ao chou un alumno do noso instituto; os puntos mostrais son os 700 alumnos do instituto. A cada posible resultado asignmoslle un nmero real que ser a estatura de dito alumno. X=estatura do alumno unha variable aleatoria; o percorrido desta variable aleatoria mis complicado de establecer, anda que podemos supor que se trata dun intervalo, por exemplo [1.40, 1.95] m, a variable podera tomar calquera valor entre os infinitos do intervalo.1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.Exemplo 4: Consideramos o experimento aleatorio elixir ao chou un paquete de caf dunha certa marca etiquetado como 1Kg . Os puntos mostrais do experimento son todos os paquetes de caf de dita marca e etiquetados con ese peso. Asignmoslle a cada resultado do experimento un nmero real que ser o peso real do paquete. X=peso real do paquete, unha variable aleatoria; o seu percorrido podemos consideralo como o intervalo [0.800, 1.200]Kg, e pode tomar calquera valor dos infinitos de dito intervalo.1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.Exemplos:No experimento aleatorio lanzar 3 moedas a variable aleatoria X=n de caras obtidas unha variable aleatoria discreta, pois o seu percorrido {0,1,2,3} finito.No experimento aleatorio lanzar dous dados de distinta cor, a variable aleatoria X=puntos obtidos entre os dous dados unha variable aleatoria discreta, pois o seu percorrido {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} finito.1. Variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias.No experimento aleatorio elixir ao chou un alumno do noso instituto; X=estatura do alumno unha variable aleatoria continua pois o seu percorrido un intervalo [1.40, 1.95] mNo experimento aleatorio elixir ao chou un paquete de caf dunha certa marca etiquetado como 1Kg; X=peso real do paquete, unha variable aleatoria continua pois o seu percorrido podemos consideralo como o intervalo [0.800, 1.200]Kg2. Funcin de probabilidade dunha variable aleatoria discreta. Funcin de probabilidade dunha variable aleatoria discreta Chmase funcin de probabilidade dunha variable aleatoria discreta X aplicacin que asocia a cada un dos valores que pode tomar dita variable, e que denotamos como xi, a sa probabilidade. Dita funcin pdese expresar mediante unha tboa, e soe representarse mediante un diagrama de barras.2. Funcin de probabilidade dunha variable aleatoria discreta.Exemplo 1 No experimento aleatorio lanzar 3 moedas consideramos a variable aleatoria discreta X=n de caras obtidas con percorrido {0,1,2,3}. Calculemos a sa funcin de probabilidade:2. Funcin de probabilidade dunha variable aleatoria discreta.2. Funcin de probabilidade dunha variable aleatoria discreta.2. Funcin de probabilidade dunha variable aleatoria discreta.Exemplo 2: No experimento aleatorio lanzar dous dados de distinta cor, a variable aleatoria X=puntos obtidos entre os dous dados unha variable aleatoria discreta e o seu percorrido {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Calculemos a sa funcin de probabilidade:2. Funcin de probabilidade dunha variable aleatoria discreta.2. Funcin de probabilidade dunha variable aleatoria discreta.3. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta X. A funcin de distribucin, F, dunha variable aleatoria discreta X aquela que a cada valor x, n real, lle asigna a probabilidade de que a variable aleatoria X tome valores menores ou iguais que x. F(x)=p(Xx) Como consecuencia desta definicin: 0F(xi)=p(Xxi)=p(X=x1)+p(X=x2)+...+p(X=xi)1 3. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta.Exemplo 1: Calculemos a funcin de distribucin F para a variable aleatoria X=n de caras no experimento aleatorio lanzar 3 moedas. Lembremos a sa funcin de probabilidade:3. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta. A sa funcin de distribucin ten como dominio todo R e, unha especie de probabilidade acumulada:3. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta.E a sa grfica escalonada:3. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta.Exemplo 2: Calculemos a funcin de distribucin F para a variable aleatoria X=suma dos puntos das caras superiores no experimento aleatorio lanzar 2 dados. Lembremos a sa funcin de probabilidade:3. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta. A sa funcin de distribucin ten como dominio todo R e, unha especie de probabilidade acumulada:3. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta.E a sa grfica escalonada:3. