(2) Clase Teoria de Grafos

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    13-Jan-2016

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Exposicion de Grafos

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Diapositiva 1Teora de grafosUn grafo es un conjunto, no vaco, de objetos llamados vrtices (o nodos) y una seleccin de pares de vrtices, llamados aristas que pueden ser orientados o no.GRAFO:INTRODUCCINLa teora de grafos tiene su origen en el problema de los siete puentes de Knigsberg resuelto por Leonhard Euler.Mapa de Knigsberg en la poca de Leonhard Euler, que muestra dnde se encontraban los siete puentes (en verde claro) y las ramas del ro (en celeste).Leonhard Euler (1707 - 1783)Ms tarde, otros problemas influyeron en el desarrollo de la teora de grafos como: El estudio de las redes elctricas. La enumeracin de ismeros de hidrocarburos. Etc.Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy comn, que no precisa conocimientos matemticos. Un grafo se parece a la figura siguiente, y consta de vrtices y de aristas que renen algunos de ellos.En la teora de los grafos, slo se queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas no son relevantes, slo importan sus extremidades (o cabos); la posicin de los vrtices tampoco, y se puede variar para obtener un grafo ms claro, y hasta sus nombres se pueden cambiar. Estos cambios se llaman:ISOMORFISMOSConceptos bsicos de grafosGrafo:Un conjunto de vrtices Vy de aristasEde forma tal que cada arista se asocia a un par de vrtices.Una arista e en un grafo asociada a vrtices a y b, se dice, que es incidente en a y b y viceversa, que a y b son incidentes en e. Y por lo tanto que a y b son vrtices adyacentes en e.Si G es un grafo con vrtices V y aristas E, entonces G = (V, E).12345V = {1, 2, 3, 4, 5} VrticesE = {a, b, c, d, e, f, g, h, i } AristasG = { (1, 2), (3, 2), (4, 5), (5, 3), (1, 4), (2, 4), (2, 5), (1, 3), (5, 1)} GrafoabcdefghiLazo: Es una arista incidente en un slo vrtice. ejemplo: a6 = (v5, v5).Aristas paralelas. Cuando dos o ms aristas estn asociadas con el mismo par de vrtices. Ejemplo: las aristas a2 y a3 estn asociadas al mismo par de vrtices. Es decir: a2 = (V1, V3) y a3 = (V1, V3).LAZO).Aristas paralelasVrtice aislado: El vrtice que no es incidente en alguna aristaGrado o valencia de un vrtice v: Es el nmero de aristas incidentes en v.V1V2V3V4V533513GRADO O VALENCIASubgrafos: Parte de un grafo.algunos subgrafos de este grafo seran los siguientes:Clasificacin de grafos.Grafo dirigido. Llamado tambin dgrafo tienen un conjunto de vrtices V (nodos) y un conjunto de aristas E (arcos o lados), tal que cada arista se asocia a un par ordenado de vrtices. Ejemplo:Grafo no dirigido. Tienen un conjunto de aristas E (arcos o lados), tal que cada arista se asocia a un par no ordenado de vrtices. De modo que para cualquier par de nodos existe al menos un camino que los uneABCD17Grafo pesado, ponderado etiquetado Un grafo es pesado cuando sus aristas contienen datos (etiquetas). Una etiqueta puede ser un nombre, costo un valor de cualquier tipo de dato. Tambin a este grafo se le denomina red de actividades, y el nmero asociado al arco se le denomina factor de peso.Si A, B, C, D, E , F, G, H (los vrtices ) fueran ciudades, entonces los nmeros seran ponderaciones que podran indicar los kilmetros que existen de una ciudad a otra o tal vez lo que cuesta un pasaje de una ciudad a otra. Por ejemplo de la ciudad A a la ciudad H hay 10 kilmetros de distancia.Grafo simple: Es un grafo que no tiene lazos ni aristas paralelas. Grafos Isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunvoca (uno a uno), entre sus vrtices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en comn. Grafo nulo: Se dice que un grafo es nulo cuando los vrtices que lo componen no estn conectados, esto es, que son vrtices aislados.Grafo regular. Aquel con el mismo grado en todos los vrtices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular.2-REGULAREJEMPLOGrafo bipartito: Es aquel con cuyos vrtices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vrtices pertenecientes al mismo conjunto.Un grafo G es bipartito si puede expresarse como (es decir, sus vrtices son la unin de dos grupos de vrtices), bajo las siguientes condiciones:V1 y V2 son disjuntos y no vacos.Cada arista de A une un vrtice de V1 con uno de V2.No existen aristas uniendo dos elementos de V1; anlogamente para V2.Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vrtices. Es decir desde cualquier vrtice podemos encontrar un camino hacia otro vrtice con solo recorrer una arista.Grafos Platnicos: Son los Grafos formados por los vrtices y aristas de slidos regulares (Slidos Platnicos), como el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro, el icosaedro, etc..Grafos conexos. Un grafo se puede definir como conexo si cualquier vrtice V pertenece al conjunto de vrtices y es alcanzable por algn otro. AcebdfAqu tenemos que un camino que va de: A a E seria (a, d, e) Camino: Es un conjunto de vrtices y aristas que parten de un vrtice y llevan a otro vrticeLongitud de camino: Es el nmero de arcos o aristas en ese camino. La longitud de este camino seria 2Camino simple: Es cuando todos sus vrtices, excepto tal vez el primero y el ltimo, son distintos.Ciclo simple: Es un camino simple de longitud por lo menos de uno que empieza y termina en el mismo vrtice.AcebdfUn ejemplo de esto seria el camino de A a B= (a,d,e,f,c,b)Un ejemplo seria (a,d,e,f,a)Camino EulerianoLlamaremos camino euleriano a un camino que contiene a todas las aristas del grafo, apareciendo cada una exactamente una vez. TeoremaSea G un grafo conexoG es euleriano Todos los vrtices de G tienen grado par.Grafo cclico: Se dice que un grafo es cclico cuando contiene por lo menos un ciclo. Ciclos y caminos hamiltonianosUn ciclo hamiltoniano tiene adems que recorrer todos los vrtices exactamente una vez (excepto el vrtice del que parte y al cual llega).Ciclo EulerianoCiclo HamiltonianoGrafo acclico: Se dice que un grafo es acclico cuando no contiene ciclos. Grado de salida. El grado de salida de un nodo v de un grafo g, es el nmero de arcos o aristas que empiezan en v.Grado de entrada. El grado de entrada de un nodo v de un grafo g, es el nmero de aristas que terminan en v.abcde23322abcde23322