(1−sen x )cos x dx = (1−2sen2 x +sen )cos x ( ) ?· cos x 4 tg x 1 I x 2 b) ... Sin embargo, si…

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    01-May-2019

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ARQUITECTURA: FUNDAMENTOS MATEMTICOS

Examen Final (Primer Cuatrimestre) Curso 2006/2007

7 de Septiembre de 2007 Duracin: 2 h oras Ejercicio 1 . ( 1,5 puntos)

a) Calcula: (((( ))))(((( )))) ++++

==== dxxtg4xcos

1xI

2

b) Calcula: (((( )))) ==== dxxcosxI 5

( )( ) ( )

( ) Cxtg4Lndxxtg4xcos

1

dxxtg4xcos

1xI

2

2++=

+=

+=

( ) ( ) ( ) =+==== dxxcosxsenxsen21dxxcosxsen1dxxcosxcosdxxcosxI 422245 ( ) C

5xsen

3xsen

2xsendxxcosxsenxcosxsen2xcos53

42 ++=+=

Ejercicio 2 . ( 2,5 puntos)

Calcula: (((( )))) dx)x(senarc)xx(xI 2 ++++====

El mtodo de partes nos permite deshacernos de la funcin arcsen.

)x(I)x(arcsen2

x3

x

dxx1

2x

3x

)x(arcsen2

x3

x)x(I

2x

3x

vdx)xx(dv

dxx1

1du)x(arcsenu

1

23

2

23

23

232

2

+=

=

+

+=

+=+=

==

+=

+

= dxx1

x3x261

dxx1

6x3x2

)x(I2

23

2

23

1

Integral irracional en la que el grado del numerador es igual o superior a dos, por lo que el mtodo adecuado para

resolver esta integral es por el mtodo alemn.

Sin embargo, si nos fijamos en el denominador, vemos que se puede racionalizar mediante un cambio

trigonomtrico. Haciendo el cambio x = sen t, nos queda una integral en potencias del seno bastante sencilla.

(intntalo).

+++=

+dx

x1

Dx1)CBxAx(dx

x1

x3x22

22

2

23 Derivando en esta expresin, se tiene:

22

22

2

23

x1

D

x12

x2)CBxAx(x1)BAx2(

x1

x3x2

+

++++=

+

D)x()CBxAx()x1()BAx2(x3x2 2223 +++++=+ Procedemos a identificar coeficientes.

3): 32

AAA22 ==

2): 23

BBB3 ==

1): 34

CCA20 ==

0): 23

DDB0 =+=

)x(senarc23

x1)34

x23

x32

(dxx1

23

x1)34

x23

x32

(dxx1

x3x2 222

22

2

23+=

+=

+

C)x(senarc23

x1)34

x23

x32

(61

)x(senarc2

x3

x)x(I 22

23+

+

+=

Ejercicio 3 . ( 2 puntos)

Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (3, 0) y que son tangentes a la curva x 2 + y2 = 1

Primer mtodo:

Geomtricamente se aprecia en la figura:

22

1

8

1tg

38

cos31

sen ====

La ecuacin de la recta tangente es:

( )3x22

1y =

Por simetra se halla la ecuacin de la otra recta

tangente.

Segundo mtodo:

Las rectas que pasan por el punto (3, 0) tienen por ecuacin: ( ) ( )3xmy3xm0y == Dos curvas: y = f(x) y = g(x) son tangentes si, existe un punto x0 en el que ambas funciones alcanzan el mismo

valor y adems tienen la misma derivada:

( ) ( )( ) ( ) ( )1xgxf

xgxf

00

00

=

=

La circunferencia viene definida por dos funciones: 1x1x1y

x1y

22

21

=

=

Cuyas derivadas son: 1x1

x1

xy

x1

xy

22

21

=

=

Para la funcin y1 el sistema (1) queda as:

( )( ) =

=

=2002

0

0

20

0

200

x13xx1

x

x1

xm

x13xm

( )31

x1x3x13xx00

2000

===

El punto de tangencia se alcanza en 31

x0

= para el que el valor de 22

1

91

1

31

m =

= por lo que la ecuacin

de la recta tangente es: ( )3x22

1y =

Repitiendo los clculos para la funcin y2 o simplemente teniendo en cuenta la simetra del problema se obtiene

que la recta tangente buscada a dicha funcin es: ( )3x22

1y =

1

3

Ejercicio 4 . ( 2 puntos)

a) Resuelve: 3x

5x2

En la figura se aprecia en color rojo los puntos de la

hiprbola:x1

en los que se verifica la inecuacin, es decir

que: x1

51

Ejercicio 5 . ( 2 puntos)

Se sabe que la funcin f(x, y) es diferenciable en el punto: (((( ))))0,1 . Calcula el valor de la derivada direccional en dicho punto en la direccin y sentid o del vector jih ====

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

====

++++====

0,0y,x 0

0,0y,xyx

yx)y,x(f 42

2

Puesto que la funcin es diferenciable en el punto (1, 0) las derivadas direccionales se pueden calcular ms

fcilmente mediante el uso del vector gradiente. Basta recordar que:

h

h)0,1(f)0,1(fD

h=

( )( ) ( ) 0)0,1(x

f

yx

xyy

yx

x2xyx1y

x

f242

242

242

422 =

+

=

+

+=

( )( ) ( ) 0)0,1(y

f

yx

y2yx2x

yx

y4yyxy2x

y

f242

52

242

3242

=

+

=

+

+=

0)0,1(f =

02

ji0

h

h)0,1(f)0,1(fD

h=

==

r

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