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta.Propiedades da funcin de distribucin:F(x) constante en cada intervalo [xi,xi-1) e a sa grfica , polo tanto, escalonada.F(x) discontinua en xiF(x) crecente pois unha suma acumulativa de probabilidades e estas son sempre positivas.p(a4. Media, varianza e desviacin tpica dunha variable aleatoria discreta. Media, esperanza e desviacin tpica dunha variable aleatoria discreta. Retomemos agora o noso primeiro exemplo: Experimento aleatorio=lanzar 3 moedas Variable aleatoria discreta X=n de caras obtidas E realicemos de xeito emprico 40 veces, por exemplo, dito experimento anotando de cada vez o n de caras obtidas. Supoamos que o n de caras obtidas en cada un dos 40 experimentos : 2, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1.4. Media, varianza e desviacin tpica dunha variable aleatoria discreta. X entn unha variable estatstica discreta, e os resultados obtidos pdense colocar nunha tboa de frecuencias. Tamn podemos calcular a sa media aritmtica e a sa varianza. hora de calcular a media aritmtica, empregaremos a frmula: Do mesmo xeito, hora de calcular a varianza:4. Media, varianza e desviacin tpica dunha variable aleatoria discreta. Obtemos:4. Media, varianza e desviacin tpica dunha variable aleatoria discreta. Pero se lembrades a lei dos grandes nmeros, cando un experimento aleatorio se repite un n de veces moi elevado, as frecuencias relativas dun suceso estabilzanse ao redor dun nmero ao que chambamos probabilidade. Traballemos coas probabilidades e pensemos nos resultados esperados vista de ditas probabilidades. 4. Media, varianza e desviacin tpica dunha variable aleatoria discreta. Se pensamos teoricamente no que acontecera ao realizar o experimento aleatorio lanzar 3 moedas 40 veces, de acordo coas probabilidades obteramos:4. Media, varianza e desviacin tpica dunha variable aleatoria discreta. Calculando a media aritmtica e a varianza desta situacin absolutamente terica obtemos: A media aritmtica desta situacin terica chmase media ou esperanza da variable aleatoria X e represntase por , e a varianza desta situacin terica chmase varianza da variable aleatoria X e represntase por 2.4. Media, varianza e desviacin tpica dunha variable aleatoria discreta.Media ou esperanza matemtica dunha variable aleatoria discreta X. Chmase media ou esperanza matemtica dunha variable aleatoria discreta X, e represntase por , expresin : Varianza dunha variable aleatoria discreta Chmase varianza dunha variable aleatoria discreta X e represntase por 2, expresin: Ou ben :Desviacin tpica dunha variable aleatoria discreta a raz cadrada da sa varianza 4. Media, varianza e desviacin tpica dunha variable aleatoria discreta.Exemplo 2: Calculemos agora a media ou esperanza matemtica e a varianza 2 da variable aleatoria X=suma dos puntos asociada ao experimento aleatorio lanzar dous dados4. Media, varianza e desviacin tpica dunha variable aleatoria discreta.Obtemos5. Distribucin binomial ou de Bernouilli Distribucin binomial ou de Bernouilli (Ars coniectandi 1713) Unha variable aleatoria discreta X dise que segue unha distribucin binomial se se verifica:O experimento aleatorio un experimento composto de varios simples iguais ou probas.Estes experimentos simples ou probas teen s dous posibles resultados, A e B.5. Distribucin binomial ou de BernouilliO resultado obtido en cada un dos experimentos simples independente dos obtidos nos exp. simples anteriores.A probabilidade do resultado A, e polo tanto a de B, non varia ao longo do experimento.Se chamamos p probabilidade de que se verifique o resultado A e q de que se verifique B, p+q=15. Distribucin binomial ou de Bernouilli5. Distribucin binomial ou de Bernouilli5. Distribucin binomial ou de Bernouilli Unha variable aleatoria binomial X queda perfectamente determinada coecendo o n de probas (n) e a probabilidade (p) de que se verifique o suceso que contabiliza e, polo tanto, exprsase B(n,p), n e p reciben o nome de parmetros de distribucin.5. Distribucin binomial ou de BernouilliExemplo 1: A variable aleatoria X=n de caras obtidas asociada ao experimento aleatorio lanzar 3 moedas, segue unha distribucin binomial.O experimento aleatorio est composto por tres experimentos simples iguais lanzar unha moeda.Cada experimento simple lanzar unha moeda ten dous posibles resultados A=sar cara e B=sar cruz.5. Distribucin binomial ou de BernouilliO resultado de cada lanzamento dunha moeda independente do acontecido nos lanzamentos anteriores. As probabilidades dos sucesos A e B non varan nos tres lanzamentos. p=p(A)=p(sar cara)=1/2 q=p(B)=p(sar cruz)=1/2Vemos tamn que p+q=15. Distribucin binomial ou de Bernouilli O esquema do experimento, como podemos obter nesta aplicacin obtida na pxina de recursos educativos do ITE, sera:6. Funcin de probabilidade dunha distribucin binomial. Funcin de probabilidade dunha variable aleatoria discreta de tipo binomial. Sexa X unha variable aleatoria discreta de tipo binomial, dicir:Est asociada a un experimento aleatorio formado por n probas iguais.Cada proba ten dous posibles resultados A ou B, con probabilidades p e q que se manteen constantes en tdalas probas, pois o acontecido nunha proba independente do acontecido nas anteriores.X contabiliza o nmero de veces que acontece A (ou B)6. Funcin de probabilidade dunha distribucin binomial. O espazo mostral do experimento aleatorio est formado por 2.2.2...2=2n elementos. Cada un destes elementos do tipo ABBAAB...AB onde A reptese k veces e B n-k veces. Tomemos un destes elementos onde as A estean agrupadas, e polo tanto as B tamn AAA...ABBB...B, repetndose A k veces e B n-k veces. Como os sucesos son independentes: p(AA...ABB...B)=p(A).p(A)...p(A).p(B).p(B)...p(B)= =p.p...p.q.q...q=pk.qn-k6. Funcin de probabilidade dunha distribucin binomial. Anda que ocupen distintos postos, todos aqueles elementos do espazo mostral formados por k veces A e n-k veces B teen a mesma probabilidade pk.qn-k. E cantos elementos temos nesta situacin? Dito nmero son as permutacins con repeticin de n elementos onde A reptese k veces e B reptese k-n veces: PRnk,n-k . Como 6. Funcin de probabilidade dunha distribucin binomial. Conclumos que a funcin de probabilidade da variable aleatoria binomial X vn dada pola frmula: p(X=k)= =p(o n de veces que aconteza A sexa k)= 6. Funcin de probabilidade dunha distribucin binomial.Nota: O termo obtido para a funcin de probabilidade deste tipo de variables aleatorias lembra o termo xeral do desenvolvemento do binomio de Newton. De a o nome de distribucin binomial.5. Funcin de probabilidade dunha distribucin binomial Experimento de Galton. Unha idea de distribucin binomial pode obterse a partir do experimento realizado por Sir Francis Galton (1822-1911), quen construu un enxeoso trebello (chamado mquina Quincunx ou quincunce):Consista nun taboleiro inclinado cunha serie de cravos distribudos regularmente. Sobre dito taboleiro deslizbanse un grande nmero de blas procedentes dun depsito superior que ao chocar cos cravos afastbanse en maior ou menor medida da lia central de cada dependendo do azar.Unha bla tia a mesma probabilidade de chocar con cada un dos cravos e seguir un camio (1/2)As blas recollanse en compartimentos estreitos distribudos no borde inferior; as alturas alcanzadas polas blas dan unha idea da funcin de probabilidade dunha binomial B(n,1/2). Vexamos unha aplicacin onde se reproduce dito experimento.6. Funcin de probabilidade dunha distribucin binomial.Exemplo: Nun cuestionario de 8 preguntas s hai que contestar SI ou NON. Acha a probabilidade de, sen coecer a resposta, acertar 5 preguntas.Acha a probabilidade de acertar polo menos 6. 6. Funcin de probabilidade dunha distribucin binomial.6. Funcin de probabilidade dunha distribucin binomial. Ao non coecer ningunha resposta, ante unha das cuestins temos a mesma probabilidade de acertala (A) que de errala (E). Esta situacin reptese ao longo das 8 preguntas do cuestionario. 6. Funcin de probabilidade dunha distribucin binomial. O experimento aleatorio consiste en responder ao chou as 8 cuestins, consta de 8 probas onde as probabilidades permanecen estables; ademais o acontecido nunha das preguntas non infle nas posteriores. A variable aleatoria discreta asociada a este experimento X=n de respostas acertadas unha variable aleatoria binomial B(8,)6. Funcin de probabilidade dunha distribucin binomial.Acha a probabilidade de, sen coecer a resposta, acertar 5 preguntas. p(acertar 5 preguntas)=p(X=5)= =6. Funcin de probabilidade dunha distribucin binomial.Acha a probabilidade de acertar polo menos 6. p(acertar polo menos 6 preguntas)= =p(acertar 6,7 ou 8)= =p(X=6)+p(X=7)+p(x=8)=6. Funcin de probabilidade dunha distribucin binomial.Nota: Cando nunha binomial o parmetro n aumenta, os clculos empezan a ser complicados polo que se recorre s tboas da binomial para poder traballar6. Funcin de probabilidadedunha distribucin binomial.TBOA DISTRIBUCIN BINOMIAL Exemplo:Nunha binomial B(9,0.25), calcula p(X=6).Bscase n=9,k=6 en vertical e p=0.25 en horizontal.P(X=6)=0.9987Na pxina web http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm atopamos unha aplicacin que d os resultados directamente.7. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta binomial. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta binomial. Sexa X unha variable aleatoria discreta de tipo binomial, dicir:Est asociada a un experimento aleatorio formado por n probas iguais.Cada proba ten dous posibles resultados A ou B, con probabilidades p e q que se manteen constantes en todas as probas, pois o acontecido nunha proba independente do acontecido nas anteriores.X contabiliza o nmero de veces que acontece A (ou B) X toma valores enteiros (0, 1, 2,....)7. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta binomial. Atendendo definicin de funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta, dado x un nmero real calquera: F(x)=p(Xx)=p(Xt)= sendo t o n enteiro maior non superior a x =p(X=0)+p(X=1)+...+P(x=t)= sendo k=0,1,2.....7. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta binomial.Exemplo: Nunha urna hai 4 blas brancas e 6 blas negras. O experimento consiste en facer catro extraccins con devolucin. Calcula a funcin de probabilidade e a funcin de distribucin da variable n de blas brancas.7. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta binomial. O experimento aleatorio extraccin con devolucin de 4 blas dunha urna que contn catro blas brancas e seis blas negras:Consta de 4 probas con dous posibles resultados (bla branca ou bla negra). As probabilidades permanecen estables; ademais o acontecido nunha das probas non infle nas posteriores. p=p(sacar bla branca)=4/10=0.4 q=p(sacar bla negra)=6/10=0.6 A variable aleatoria discreta asociada a este experimento X=n de blas brancas unha variable aleatoria binomial (B(4,0.4))7. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta binomial. Por ser unha variable aleatoria binomial, a sa funcin de probabilidade : Como o nmero de extraccins 4 entn: 7. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta binomial.Polo tanto:p(X=0)=p(non obter brancas)=P(X=1)=p(obter 1 branca)=P(X=2)=p(obter 2 brancas)=P(X=3)=p(obter 3 brancas)=P(X=4)=p(obter 4 brancas)=7. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta binomial.7. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta binomial.A sa funcin de distribucin ser:7. Funcin de distribucin dunha variable aleatoria discreta binomial.8. Media ou esperanza matemtica, varianza e desviacin tpica dunha distribucin binomial. Media ou esperanza matemtica dunha distribucin binomial. A media dunha distribucin binomial B(n,p) : =n.p8. Media ou esperanza matemtica, varianza e desviacin tpica dunha distribucin binomial. Sexa X unha distribucin binomial B(n,p) sendo n o n de probas e p a probabilidade do suceso que X contabiliza. X toma valores 0,1,2,3....,n con probabilidades: px=p(X=x)= Aplicamos a definicin de media ou esperanza matemtica dunha variable aleatoria discreta: 8. Media ou esperanza matemtica, varianza e desviacin tpica dunha distribucin binomial.Obtendo:8. Media ou esperanza matemtica, varianza e desviacin tpica dunha distribucin binomial. Varianza dunha distribucin binomial: A varianza dunha distribucin binomial B(n,p) : 2=n.p.q8. Media ou esperanza matemtica, varianza e desviacin tpica dunha distribucin binomial. Sexa X unha distribucin binomial B(n,p) sendo n o n de probas e p a probabilidade do suceso que X contabiliza. X toma valores 0,1,2,3....,n con probabilidades: px=p(X=x)= Aplicamos a definicin de varianza dunha variable aleatoria discreta:8. Media ou esperanza matemtica, varianza e desviacin tpica dunha distribucin binomial.Obtemos8. Media ou esperanza matemtica, varianza e desviacin tpica dunha distribucin binomial.Desviacin tpica dunha distribucin binomial. A desviacin tpica dunha distribucin binomial B(n,p) :8. Media ou esperanza matemtica, varianza e desviacin tpica dunha distribucin binomial.Retomando o exemplo anterior: Nunha urna hai 4 blas brancas e 6 blas negras. O experimento consiste en facer catro extraccins con devolucin. Calcula a media ou esperanza matemtica, a varianza e a desviacin tpica da variable n de blas brancas.8. Media ou esperanza matemtica, varianza e desviacin tpica dunha distribucin binomial. Lembra que a variable aleatoria X=n de blas brancas corresponda a unha distribucin binomial onde o nmero de probas n era 4, a probabilidade p de extraer unha bla branca era 0.4 e a probabilidade q de extraer unha bla negra era 0.6; dicir, trtase dunha distribucin binomial B(4, 0.4). Polo tanto = n.p = 40.4 = 1.6 2= n.p.q = 40.40.6=0.96 = 0.96 =0.988. Media ou esperanza matemtica, varianza e desviacin tpica dunha distribucin binomial. Lembremos o primeiro exemplo co que traballamos: No experimento aleatorio lanzar 3 moedas consideramos a variable aleatoria discreta X=n de caras obtidas. Xa observamos con anterioridade que se trata dunha distribucin binomial; de feito unha distribucin binomial B(3, ) 8. Media ou esperanza matemtica, varianza e desviacin tpica dunha distribucin binomial. Calcularamos a sa media e a sa varianza atendendo definicin xeral para unha variable aleatoria discreta. Vexamos agora que se as calculamos de acordo co dito para unha binomial obtemos igual resultado. =n.p=3.1/2=3/2=1,5 2=n.p.q=3.1/2.1/2=3/4=0,75

Recommended

View more >